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1、“等时圆”模型的基本规律及应用一、何谓“等时圆”图12004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得， 再由几何关系，细杆长度 图2设下滑时间为，则 由以上三式得， 可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题
2、我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t2(如图甲所示)(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t2(如图乙所示)像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：图a 图b一、 等时圆模型（如图所示） 二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道
3、与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间，即 （式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处由静止
4、开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关. 推导设圆环沿细杆AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为，如图2所示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin，由几何关系有AB=x=2Rsin，由运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为，由运动学公式有2Rsin=12（gsingcos）t2，解得t=2Rsingsingcos=2Rggcot，增大，时间t减小，规律不成立.二、“等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面
5、上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解图3A1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。【变式训练1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t
6、2之比为()A21 B11 C.31 D12图8例2：圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（） A.t1t2 B.t1=t2 C.t1 ta ；c做自由落体运动tc= ；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，td= ，所以C正确。tbtatdtc.解【析】如图所示，令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足Rgt，所以tc ；对于a球令AM与水平面成角，则a球下滑到M用时满足2Rsin gsin t，即ta2；同理b球从B点下滑到M点用时
7、也满足tb2(r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，rR)综上所述可得tbtatc.三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？解析：设斜面侧边长为，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为，物体的位移为。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得，得， 、一定，所以越大时，下滑所用时间越短 图1一、从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、
8、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2，由牛顿第二定律得，图2 由几何关系，细杆长度 设下滑时间为，则 图3由以上三式得， 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆
9、叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。图4例1：如图4所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。图5例2：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图6解：构想一辅助圆如图6所示：在AF上取一点O，使OA=OC，以O点为圆心
10、，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，由机械能守恒定律可知：，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，所以有，即乙球先到达斜面底端。练习：1、在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图11）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）图11图12答案：如图12，把AO延长到C，使OC=OA=10cm，则点O到A、B、C三点的距离相等。以O为圆心，OA为半径作圆，则B、C一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从A到B的时间与从A到C的时间相等，即s。AOBC
11、30 图12、倾角为30的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s2） A2s和2s B 和 2s 图2AOBC30 12D C和4s D4s 和解析：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图2所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹
12、角分别为1、2，该圆半径为r，则对钢球均有解得：, 钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。二、运用等效、类比自建“等时圆”例1、如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。图6ABPHhOO1ABPHhO图5如图6所示，此时等时圆的半径为： 所以 OAB
13、LLD图2 例2、如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以 L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有例3、在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB，如图所示，BD为水平地面，ABD三点在同一竖直平面内，且连线AC=BC=0.1m 一小球套在杆上自A端滑到B端的时间为：（ B ）A 0.1s B 0.2s C D s解析：以C为圆心作一个参考园。由结论知，小球自A到B运动的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即AE=2R=0.2mA
14、E=gt t=0.2s练习：1如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间t。 2、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有ADDE10 m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为()A. sB2 s C. s D2 s【解析】AE两点在以D为圆心、半径为R10 m的圆
15、上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t 2 s，选B.例4、如图所示，圆弧AB是半径为R的圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为.求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率【解析】由动能定理可知小物体从D到C有WGmgL0，所以WGmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t ，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P.图7例5、如图7，一质点自倾角为的斜面上方的
16、定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点从O点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？解：如图7，作以OP为弦的辅助圆，使圆心O/与O的连线在竖直线上，且与斜面相切于P点。由“等时圆”可知，唯有在O点与切点P点架设的斜槽满足题设条件，质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，又为等腰三角形，所以。 练习：如图7， AB是一倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？AB图7PPAB图8CO解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输
17、送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于/ 2。MP图7【例4】如图7所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为)搭建一条光滑轨道PM，使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角为多少？解析：先用解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为D，如图8所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为MP图8Dh物体沿轨道下滑的加速度由于联立解得：令根式中分母，利用积化和差得：，一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑的时间t最小。图9P 1M1M22PM2甲乙再用“等时圆”作图求解。以 定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图9中甲所示，则轨道长度均可表示为物体沿轨道下滑的加速度由于，故得：，欲t最小，则须“等时圆”的半径r最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于M2点，如图9中乙所示。再根据几何关系可知：。在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用解析法求解的复杂计算。图5
