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1、第六节等价关系与集合的分类教学内容及要求：掌握集合的分类与等价关系它们的内在联系和互相转化的过程教学重点：“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）；集合上的关系及等价关系（要求能辨别出是否等价关系）教学难点：上述两个概念的相互转化问题；一个重要的实例一一模相的剩余类集合教学过程：众所周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质.除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究.这种以局部到整体地认
2、识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的.本节中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类的一般原则一等价关系.一、关系与等价关系1、关系定义L设M是一个集合，如果有一个法则R,它对于“中任意两个元素涉，可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称这个法则R是集合M的元素间的一个关系，简称M的一个关系.或定义1.设A是一个非空集合，集合。只有两个元即“对”和“错”，一个AXA到。的映射R叫做A的元素间的一个关系.若R（,b）=对，则称。与6符合关系/?,记作打；若R3，b）=错，则称。与力不符合关系R,记作。描.或定义1.集合AXA的一个子集
3、R称为A的一个关系，当31）cR时，称。与b具有关系R,记作。的；若（力任A时，称。与人不具有关系R,记作。吊.例L设M是实数集，规记aRbuab,这是M的一个关系，因为。泪的大小关系是完全确定的.例如:2,b),(c,c),(0,b),(b,),(,c),(c,)都是A上的一个关系.一个关系，除了用列出的有序对的方式表示之外，还可以用关系表或关系图的形式来表示，也可以用关系矩阵表示.例如M=a,b,c,d,令R=(a,a)t(b,b),(a,d),(b,c),(,c),(c,),(d,c)为一个关系,则R有以下几种表示方aaI。bbM-0011CcIOOOdd10010，2、等价关系等价关系
4、是一种特殊的关系，占的地位非常重要.定义2.如果集合M的一个关系满足以下条件：1)反身性：WaWMMJ2)对称性：若ab,则ba,3)传递性：若&Abcf则。-C则称是M的一个等价关系.若ab,我们就说。与b等价.例5.M为全体学生作成的集合，规定。劭。与b在同一个系.则R是M的一个等价关系.上例4中，KAK，RA中,Rl是A的等价关系，%，&都不是.因&不满足反身性，R3不满足对称性，E不满足传递性.二、集合的分类定义3.若把集合M的全体元素分成若干个互不相交的子集(即任二互异的子集都无公共元素)，则称每个这样的子集叫做M的一个类；类的全体叫做M的一个分类.或定义3设一个集合M分成若干个非空
5、子集，使得M中的每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为的一个分类，每个子集称为一个类.类里任何一个元素称为这个类的一个代表.例6.”=123,4,5,6,则E=1,2,3,4,5,6是M的一个分类，而S2=1,3,4,5,6,83=1,2,2,3,4,5,6都不是，因在反中2不属于任何一个子集，在$3中2属于两个不同的子集.集合的等价关系和集合的分类有密切联系：设是集合”的一个等价关系，aw,令=xxM,xaf则万是M的一个非空子集.因。白,故。万，称。为M的一个等价元素类，或。所在等价类.注：万具有以下性质：1) 万；2)b,cd=bc,3)bea,Xb=xea定理1.集合M的
6、一个分类决定M的一个等价关系.证明：对集合”的元素规定以下关系：ROo与O同在一类易证它是M的一个等价关系.定理2.集合M的一个等价关系决定M的一个分类.论证思路 ab=a=b.V,。属于一个类； V。M,a只属于一个类.下面证明把第一步和第三步并为一起.证明：我们利用M的等价关系来作出M的一个分类.任取M,由于。a,故万，因此M中每个元素一定属于一个类.下面再证每个元素都只属于一个类.设h,4,则-0,-J任取x5,则x,从而X-J即xU,于是Z7C.同理可证乙q5,因此5=心故得出M的一个分类.注：是M的一个等价关系，则1)aba=b(Va,Z?AyaZJ,则。=6)；2)如果DeAMW则
7、万5=0,这里表示不等价；3)A能写成所有不同等价类的并.由1)2)可知两个等价类或是相同或是不相交，并且等价类可由这个等价类中的任一元素作代表，即等价类与代表的选择无关.例6.设M=Z,任定N.规定劭OHa一人或R=()力Z,三伙mod)这个等价关系叫做模的同余关系，记为ah(modn)(。同余A模).由它决定的分类中的类叫做模的剩余类或模的同余类.任何整数用去除只能有余数J2,3,-1,由此得Z的一个分类，它把Z分成个类，是O=,一2,一,O,n,2，1=,Ln+1,-+1,1,M+1,2z?+1,2=.,一2+2,+2,2,+2,2+2,)n1=,M1,1,n1,21,31,-)由上面可看出：,=-2n=-n=0=n=2n=课堂小结：集合的分类与等价关系之间的联系；模剩余类.课后作业：1,2,5
