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1、,2.线段垂直平分线,做一做,作已知线段AB的垂直平分线MN，垂足为点C.在MN上任取一点P，连结PA、PB，量出PA、PB的长.,你有什么发现？,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,你能证明它吗？,能用文字语言表述吗？,A,B,如图，MNAB，垂足为点C，AC=CB，点P是直线MN上的任意一点.,已知：,PA=PB,求证：,证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。,证明:MNAB（已知）PCA=PCB(垂直的定义)在PCA和PCB中,PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等),A,C,M,N,P,当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?,PCA与PCB将不
2、存在.,PA与PB还相等吗?,相等!,此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB PA=PB,B,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理:,几何语言表达：MN AB于C，且AC=BC,点P在MN上PA=PB,探索：该定理的逆命题是否是一个真命题？,一个点在一条线段的垂直平分线上,这个点到这条线段的两端的距离相等,一个点到一条线段的两端的距离相等,这个点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的性质定理的逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理:,已知:,如图,PA=PB,求证:,点P
3、在线段AB的垂直平分线上.,过点P作PCAB，垂足为点C.,在Rt PCA和Rt PCB中 PA=PB，PC=PC Rt PCA Rt PCB(H.L.),PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直 平分线上.,证明：,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。,证明：,故PCA=PCB=90.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,线段垂直平分线的性质定理的逆定理:,几何语言表达：PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是,和线段两端距离相等的所有点的集合.,已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在边AC的垂直平分线上.,
4、证明:点P在线段AB的垂直平分线上(已知),PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)同理 PB=PC,PA=PB=PC.,证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。,点P在AC的垂直平分线上即三角形三边的垂直平分线交于一点,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,点P为校址,1.如图,已知点A、B和直线l,在直线 l 上求作一点P,使PA=PB.,l,点P为所求作的点,练习,2.如图，BD AC，垂足为点E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.,证明：BD AC，垂足为点E，AE=CEAB=CB，AD=C
5、D.（线段垂直平分线的性质定理）AB+CD=AD+BC,3.如图，在ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上。,证明：BD+AD=BC=BD+DC AD=DC 点D在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）,习题13.52.如图，AB=AC,A=50，DE垂直平分AB.求DBC的大小。,解：AB=AC ABC=C（等边对等角）又 A=50 ABC=C=65（三角形的内角和等于180）再 DE垂直平分AB DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）ABD=A=50 DBC=ABC ABD=15,3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
6、平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.,证明:,30o,C=90o,A=30o(已知)ABC=60o(三角形内角和定理),A=ABD(等量代换),D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.),AD=BD(等角对等边),填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为 三角形.,1题图,等腰,填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为 三角形.2.已知:等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AD上一点,则BE EC.(填、或=号),1题图,2题图,等腰,=,
7、3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1=,2=.,30o,1,2,75o,30o,60o,45o,填空：4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC 的周长为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?,AD=BD,CF=BF,AC=BC,CE=BE,1,2,3,CF=DF,即:BF=CF=DF,1.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:ADBC.,证明:,线段CD垂直平分AB(已知),CA=CB
8、(线段垂直平分线的性质定理),1=3(等边对等角),又 AB平分CAD(已知)1=2(角平分线的定义),2=3(等量代换),AD BC(内错角相等,两直线平行),1+2=4(等边对等角),又 4=B+3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和),1+2=B+3,AD平分BAC(已知)2=3(角平分线的定义),1=B 即 CAF=B.,证明:EF垂直平分AD(已知),AF=DF(线段垂直平分线的性质定理),2.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.,线段垂直平分线上的点到这条线段 两端的距离相等.,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.,小结：,
