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1、抛物线的几何性质,第一课时,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
2、,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,x0yR,x0yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例题,例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程,例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论,y2=4x,焦点弦的长度,练习:1.过抛物线
3、的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为,y2=8x,2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,练习:P68 T3,等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P
4、0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积为A.8p2B.4p2C.2p2D.p2,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。,例2、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OAOB,推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：设l 的方程为y=k(x-2p)或x=2p,直线l过定点
5、(2p,0),推广2：若直线l与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，且OAOB，则_,验证：由 得 所以直线l的方程为 即而因为OAOB，可知 推出，代入 得到直线l 的方程为所以直线过定点（2p,0).,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2=2px（p0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。,例过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB
6、的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,ABAFBFADBC=2EH,例3 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离是多少？,解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：,因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是（10，12）,设抛物线的方程为 y2=2px(p0),因为点A（10，12）在抛物线上，得 122=2p10所以p=7.2，抛物线焦点F的坐标为（3.6，0）因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm。,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,
