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1、,3.7函数的单调性,学习目的：,1.会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系，并会灵活应用。2.通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。,复习引入：问题1：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性,1一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1 x2.(2)作差f(x1)f(x2)，并变形.(3)判断差的符号，从而得函数的单调性.,例1 讨论
2、函数y=x24x3的单调性.,解：取x1f(x2)，那么 y=f(x)单调递减。当20，f(x1)f(x2)，那么 y=f(x)单调递增。综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+）y=f(x)单调递减区间为（，2）。,函数y=x24x3的图象：,2,单增区间：(-，-1)和（1，+）.,单减区间：(-1，0）和（0，1）.,发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x24x3图象来考察一下：,2,.,.,.,.,.,.,.,观察函数y=x24x3的图象：,总结:该函数在区间（，2）
3、上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数.注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.,结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：,例3 求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.,解:函数的定义域为R,f(x)=6x2-12x,令6x2-12x0,解得x2
4、，则f(x)的单增区间为（，0）和（2，）.,再令6x2-12x0,解得0 x2,则f(x)的单减区间(0,2).,注:当x=0或2时,f(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.,总结：根据导数确定函数的单调性一般需两步：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f(x)0,得函数单增区间;解不等式f(x)0,得函数单减区间.,例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.,解：函数的定义域为x0,f(x)=xlnx+x(lnx)=lnx+1.,当lnx+10时，解得x1/e.则f(x)的单增区间是(1/e,+).,当lnx+10时，解得0 x1/e.则f(x)的单减区间是（0，1/e).,例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.,解:f(x)=ex-1 当ex-10时,解得 x0.则函数的单增区间为(0,+).当ex-10时,解得x0.即函数的单减区间为(-,0).,归纳总结:1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中应用.,布置练习 作业：P134 练习1；2.习题3.7-1；2.作业：求函数y=x-2sinx(0 x2）单调区间.,
