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1、把握本质 提升数学教学能力 促进数学教师专业化,李忠如西南大学数学与统计学院422258675,4/23/2023,基本问题,数学教师的基本要求：上通数学 下达课堂深刻理解数学是提高数学教学效益的基础问题：数学教师的基本功是什么？,4/23/2023,当代教师的专业要求,教育部拟定教师标准征求意见“三个标准”(20111212)（20120210印发）中小学教师专业标准教师资格2012年教师资格统考（201211）教育部关于印发中小学教师资格考试暂行办法(20130904)中小学和幼儿园教师资格考试标准与大纲数学学科知识与教学能力(初级中学)考试大纲与（样题）基础教育质量绿色评价,4/23/2
2、023,教师资格考试改革,2014年教育部宣布，中小学生教师资格考试与定期注册制度试点范围将扩大。试点区内，教师资格考试有效期为三年，教师资格证须每五年注册一次。按照规划，2015年，中国将全面推行教师资格全国统考，提高教师入职门槛，并打破教师资格终身制，实行定期注册制度。教育部公布中小学教师资格考试暂行办法。办法规定，教师资格考试实行全国统考，由教育部考试中心统一制定考试标准和考试大纲，组织笔试和面试试题，并建立试题库。“考试将按照高考的要求来组织。”教育部2014年8月6日，颁布中小学教师资格定期注册暂行办法，中小学教师资格每5年注册一次，注册条件以师德表现、年度考核和培训情况为主要依据。
3、2011年，中小学教师资格考试改革和定期注册试点工作率先在浙江、湖北两省启动，2012年增加了河北、上海等4个试点省份，2014年又新增山西、安徽等4个省份。,4/23/2023,当代教师的专业要求,教育部拟定教师标准征求意见“三个标准”(20111212)（20120210印发）中小学教师专业标准教师资格2012年教师资格统考（201211）教育部关于印发中小学教师资格考试暂行办法(20130904)中小学和幼儿园教师资格考试标准与大纲数学学科知识与教学能力(初级中学)考试大纲与（样题）基础教育质量绿色评价,4/23/2023,教育部正式发布(20130603)关于推进中小学教育质量综合评价
4、改革的意见,4/23/2023,文汇报20120828,4/23/2023,人民日报20130502,4/23/2023,人民日报20130509,4/23/2023,中小学教育质量综合评价指标框架,4/23/2023,学业质量健康“体检”“绿色指标”,学生学业水平指数学生学习动力指数学生学业负担指数师生关系指数教师教学方式指数校长课程领导力指数学生社会经济背景与学业成绩的关系指数学生品德行为指数身心健康指数以及上述各项指标的跨年度进步指数等。学业质量的“绿色指标”，并不是全面衡量教育质量的完整指标体系，而是直接指向促进学生健康成长，克服教育时弊提出的。,4/23/2023,4/23/2023
5、,数学教师的基本功,全国中学青年数学教师优秀课评价标准(2005)关于颁布实施全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）的通知（2012）,4/23/2023,（80年代）,4/23/2023,数学教师的基本功,善于举例（讲故事）善于比较与优化善于提问,4/23/2023,善于举例,适当的举例被看成数学教学工作最为重要的一个方面。只有这样，我们才能为学生较好地去实现相应的数学抽象提供必要的基础。尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子。但例子又有“好”与“坏”，或者说“恰当”与“不恰当”的区分。“会举例、善于举例”的一个具体内涵，就是应当有利于学生较好地去掌握相应的抽象概念，实现由具体实例向
6、抽象数学概念的重要过渡。,4/23/2023,如何举例才能帮助学生更好掌握数学概念的本质？,第一，为了防止学生将相关实例的某些特性误认为数学概念的本质属性，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），而也应当有意识地去引入一些“非标准变式”；第二，反例（“非概念变式”）的引入对于概念的正确理解、特别是防止或纠正学生各种可能的错误观念也具有特别的重要性。,4/23/2023,4/23/2023,善于比较与优化,数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，数学教师的又一重要职责是帮助学生很好地实现思维的优化。一种观点：教
7、学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。不能忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用！,4/23/2023,边讲边问没有摆脱全面灌输：,一年后重新设计：,105次填空式问答（由低到高设计），记忆问题占74.3%，简单推理占21.0%，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。教师：“讲是给学生知识，问是看他们收到没有”。,弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。学生：“原来那么多性质不需要死记硬背”。,善于提问,例：正方形的定义和性质,4/23
8、/2023,什么是“好的问题”?,美国学者巴拉布与达菲：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的，其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”由此可见，能够提出恰当的问题事实上也正是数学思维的一种表现，从而也就必然地有一个通过学习逐步养成的过程。,4/23/2023,当前提问的现状,教学思想的发展：由“教师问、学生答”经由“学生问、教师答”最终演变成“学生问、教师帮、学生答”。学生所提出的任何问题都是有用的。课堂教学的开端：“这堂课你们想学些什么”教材：你还能提出什么问题？,4/23/2023,
9、当前提问的现状,信息提供：故事书每套12元，连环画每套l5元，科学书每套18元提出问题：买5套故事书和2套连环画一共要付多少钱?问题解答：12x5+15x2=60+30=90 f元)30=90 f元)师：谁还能再提一个问题?生1：买3套故事书和5套连环画一共要付多少钱?生2：买4套故事书和3套连环画一共要付多少钱?生1：买2套故事书和6套连环画一共要付多少钱?,4/23/2023,当前提问的现状,“如果教师能抓住时机，启发引导，提示学生：科技书我们也要看啊或能否求出两种书相差多少钱呢?学生的思路自然就宽了。”当然，也可对各种书的单价作出一定的改变，包括超出故事书、连环画和科技书的范围，而谈到其
10、他的书籍：我们甚至还可超出问题的“事实性内容”而过渡到相应的数学结构。学生所提的问题常常是“从众”的结果(或是刻意的“标新立异”)，从而就很难被看成真正的创造性工作。如同解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自发地形成，而主要是一个文化继承的过程，教师更应在这一过程中发挥重要的指导作用。,4/23/2023,波利亚(1887.12.13-1985.9.7),4/23/2023,波利亚(1887-1985)的生平,波利亚，美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学
11、院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。他一生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、组合数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他名字命名的术语和定理。曾著有怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，它们被译成多种文字，广为流传。其中，1944年在美国出版的怎样解题（How to solve it）中的怎样解题表总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远影响，迄今此书已销售一百万册，被译成至少17
12、种语言广为传播，可说是一部现代数学名著。,4/23/2023,波利亚的“怎样解题表”,4/23/2023,波利亚的“怎样解题表”,4/23/2023,波利亚的“怎样解题表”,4/23/2023,数学课堂提问的策略,一般化：对已获得的结果推广以求得更为一般的结果“变”：寻找“本质”（模型）反向思维：交换问题中的已知成分与未知成分以引出新的问题（构造偏逆、否命题）,4/23/2023,幻方问题,(指如何在“九宫格”中分别安放1、2、3、9这样9个数字，并使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等)原先所用到的数字是1到9，能否用2到10这9个数字去完成同样的工作?又能否采用87到95这9个数字
13、?能否用3、6、9、12、15、18、27这9个数字去完成同样的工作?或是用1到9这9个数字的其他倍数?能否用5、8、11、14、l7、2029这9个数字去完成同样的工作?或是任何一个算术级数?,4/23/2023,自行车问题,一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？（“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛第6题）,4/23/2023,“等价”自行车问题,一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两
14、工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？,4/23/2023,“等价”自行车问题,一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？,4/23/2023,4/23/2023,“工程问题”结构的分析,完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是：工作效率工作时
15、间=工程总量（定值）对这个基本关系作抽象，有 单位量单位数=总量（定值）再作形式化抽象，得 xy=k（定值）,4/23/2023,“工程问题”本质是一个反比例函数模式,4/23/2023,“工程问题”本质是一个反比例函数模式,4/23/2023,“工程问题”的“变式”,问题1 向一个水池里注水，甲龙头2小时注满，乙龙头3小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？问题2 从甲地到乙地，客车需2小时，货车需3小时，现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？问题3 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？问题4 妈妈去商店买布
16、，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？,4/23/2023,“工程问题”的“变式”,问题5 如图，在直线上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2米，3米，6米现作一平行于底的直线，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，求之间的距离,4/23/2023,“工程问题”的“变式”,问题6 某水池装有编号为1，2，3，9的九个进出口水管，有的只进水，有的只出水，已知所开的水管号与水池灌满时间如下：水管号 时间（小时）2 4 8 16 31 62 124 248 496若九个水管一起开，水池多少小时灌满？,4/23/2023,“工
17、程问题”的“变式”,4/23/2023,“工程问题”的“变式”,4/23/2023,“工程问题”的“变式”,问题9 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行使5000千米后报废，若安装在后轮，则行使3000千米后报废如果行使一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么最多可行使 千米问题10 某人从甲地走往乙地，甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且，两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过来一辆去乙地的公共汽车，则公共汽车每隔几分钟从各自的始发站发车？问题11 某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他的后面驶向前
18、面，每隔2分钟有一部电车从他的对面驶向后面假设电车和行人的速度都不变，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？,4/23/2023,构造偏逆、否命题,命题：可以判断真假的语句叫做命题。原命题为：若a，则b逆命题为：若b，则a否命题为：若非a，则非b逆否命题为：若非b，则非a,4/23/2023,原命题：非负数平方是非负数（如果x0，则x20）逆否命题是什么？是真正命题还是假命题？,4/23/2023,给出的逆否命题本身没有问题，但并不“显然是一个假命题”，而是一个货真价实真命题。“若|x|0，则x0”是一个具有“如果那么”形式的命题，叫做充分条件假言命题，它的逻辑公式是：如果p，那么q，记作
19、pq（读作p蕴涵q)充分条件假言命题是指p成立必有q成立，但p不成立未必q不成立。“p不成立未必q不成立”，也就是说，在p不成立的时候，不论q成立不成立，充分条件假言命题都说中了，用更正式的语言表述，某情况下假言命题的前件，即子命题p是个假命题，那么不管q命题是真是假，复合命题都是真的。特别的，当p命题永远是假命题的时候，复合命题就是一个永真的命题。总之，使充分条件假言命题为假，只有前件子命题p为真而后件子命题q为假这一种情况。,4/23/2023,通俗的例子，“如果杨小鸟吃了10个包子，那么刘大屌吃了20个包子”这句话的全部意思是：当杨小鸟吃了10个包子时，刘大屌一定吃了20个包子；当杨小鸟
20、没吃10个包子时，刘大屌未必没有吃20个包子。特别的，当杨小鸟是一只死鸟的时候，它就永远不会吃10个包子，那么不论刘大屌这辈子吃多少个包子，都是刘大屌未必没有吃20个包子，这句话都对。回到题目上，“若|x|0，则x0”的前件“|x|0”是充分条件假言命题的前件子命题，而且是个永假命题，那么“若|x|0，则x0”就是一个永真命题，所以逆否命题是个真命题，与原命题真值相同。认为“这显然是一个假命题”，是混淆了充分条件假言命题与联言命题（即合取命题，即p且q的命题）的真值判断，而错误地认为在充分条件假言命题里也是只要有一个子命题为假命题，复合命题就是假命题。,4/23/2023,构造偏逆、否命题,从
21、原命题“A B”与逆否命题“BA”的形式看,逆否命题是把原命题的条件与结论分别否定后交换而得到的。数学命题中,条件和结论中的判断不止一个的命题是常见的,而原命题与其偏逆否命题和形式偏逆否命题一般不等价格。因而,不能盲目以偏逆否命题与形式偏逆否命题代原命题进行证明。,4/23/2023,原命题与偏逆否命题都不等等价,原命题1：在圆内,不垂直于弦且不平分这弦的直线不过圆心但平分这弦所对的弧。偏逆否命题1):在圆内,垂直于弦或过圆心的直线平分这弦或不平分这弦所对的弧。偏逆否命题2):在圆内,过圆心的直线垂直于弦或平分这弦或不平分这弦所对的弧。原命题2:在圆内,弦的垂直平分线过圆心且平分这弦所对的弧.
22、偏逆否命题3):在圆内,不垂直于弦或不过圆心或不平分这弦所对的弧的直线不平分这弦。原命题1）假,偏逆否命题1),2)真；原命题2)真,偏逆否命题3)假这分别说明原命题与偏逆否命题(1),(2),(3)都不等价。,4/23/2023,命题1:在圆内,不平分弦而垂直于弦的直线不过圆心且不平分这弦所对的弧。命题2:在圆内,不平分弦而过圆心的直线不垂直于这弦且不平分这弦所对的弧。在反证法中,否定结论一定要将结论所组成的联言判断否定,而不应只否定部分联言支,命题2 代替命题1 的错误正在于此。,4/23/2023,深刻理解数学的基本问题,数与代数（数量？数量关系的本质？)（负数？分数？小数？）（乘法是加
23、法的简便运算？）（估算学习的意义？方程的本质？）图形与几何（中小学涉及到了哪些几何？）统计与概率（数学与统计学的区别？三种统计图的共性与差异？随机性与不确定性？）,4/23/2023,关于数与代数的认识,数量：有实际背景的，关于量的多少的表达，是对现实生活中事物的抽象数量关系的本质：多与少比较数量多少的方法：对应数：对数量的抽象数的关系是对数量关系的抽象。其抽象方法有两种：对应方法，定义方法（依赖于大小关系）,4/23/2023,如何认识分数？,分数本身是数而不是运算，虽然可看成是除法的一种运算。古希腊学者最初认为：现实世界中所有数量关系都能够写成分数形式，即都能够用整数表示。后来发现了2，于
24、是把能够写成分数形式的称为有理数，不能的称为无理数。分数的本质在于真分数，即分子小于分母。其现实背景：一是表达整体与等分的关系，一是表达两个数量之间整数的比例关系（以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量）。,4/23/2023,如何认识小数？,为什么要建立小数？为了现实世界数量表达，如6元7角5分为了数学本身：没有小数表示无理数，难以进行无理数的加法运算无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合（加法）表示。（一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合）后来为了解释实数连续性，重新用小数来定义有理数和无理数。,4/23/2023,乘法是加法的简便运算吗？,自然数
25、集合上的乘法是加法的简便运算整数集合上的乘法不是加法的简便运算如何解释“3(-2)”（3）（4）？整数集合上的乘法运算是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具是交换律和分配率。,4/23/2023,如何理解“负负得正”?又如何解释“负负得正”？能否证明“负负得正”？,4/23/2023,（3）（4）？,学生1：在数轴上，从3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好到15的地方，故得,（3）（4）15,4/23/2023,学生2：在数轴上，从3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好到9的地方，故得,（3）（4）9,4/23/2023,学生3：在数轴上，从原点出发，反方向移动4次，每次移动3格，
26、恰好到12的地方，故得,（3）（4）12,4/23/2023,张孝达前辈：“应该对学生“这种敢于独立思考给予肯定和鼓励，然后思考如何解决”。问题：在数轴上如何自然地说明负负得正规定的合理性？在数轴上如何显示 与 的区别？,4/23/2023,乘法运算，1是非常重要的数（相当于0对于加法运算）乘法的运算法则：11=1,1（-1）=（-1）1=-1（-1）（-1）=1证明：0=0（-1）=【（-1）+1】（-1）=【（-1）（-1）】+【1（-1）】=【（-1）（-1）】+（-1）（-1的相反数是1）,4/23/2023,为什么要学习估算？,脑科学家研究：人们进行精算和估算时大脑的反射部位精算主要
27、激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠；估算主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切。就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分：精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，数学教学内容不仅要有精算也要有估算。,4/23/2023,为什么要学习估算？,日常生活实践中，人们遇到的大量计算都是估算，应当让学生知道估算。精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，学习估算对于培养学生的数感有好处。同时，估算不是近似计算，更不是精算以后的
28、四舍五入；估算也不是估计：估算也是需要算的。基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否则就失去了估算的教育意义。,4/23/2023,为什么要学习估算？,估算往往要涉及在哪个数位上进行计算的问题，因此，需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲。选择量纲的过程可以让学生感悟估算是对现实问题的度量，进而感悟如何进行估算才是合理的。确定了量纲以后，在具体计算时，就可以在量纲的整数位上进行估算，至多以量纲为基准取小数点后一位进行计算。对于已经给定了数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界，为此，需要对给定的数量进行适当的放大或者缩小，然后凑整计。所谓量纲就是通常所说的数量单位，比如，
29、我们考虑距离的度量：如果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适；如果要度量长春到北京的距离，那么用百公里比较合适；如果要度量教室的大小，那么用米比较合适；如果要度量书桌的大小，那么用厘米比较合适。,4/23/2023,关于数与代数的认识,数学课程标准（实验稿）设置了“数与代数”的学习领域。怎么理解代数？代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消？大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项。所谓还原，就是把本来淹没在方程中的未知数 x暴露出来，还原了 x的本来面目。所以方程是和代数紧密联系在一起的。一般在学习方程
30、之前，我们都要先学习“用字母表示数”。方程理论就是“用字母代表数”吗？它们之间到底是一种怎样的关系。,4/23/2023,关于数与代数的认识,单单用字母代表数，还不是代数。例如，加法交换律写为：a+b=b+a，虽然也用字母代表数，却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为 x的做法，只是运用代数方法的第一步。代数的思想方法，其核心是基于含有 x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于 ax+b=cxd这样的方程小学里解起来还是有些困难。难点：
31、含 x的项的合并，即关于“式”的运算。小学里解方程，用字母代表数之后，主要使用逆向思维进行对消和还原。例如 2x-1=5，用逆向思维也可以还原出 x=3。中学里则要引入负数、进行“式”的运算，用同解概念进行对消和还原，按照程式化的规则，一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说，算术中的逆向思维也有还原和对消的思想，需要学习，但是思维过程是一题一解，没有固定的程式，不能程式化。,4/23/2023,含有未知量的等式叫做方程。,如何理解方程？,4/23/2023,疑问1：什么叫未知量？,ax=b中a算不算未知量？x何以算未知量？方程x=1中，x还叫未知量？x1=x+2中，x根本不存在
32、，还要对不存在的东西下定义吗？x+1=x+l算含未知量，其同解方程l=1算含未知量，还是不含未知量？换为“待求量”直观意义上要好些。,4/23/2023,疑问2：方程是什么等式？,数的等式，还是式的等式？只能理解为数的等式，矛盾方程不是任何意义下的等式，矛盾方程就要排除在外，这不合实际，不能削足适履！因此作为方程定义的两个关键名词“未知量”、“等式”都经不起推敲，不能自圆其说。,4/23/2023,一种“高级”解决方式,形如“f(x)=g(x)”叫方程，f(x),g(x)是两个在某定义域V上研讨的两个函数。如果数a在V上使f(a)g(a)，则称a为方程f(x)=g(x)的解，解方程就是求出其解
33、集。这与“含未知量的等式”有何不同？,4/23/2023,不同之一,说“f(x)=g(x)”是方程，没有说是等式。f(x)=g(x)不是等式吗？不是！“f(x)=g(x)”是个整体，“=”只是这个整体符号中的一部分，“=”并不是非它不可，也可以写为：方程f(x)，g(x)它又是等式！因为解的定义是“f(a)=g(a)”，这儿的“=”可是真正的等号。,4/23/2023,不同之二,这是用f(x)=g(x)给出方程的形式，用“解”给出方程的内容，避开了直接用等式定义，又联系上等式，做到了矛盾的统一、逻辑上是无问题的。这种方式是现代数学由旧到新的形式，构造法（公理化方法），其实这种方法已见于中、小学
34、。如分数1/3，4，a+bi等都是用旧有符号适当安排得出新符号（新对象，新数），再定义新符号所满足的性质（定义运算）。这样新的东西就构造出来了，形式是次要的，如l/3也可写为1:3,（1,3）等。,4/23/2023,疑问3:方程既未直接定义为等式，又如何应用等式性质来解方程呢？“同解定理”就成为这种定义方式必不少的组成部分。,4/23/2023,归真反璞,方程究竟是什么？其实大家都明白，方程并非等式而是与等式有密切联系的一个问题：“求x使f(x)=g(x)”。伯拉斯基的教学法中说，“方程是问题而不是陈述”就是这个意思。“f(x)=g(x)”只是问题叙述中的一部分，尽管是极其重要的部分，也不能
35、以部分代整体。重点甚至不在“f(x)=g(x)”而在“求x”。x2-1=(x-1)(x+1)与“方程x2-1=(x-1)(x+l)”意义迥然不同，前者为式中的等式，后者为问题。要求x，就象铜盆是盆而不是铜，道理一样。解方程（也就是解问题）就象几何证题的递推法一样，从结论f(x)=g(x)出发倒推，本来要求f(x)=g(x)，现假设已有f(x)=g(x)，再用等式性质往下推，“f(x)=g(x)”成了我们思维的出发点，物质外壳，于是便显得突出了，可能独立了，但是可能并不一定需要。,4/23/2023,启示：数学教学要正确对待科学性、系统性,（1）方程本是从属于等式的一个问题，不是什么严格的数学概
36、念，更不是基本概念，没有必要搞成正式定义，不等式就是如此。（2）数学进一步发展也不需要，数学分析，高等代数中甚至不提方程，而谈函数的零点，多项式的根。（3）方程既非基本概念，也非基本理论而是基本方法，方程在理论上的独立是不需要的，不象负数，多项式等确为基本概念。因此现在的教材提出不讲同解原理的理论而着重等式性质，并非权宜之计，而应视为一种切合实际的改革措施。,4/23/2023,启示：数学教学要正确对待科学性、系统性,“方程一事”启发我们在教学中在科学性，系统性不要“过分”，过了就走向反面。(1)名词：根与解的不同呀！0不是自然数呀！(2)过分强调按定义：小学乘法不许交换，解方程用运算的意义而
37、不用等式的性质。总想把儿童生动活泼的思维纳入框内，这样会影响智力的发展。(3)按所谓逻辑顺序，而不认真研究人的认识过程与规律，其实数学的逻辑序并不总是与学生的认知序一致。如一定要讲了数、式才能讲方程就是一例。,4/23/2023,初中教学中应如何处理方程？,数学教学之目的主要在培养能力（通过知识）。代数有一个偏向注重计算能力忽视了逻辑思维能力的问题。或者说，没有充分发挥代数在培养逻辑思维能力方面的作用（不如几何）。初中代数方程是中心，发挥好方程的作用是值得探讨的问题，要发挥方程是问题的作用，用问题（方程）来带动各部分内容，来贯串各部分内容，要发挥解方程中研究问题，解决问题，具体问题，具体分析，
38、推理能力的培养作用。不要忽视。,4/23/2023,具体建议,（1）不要纠缠于方程的正式定义，还其本来面目，方程即问题；定义可不提，要提也是解释性的。（2）不强调同解原理，在理论上与等式性质合一，在方法上按分析方式讲解；作为假言判断，在逻辑上讲明算的必要性；利用等式性质，注意等式成立之条件，可引入“必要条件”、“充分必要条件”及符号“”、“”等。（3）重新认识增根，减根。这两个名词都在逻辑上不能成立。因为它不决定于方程本身而与解的过程有关，过程是不确定的，“增根”亦不确定不能作为数学名词。重要的是讨论这个就在思想上开了后门，可以 不严格按照逻辑推理办事（可以补考），对学生培养带来不利。（4）方
39、程要分散在各个部分，不要总结步骤，这样作常不能概括一般，挂一漏万，（总结可让学生自己去作去体会），有框框学生易于按之行事，对付作业，考试近期效果可能明显，但是有框框也就限制学生的思维，不去具体情况具体分析，限制了学生开动脑筋，远期效果可能很不好。（5）改变先讲数、式再讲方程的系统。可以先讲简易方程，再由解方程的需要及有出现负根的情况引入负数，这样必要性更大，才更能激发学生学习热情。多项式亦可同样引入，各部分均应有相应的方程问题。不但用方程引入问题，还要用方程来熟练必要的计算和知识，以免反复的单纯计算使学生兴趣降低。简短结论：方程是问题而不是等式，方程是基本方法而不是基本概念和理论，方程不要与等
40、式闹独立企图自成系统，减轻学生在方程上不必要的负担，充分发挥方程其在培养学生能力上的作用！,4/23/2023,加减消元法,（某初中数学教材中例题）例2“我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。“勇士”队赛了9场，共得17分。已知这个队只输2场，那么胜了几场？又平了几场呢？,4/23/2023,学生问：为什么式的赛场数与式的得分数能够相减？,解:设勇士队胜了x场，平了y场。根据得分的总场次所提供的等量关系有方程 根据得分的总数所提供的等量关系有方程 由得，代入得。答：勇士队胜了5场，平了2场。,4/23/2023,这里涉及生活原型与数学模式的关系。一方面式、来源于
41、比赛场次与得分总数（有单位问题）。另一方面，列成方程后又完全舍弃了原型的物理性质，成为抽象的模式，可以去刻画任何“两者和为7”的生活现象而不专属于任一生活现象方程的加减，是根据方程的理论与方法进行的（消元化归），这是数学内部的事情（与单位无关）。最后，得出后，才又回到生活中去，给出解释（有单位了）。也就是说，足球赛的现实原型经过代数运作之后（设未知数，进行四则运算等），已经凝聚为对象（方程），经过“建模”之后的运作已经是数学对象的形式运算了，当中的消元求解过程是化归思想的应用，与现实原型的具体含义无关。,4/23/2023,关于不等式性质的运用,已知 2x+y4,1x-y2,求4x-2y的范围
42、。,4/23/2023,一学生的解答过程为：解：+得 32x6,所以 64x12.又由得-4-x-y-2,+得-3-2y0 故由、得 34x-2y12,已知 2x+y4,1x-y2,求4x-2y的范围。,4/23/2023,4/23/2023,正确解法,4/23/2023,4/23/2023,4/23/2023,4/23/2023,4/23/2023,中小学几何内容有些什么？,新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，为什么要增加？几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。但是
43、，实际上，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。,4/23/2023,2023/4/23,数学与统计学的区别,立论基础不同:数学概念与符号；统计学数据推理方法不同:数学推理公理和假设；统计学推断
44、数据和数据产生的背景判断原则不同:数学是一门科学本质上是确定性的，对结果的判断标准是对与错；统计学是一门科学也是一门艺术对结果的判断标准是好与坏,4/23/2023,2023/4/23,例：函数、概率与统计的对比,一所学校，对于香港的男演员，学生们不是喜欢成龙就是喜欢周星驰。首先建立关系式y=f(x)，其中x表示学生，y表示学生喜欢的演员。为了方便起见，用1表示周星驰，用2表示成龙。那么就构成了一个函数关系：,4/23/2023,2023/4/23,4/23/2023,4/23/2023,如何理解随机性与概率？,随机性与规律些概率与机会有些概率是无法精确推断的有些概率是可以估计的随机事件？目前
45、不知道结论是否正确的命题是随机事件吗？和重复试验无关的不确定结果是随机事件吗？,4/23/2023,随机性与规律性,有许多定律，例如牛顿三定律、物质不灭定律、爱因斯坦相对论等。,4/23/2023,概率与机会,4/23/2023,把一枚均匀硬币掷100次，100次都是正面可能吗？掷第101次，出现正面的可能性大还是反面？,4/23/2023,随机事件,概率论是研究随机现象。随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验结果却不确定，以至于在试验前无法预料是哪一个结果出现，我们把这时的试验结果称为“随机事件”。,4/23/2023,如下命题或者结论是随机事件吗？,哥德巴赫猜想是否成立火星上是
46、否有生命美国的总统选举本 拉登是否还活着小王是否生病了错误一：把目前不知道结论是否正确的命题当成随机事件错误二：吧和重复试验无关的不确定结果当成随机事件,4/23/2023,你知道什么是沮丧吗？那就是当你花了一生的时间爬梯子并最终到达顶端的时候，却发现梯子架的并不是你想上的那堵墙。约瑟夫坎贝尔,4/23/2023,基本理念,教育目的不是升学教育，因而不能以对付各种考试为目标，而应通过传授知识发展学生智能，培养学生品德，这要在教材中予以充分体现。特别要培养学生养成开动脑筋的习惯，以研究态度对待学习和工作。初中教育是基础教育，它不同职业教育与岗位培训，应着重各行各业共同需要的知识与技能。由于要求在
47、知识上适应学生今后具体需要，困难极大，基础教育（初中尤甚），在知识与能力上更强调能力，从极端的意义上说，知识是培养能力的一种手段。注意远期效果，不为近利而失去更大的长远利益。,4/23/2023,数学教学的基本要求,一定要自学一定要激发学生兴趣一定要让学生提出问题一定要让学生讨论交流一定要加强练习一定要达到教学目标,4/23/2023,4/23/2023,提高课堂效益已经是永恒的话题,20世纪80年代末期，西南大学陈重穆、宋乃庆教授提高初中数学课堂教学效益实验（GX实验）从重庆、四川辐射到全国十余省市，产生重大影响，一些思想也对基础教育课程改革有一定影响基本观点：学校教学质量的提高关键在课堂，从效益、效能抓起。时间用在刀口上，减轻学生课外负担，必须抓住课堂教学效益；发挥学生的主观能动性，提高学生的学习能力提高教学质量的突破口：从有效课堂抓起，再进一步到高效课堂。,4/23/2023,“减负提质”的“32字诀”,积极前进，循环上升；淡化形式，注重实质；开门见山，适当集中；先做后说，师生共做。,4/23/2023,欢迎交流讨论！,合格数学教师之必要条件上通数学 下达课堂,4/23/2023,
