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1、有理数的四则混合运算提高1 关于一些加法运算：（1）发现当n=1 =，n=2的时候=.以此类推，发现这里面的所有的项都可以用来表示。我们就研究的规律。=，所以n=1, = , n=2, =, n=3, = n=n-1 n=n =+=（2）跟上面的那道题目差不多，方法一样，先将通式化成两个分式相减的形式，而且这两个分式的分子最好都为一，分母就是在通式中出现的两个式子。如最后应该化成一个含有的形式：=所以n=1, = n=2, =n=3, = n=n-1 =n=n =+=+)=)=(3)1+2+3+4+n这里，n 是通项，也就是说，当n=1时候，为1；当n=2的时候，为2；等等直到为n.换句话说，
2、这里n相当于起了一个计数器的功能，n从1变到n,所以总共n-1+1项。所以1+2+3+4+n=如果，现在要计算1+3+5+7+（2n-1）根据我们上面所讲的，这个时候2n-1能够代表这里所有的项。也就是说，n=1,2n-1=1; n=2, 2n-1=3 ; n=3 2n-1=5 n=n,2n-1=2n-1这个时候，上一题中的提到的“计数器”就应该是n,而不是2n-1.所以项数应该是n-1+1=n1+3+5+7+（2n-1）=n2思考一下，如果将这一道题目改一下：3+5+7+（2n-3）应该怎么计算呢？方法无非还是用首项加末项乘以项数除以二，现在关键是项数怎么计算。还是抓住“计算器”：这里的3，
3、5，7都可以用2n-1来表示。看第一项是3 ，它对应的n=2，第二项5，对应的n=5而最后的2n-3对应的n=n-1。所以我们的计数器从n=2变到n=n-1,计算项数就是用(n-1)-2+1=n-2,也就是现在总共n-2项。所以3+5+7+（2n-3）=n(n-2)(4)计算1+2+22+23+2100这道题目有点难度，但是只要用好方法，也能算出来。我们现在令s=1+2+22+23+2100我现在在等式两边同时乘以2，得到2s=2+22+23+24+2100+2101比较这两个式子：s=1+ 2+22+23+2100 2s = 2+ 22+23+2100 +2101发现上面加粗倾斜的部分相同，
4、所以我们就采用方法2s-s=(2+22+23+24+2100)+ 2101- 1+(2+22+23+2100)= 2101-1也就是说，s=2101-1; 1+2+22+23+2100=2101-1思考题：（1） 计算：2+4+6+2n（2） 计算：5+6+7+n-3（3） 计算：（4） 计算：1+3+32+33+3n-1+3n代数式求值提高1 对你来说，常见的易错的知识点：（1）分数式的约分：例如，你的常见的错就是，直接将b约去，得到的结果是a 。对于一个分数式而言，约分的实质性问题就是在分数式的分子分母同时除以一个数 。就像这个例子，如果要约去b,应该是这样，这里就体现了一个同时除以b的概
5、念。其实这类问题，大可换个角度来看。我们可以用所谓的“除法分配律”的计算：=。约分这个思想是对的，但是不要什么都约分。如果这个题目变成那么就可以直接将b约掉，变成a和(a+c). 总之，在一个分式的分子分母同时乘以一个或者同时除以一个数，分式的值不变。（2）等式的变化：方程其实也就是个等式。对于一个等式，例如a+b=c+d,我们在等式的两边同时乘以一个不为零的数e,等式还是成立：（a+b）e=(c+d)e，同时除以一个不为零的数f，。同时加上减去一个数，等式还是成立。然而对于等式的一边来说，分子分母同时乘以或除以一个数，等式还是不变。例如：a+b=c+d 对于一个分式，我们在等式的两边同时乘以
6、(a+b):c=d(a+b)这些性质主要应用在解方程中：例如：(1) 解方程 解：方程两边同时乘以（3x-1）就得到2=3x-1,解得x=1(2)解方程方程两边同时乘以（x-3）:2x-1=4(x-3) 2x-1=4x-12 2x=11 x= 其实就像移项一样，解这种方程，可以直接将方程左边的分母直接乘到右边去。 2 代数式的求值提高：常见的代数式求值，没什么好讲的，主要就是代进去死算。这里要讲的是几种常见的解决一些所谓的难题的方法。（1） 整体换元法例1：现在已知=2，求代数式的值。方法一：整体换元法令t=,将这个等式看作是一个关于x的方程，把t看作是一个已知数。方程两边同时乘以（x+1）得
7、到：t(x+1)=2,解得x=.将x=代入中，得到：=1-t也就是说=1-t=2, t=即 =-1此方法就是要求什么东西，我们就将那个东西设为一个数，得到像t=这样的一个等式，解出x,此时的x就是用t表示的一个式子，就像上面的x=。代入到已知的条件中去，得到一个完全含有t的等式，此时该等式就是关于t的一个方程，解出t,就是我们要的结果。方法二：凑项我们现在不是要求的值吗？ 现在我们发现与已知条件=2的分母相同，所以我们就在分子上做做文章，凑出一个2出来：=（注意：此时不能够将（x+1）约去！）=1- 我们需要的已经出现!根据已知条件：=2，我们得到：1-=2，将看作是一个整体，-=1，=-1。
8、这就是我们要求的结果。这种方法比较的取巧，主要是看中要求的式子与已知条件的分母（x+2）相同，所以我们就可以从已知条件来构造，凑出要求的式子来。你也许要问：如果不是分母相同，而是分子相同，可不可以用这种方法呢？回答是肯定的。我们将在下一题中讨论这种方法。方法三：解方程=2，看作是一个关于x的方程，x-1=2(x+1),x=-3将x=-3代入到中，就可以算出最终的值是-1此方法不是什么时候都可以用，有的时候方程是解不出来的。这就要靠你观察，如果发现方程是我们能解得范围，就可以采用此法。例2 已知=2，求解：这道题目的解法起码有两种，方法如上题的方法1和方法3，自己试试。现在我们分析可不可以用方法
9、2我们观察，要求的的分母就是已知条件=2的分子，我们可以这么做：将去倒数得到=1+=，所以=-同样的可解！例3： 已知，求解：用方法一和三这里就不多说了，你自己算算。重点讲一下方法二是怎么处理的。=2+=3，=1，=9这里要说的是，题目给我们的分子是9，我们不能局限于9，我们只需将给我们的等式花成一个数和一个分式的和，这个分式的分子必须要是一个数字，就像这道题目一样，化成了2和。一般的对于一个一般的分式，如果具备以下形式（这里，a,b,c,d都是已知的），都可以化成一个数和一个分子不含未知数x的分式的和。= 这样，我们就将化成了一个数和一个分子为一个数b-的分式的和。例3 已知 ，求（1）-的
10、值（2）解（1）原式=5-10=3 （2）方法1：令=t,则m=tn, 代入中得到： 解这样一个关于t的方程，得到t=方法2 ,此时将看作一个整体，方程两边同时乘以得到： =5（）去括号，移项，合并同类项得到：=6，所以= 方法3 从已知条件，两边同时乘以(2m-n)得到： 2m+n=5(2m-n),8m=6n,所以，=（2） 代换法例：已知=k，求k的值。解：由=k得到，a+b=kc,b+c=ka,a+c=kb所以（a+b）+(b+c)+(a+c)=kc+ka+kb=k(a+b+c)即2（a+b+c）=k(a+b+c)这个时候，我们就要注意了，不能直接将(a+b+c)约掉，因为我们不知道(a
11、+b+c)是不是等于零。所以我们要讨论;如果a+b+c=0，a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,所以=，k=-1如果，则k=2习题：1 将下列分式化成一个数和一个分子是数的分式的和（1） （2） （3） （4）2 已知，求3 已知，求4 已知=k，求k的值解方程提高：对于方程中含有两个或者多个字母的方程，要弄懂谁是未知数。例1， 解关于x的方程，mx+n=p (m)解：移项mx=p-n x= 这里不能被众多的字母所迷惑，除了未知数，其它的所有的字母都可以看作是已知的。解下面关于x的方程：(1)xy+y-1=px-2y,（p ）(2)tx+(1-x)y=3x+2,( t-y-3 ) (3)ax+b=c解答过程：（1）移项，合并同类项得到：3y-1=(p-y)x x=(2)去括号， 移项，合并同类项得到：（t-y-3）x=2+y 解得：x=(3)这一题主要概念要清楚,题目没有告诉我们a,所以，要分类讨论:当a，这是个一元一次方程很容易解得，x= 当a=0，这个时候原方程就变成0x=b-c 如果b=c,则方程变成0x=0，这个时候方程就有无数个解，因为零乘以任何数，都是等于零的 如果，bc,则原方程就变成零乘以x,等于一个不为零的数，这是不可能的，所以我们找不到一个这样的x,使得零乘以x不等于零。所以，无解。
