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1、过已知点A、B作圆，可以作无数个圆,圆心在线段AB的垂直平分线上,各圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？,新课导入,大胆猜想,A,B,教学目标,【知识与能力】,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题,通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解,【过程与方法】,【情感态度与价值观】,培养通过动手实践发现问题的能力 渗透“观察分析归纳概括”的数学思想方法,教学重难点,垂径定理及其运用,什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,回 顾,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等
2、腰梯形,正方形,圆,圆也是轴对称图形吗？,动画沿着圆的任意一条直径对折,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆有哪些对称轴？,O,O,A,B,C,D,E,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E,下图是轴对称图形吗？,叠合法,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,CD是直径，AB是弦，CDAB,直径过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来，还成立吗？,这五条进行排列组合，会出现多少个命题？,直径过圆心 平分弦,垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（1）平分弦（不是直径
3、）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？,直径过圆心 平分弦所对优弧,平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,直径过圆心 平分弦所对的劣弧,平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦,垂径定理的推论1,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂直于弦 平分弦,直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（3）弦的垂直
4、平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,垂直于弦 平分弦所对优弧,直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧,推论1的其他命题.,垂直于弦 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧,（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦 平分弦所对优弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧,平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦,（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，
5、并且垂直平分弦,垂径定理的推论2,圆的两条平行弦所夹的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明：作直径MN垂直于弦AB,ABCD 直径MN也垂直于弦CD,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况：,C,D,A,B,E,作法：,1 连结AB,小练习,A,B,C,D,E,作法：,1 连结AB,3 连结AC,5 点G同理,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,C,A,B,O,作法：,1 连结AB,3 作AC、BC的垂直平分线,4 三条垂直平分线交于一点O,你能破镜重圆吗？,A,B,C,m,n,O,作弦AB
6、、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆,作法：,依据：,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理三角形,d+h=r,r,有哪些等量关系？,在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少？,垂径定理的应用,用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D
7、 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,解：,AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,解得 R27.9（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,OA2=AD2+OD2,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线
8、经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,4 解决有关弦的问题,1 判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）,随堂练习,2 在O中，弦AB的长为8cm，圆
9、心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm,3 在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形,4 在直径是20cm的O中，的度数是60，那么弦AB的弦心距是_,cm,5 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为_,cm,6 已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等于_,cm,7 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OECD垂足为F，EF=90m求这段弯路的半径,解:连接OC,8 已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,解：连结OA过O作OEAB，垂足为E，则OE3cm，AEBE AB8cm AE4cm 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5cm O的半径为5cm,A,E,B,O,9 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点 求证：ACBD,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，ACBD,E,
