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1、第三章 量子力学引论,波粒二象性不确定关系量子态Schrdinger方程氢原子的量子力学解,3.1 量子论的实验依据,经典物理无法解释的实验现象一、黑体辐射的规律、以太二、光电效应,物理世界上空的两朵乌云Lord Kelvin（William Thomson，18241907）,历史回顾,十九世纪末期，物理学各个分支的发展都已日臻完善，并不断取得新的成就。首先在牛顿力学基础上，哈密顿和拉格朗日等人建立起来的分析力学，几乎达到无懈可击的地步，海王星的发现充分表明了牛顿力学是完美无缺的。其次，通过克劳修斯、玻耳兹曼和吉布斯等人的巨大努力，建立了体系完整而又严密的热力学和统计力学，并且应用越来越广泛
2、。,由安培、法拉第和麦克斯韦等人对电磁现象进行的深入而系统的研究，为电动力学奠定了坚实的基础，特别是由麦克斯韦的电磁场方程组预言了电磁波的存在，随即被赫兹的实验所证实。后来又把惠更斯和菲涅耳所建立的光学也纳入了电动力学的范畴。,开尔文的演讲,Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light（1900）The beauty and clearness of the dynamical theory,which asserts heat and light to be modes of motion,is a
3、t present obscured by two clouds.,Lord Kelvin,The first came into existence with the undulatory theory of light,and was dealt with by Fresnel and Dr.Thomas Young;it involved the question,how could the earth move through an elastic solid,such as essentially is the luminiferous ether?,Michelson,Morley
4、,The second is the MaxwellBoltzmann doctrine regarding the partition of energy.,Maxwell,Boltzmann,3.1 量子论的实验依据,3.1.1 黑体辐射1辐射场及其物理参数2热辐射3黑体辐射的实验规律,热辐射,物体的温度与环境温度有差异时，两者之间将有能量交换，热辐射是能量交换的一种方式。物体以电磁波的形式向外辐射能量，或吸收辐照到其表面的能量分子(含有带电粒子)的热运动使物体辐射电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射。,辐射的电磁波形成一个波场，即辐射场。辐射场与波长（频率）、温度、方向等有关。辐射场的
5、物理参数：温度T，波长或频率，辐射场的能量密度，辐射场的谱密度 u（T，），辐射通量，辐射通量的谱密度，辐射照度，辐射照度的谱密度，等,辐射场,辐射谱密度、辐射本领：温度为T 时，频率附近单位频率间隔内的辐射能量，亦称单色辐出度。,辐射通量：温度为T时，频率附近d频率间隔内的辐射能量。,吸收本领、吸收比：照射到物体上的通量,称为吸收本领或吸收比,其中被物体吸收的通量,物体间的热交换,与外界隔绝的几个物体，起初温度各不相同假设相互间只能以热辐射的形式交换能量每一个物体向外辐射能量，也吸收其它物体辐射到其表面的能量温度低的，辐射小，吸收大；温度高的，辐射大，吸收小,经过一个过程后，所有物体的温度相
6、同，达到热平衡热平衡时，每一个物体辐射的能量等于其吸收的能量热平衡状态下，吸收本领大，辐射本领也大基尔霍夫热辐射定律：热平衡状态下物体的辐射本领与吸收本领成正比，比值只与T，有关。,是普适函数，与物质无关,吸收大，辐射也大。,应当通过实验测量,必须同时测量,如果让,则,绝对黑体,一个开有小孔的空腔，对射入其中的光几乎可以全部吸收,等效于绝对黑体,即可以得到,测量空腔开口处的辐射本领,光谱仪,测量黑体辐射的实验装置,实验测量的结果,以频率分布表示的黑体辐射定律,黑体辐射的定律,1、Stefan-Boltzmann定律（1879年、1884年）2、Wien位移定律（1893年）3、Rayleigh
7、-Jeans定律（1900年，1905年）,Stefan,Jeans,Wien,Rayleigh,1、Stefan-Boltzmann定律,辐射的总能量，即曲线下的面积与T4成正比,Stefan-Boltzmann常数,2、Wien位移定律,曲线的极大值满足,用于测量温度,3、Rayleigh-Jeans定律（1900年，1905年）,绝对黑体空腔内的光以驻波的形式存在驻波的边界条件,亦有,每一个，可以有一系列（nx,ny,nz）的取值，代表不同的驻波模式,上式可以看作是以n的三个分量nx，ny，nz为直角坐标轴的椭球面,驻波的数目,0 的驻波模式（nx,ny,nz）是第一象限球面内的所有整数
8、点，这些点是其中所有单位体积方格的顶点，顶点数等于其中的单位体积的方格数圆频率小于的总的模式数为椭球的体积,空腔的体积,而从小孔辐射出的驻波数为,辐射出的能量，即辐射本领为,单位体积内、频率在+d的驻波数为,以波长表示为,由于每一驻波有两个自由度,即,每一个驻波的能量为kT,0 的驻波模式数,理论与实验,紫外灾难与系统误差,短波段，瑞利金斯公式严重偏离实验结果看起来维恩的结果与实验偏差不大，但这是一种系统偏差，所拟合出的公式完全不同,3.1.2 光量子假说,1.普朗克对黑体辐射的解释1900年提出，1918年获Nobel奖空腔中的驻波是一系列的谐振子，只能取一些分立的能量，即,则一个谐振子处于
9、能态En=n0的几率为,一个谐振子的平均能量为,黑体的辐射本领为,长波段,与Rayleigh-Jeans定律符合,短波段,与实验结果一致,2.爱因斯坦光量子与光的波粒二象性,一.光电效应在光的照射下，材料的电性质发生变化1839年，Alexandre Edmond Becquerel注意到在导电液体中的电极，受到光的照射，会产生电流1873年，英国的电力工程师Willoughby Smith（18281891）也发现硒在光照下会成为电的导体。现代意义上的光电效应是赫兹在1887年进行电磁波实验过程中发现的。,赫兹对光电效应的观察,一对电火花隙放在一个带有玻璃观察窗的暗盒中放电时，两极间火花的长
10、度变短了，将玻璃板移开之后，电极间的火花又变长了。用石英代替普通玻璃板后，火花的长度则没有缩短。赫兹认为，紫外辐射会导致电荷在电火花隙间跳跃，即会导致电荷产生,光电效应的实验研究装置,二爱因斯坦对光电效应的解释,1905年,爱因斯坦用光量子假设进行了解释（1）电磁辐射由以光速c 运动的局限于空间某一小范围的光量子（光子）组成，每一个光量子的能量 与辐射频率 的关系为=h（其中h 是普朗克常数）。（2）光量子具有“整体性”，一个光子只能整个地被电子吸收或放出。,Albert Einstein18791955 1905年用光量子假说解释光电效应,普朗克授予爱因斯坦“马克斯-普朗克奖章”，1929年
11、6月28日，柏林,Compton散射（1921年）散射光中，一部分波长不变，是相干散射；另一部分波长变长，是非相干散射在不同的角度上，非相干散射的波长改变不同在同一角度上，不同的元素非相干散射所占的比例不同上述实验现象称作康普顿效应,Arthur Holly Compton189219621921年在实验中证明了X射线的粒子性,3.康普顿效应,不同角度的散射,不同元素的散射,相干散射,非相干散射,X射线光子在与电子的碰撞过程中，动量和能量是守恒的，弹性散射,Compton波长，对应于静止电子的波长,3.1.3 粒子的波动性,一.de Broglie物质波1924年，de Broglie将Ein
12、stein的光量子概念推广，提出了物质波的概念所有的波都具有粒子性所有的粒子都具有波动性=h/pp=mv/(1-v2/c2)1/2不能将物质的运动和波的传播分开。,Prince Louis-victor de Broglie1892-1987,二.电子的波动性,1.DavisonGermer实验（1927）电子从晶体表面的反射，呈现波动的衍射特征,Clinton Joseph Davisson18811958,Lester Halbert Germer18961971,2.Thomson实验（1927）电子透过晶体薄膜的透射现象,G.P.Thomson,X-Ray在铝箔上的衍射,电子在铝箔上的
13、衍射,3.电子的干涉,1950s，德国Tbingen大学的Gottfried Mllenstedt等利用“电子双棱镜”首先观察到了电子的干涉,约恩逊(Claus Jnsson)实验（1961年）,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验,基本数据,分子的衍射,3.2 物质的波粒二象性,一、光的波粒二象性光子能量：=h 光子质量：m=h/c2 光子动量：p=E/c=h/c=h/粒子性：一个光子是一个不可分割的主体波动性：具有波的特征，=h/p光同时具有波动性和粒子性,宏观粒子的波动性如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测量物理量的周期性变化,如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量的周期性变化,宏观微
14、粒,三、量子态波粒二象性的必然结果,1、轨道角动量的量子化电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则必须以驻波的形式存在,否则，会由于波的相干叠加而消失,形成驻波的条件：轨道周长是电子波长的整数倍2r=n=n(h/p)=nh/(m v)m vr=nh/2角动量P=mvr=nh/2Bohr模型的第三个假设,2、刚性匣子中的粒子,粒子被限制在刚性匣子中运动，不能穿透出来粒子在其中以驻波的形式存在匣子壁是驻波的波节匣子的长度是半波长的整数倍,束缚粒子的能量是量子化的,如果将匣子等效为核的库仑势场,其中的粒子就是核外电子电子沿轨道运动一周后回到起点轨道的周长为匣子长度的2倍,能量的最小值,2L,
15、2r,波粒二象性是量子力学的基础,波粒二象性是量子力学的基础,波粒二象性是建立在物理实验、特别是光学实验的基础之上的从波粒二象性出发，可以自然得到物质的量子态不确定关系、态叠加原理、Schrdinger方程，光学是经典物理学向近代物理学（Modern Physics，包括量子论和相对论）过渡和发展的纽带和桥梁,3.3 不确定关系,经典粒子：可以同时有确定的位置、速度、动量、能量经典波：有确定的波长，但总是在空间扩展，没有确定的位置波粒二象性：不可能同时具有确定的位置和动量。,Werner Karl Heisenberg19011976 1925年建立了量子理论第一个数学描述矩阵力学1927年阐
16、述了著名的不确定关系,一、几个典型的例子,1、自由粒子运动状况不受限制的粒子可以在空间任意位置出现，即位置是完全无法确定的速度不变，即动量不变，是一个完全确定的值=h/p，波长是完全确定的，即单色波单色波是一个在空间无限长的波列动量完全确定，则位置完全不确定,2、波包是非单色波的叠加在空间是有限长的波列L2/将其视为粒子，该粒子在空间可能出现的区域，即位置的不确定范围x=L动量的不确定范围,3、光的时间相干性，即波包的时间相干性时刻t，中心频率为 的波包在空间某一点中心频率对应的能量 E=h=hc/波包能量的不确定度为E=hc/2波包传播过空间一点的时间为t 2/(c)即：粒子的能量在E E/
17、2范围内，且处于该状态的时间为t,4、单缝衍射衍射后的粒子至少要散布到中央主极大的范围中/a粒子通过狭缝才能发生衍射，能通过狭缝的粒子，其空间位置的分布范围，即位置的不确定度x=a动量的不确定范围,二、不确定关系的严格表述,空间位置与动量的不确定关系,能量与时间的不确定关系,三、不确定关系的物理含义,1、物质不可能同时具有确定的空间位置和动量位置完全确定的粒子，对应于一个无限窄的波包无限窄的波包是含有各种波长成分的单色波的叠加，其动量是完全不确定的,动量完全确定的粒子，对应于动量完全确定，即波长完全确定的单色波而该单色波在空间的波列无限长，等效为粒子，该粒子在空间位置是完全不确定的,一般的粒子
18、，对应于普通的波包是有限长的非单色波列同时有动量的不确定度，以及空间位置的不确定度,2、能级的自然宽度,E：粒子在某一状态能量的不确定度t：在这一时间内，粒子的能量不为零，粒子处于这一状态的时间，即该状态的寿命粒子在某一状态的能量与粒子在该状态的寿命是无法同时确定的跃迁是没有中间过程的原子激发态能级总是有一定分布宽度的辐射跃迁发出的光波不可能是严格的单色波,跃迁过程,能级和谱线的自然宽度,3、束缚粒子的最小平均动能,粒子被限制在x范围内运动,核外电子,电子不能落入核内,三维运动,平均动量,不确定关系是波粒二象性的必然结果,About Heisenbergs uncertainty princi
19、ple Einstein made the remark God does not play dice.Bohr repliedEinstein,stop telling God what to do.-The 1927 Solvay Conference,Belgium,First conference participants,1911,Institut International de Physique Solvay,Seated(L-R):W.Nernst,M.Brillouin,E.Solvay,H.Lorentz,E.Warburg,J.Perrin,W.Wien,M.Curie,
20、and H.PoincarStanding(L-R):R.Goldschmidt,M.Planck,H.Rubens,A.Sommerfeld,F.Lindemann,M.de Broglie,M.Knudsen,F.Hasenhrl,G.Hostelet,E.Herzen,J.H.Jeans,E.Rutherford,H.Kamerlingh Onnes,A.Einstein,and P.Langevin,A.Piccard,E.Henriot,P.Ehrenfest,Ed.Herzen,Th.De Donder,E.Schrdinger,E.Verschaffelt,W.Pauli,W.H
21、eisenberg,R.H.Fowler,L.BrillouinP.Debye,M.Knudsen,W.L.Bragg,H.A.Kramers,P.A.M.Dirac,A.H.Compton,L.de Broglie,M.Born,N.BohrI.Langmuir,M.Planck,Mme.Curie,H.A.Lorentz,A.Einstein,P.Langevin,Ch.E.Guye,C.T.R.Wilson,O.W.Richardson,Fifth conference participants,1927,Institut International de Physique Solvay
22、,3.4 波函数与Schrdinger方程,一、波粒二象性的物理本质1、不能理解为经典意义下的波或粒子经典波：物理量在空间的周期性分布经典粒子：具有确定位置、轨迹、速度的实物2、应当理解为：粒子性：本身所具有的颗粒性质，或作为一个整体的不可分割性波动性：物理量、或状态是可以线性叠加的可以通过具体的实例理解波粒二象性,二、双缝干涉实验,干涉的结果，使有些地方强度增强，有些地方强度减弱强度等于光子数、电子数干涉相长：I=I0+I02I0=4I0，两个光子（或电子）干涉后，变为4个光子（或电子）干涉相消：I=I0+I02I0=0，两个光子（或电子）干涉后，光子或电子消失了，湮灭了这是说不通的！,如果
23、让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。而此时电子之间没有干涉所以干涉不是两个电子间相互作用的结果而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这种特性是由电子与双缝所决定的这种分布特性可以用几率描述电子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或光子出现几率小的地方，强度较弱,电子的双缝干涉实验,上述说法是根据光的干涉实验推论到电子的干涉得到的Richard Phillips Feynman：“你最好不要试着去做这样一个实验，这个实验从未以这种方式做过。”1970s，意大利博洛尼亚大学，Pier Giorgio Merli等人已经做了这样的实验,1989年
24、，日立公司的Akira Tonomura等人作了更精确的实验 实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中，所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果,三、波函数的统计解释,Born的统计解释微观体系的波粒二象性，可以用统计的观点理解用波的表达式描述粒子的行为波的强度或振幅，反映的是粒子在时刻t、空间点P处出现、或被发现的几率或几率幅振幅就是几率波幅这就是波动性的物理含义则经典意义下的描述波动的函数或复振幅就成了量子意义下描述粒子分布几率的函数-波函数,Max Born，1882-1970,Erwin Schrodinger1887196
25、1 1926年提出了描述物质波连续时空演化的偏微分方程薛定愕方程，给出了量子论的另一个数学描述波动力学。,对波函数的要求粒子不能湮灭，即总能在空间某处发现该粒子,波函数的归一化条件,归一化因子,有些波函数不能归一化,几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化,四、Schrdinger方程,Schrdinger方程是量子力学的最基本方程不是经过严格的推导而获得的是用试探方法找到的或者说是“猜”到的自由粒子，或者单色平面波的波函数,位矢,波矢,动量,自由粒子的Schrdinger方程,自由粒子,对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能,Hamilton算符,Hamilton量,自由粒子,力学量算符,
26、倒三角是对函数的一个算符！,对于定态势能场,定态Schrdinger方程Hamilton方程,分离变量,方程的解,五、力学量的算符,对波函数做某一数学运算，即用某一算符作用于波函数，等效于用某一力学量乘以波函数,角动量算符,在直角坐标系中,在球坐标系中,六、表象与力学量的平均值,(x)为粒子的波函数，|(x)|2表示粒子在x处出现的几率，即粒子的位置值等于x的几率则x的平均值为,粒子的势能由其位置决定，其势能等于V(x)的几率为|(x)|2，则V(x)的平均值为,但粒子的动量为p的几率，却不能直接用(x)描述要计算动量p的平均值，必须知道关于p的几率分布函数(p)(p)为动量表象下的波函数，表
27、示非单色波中，波长值为=h/p的几率幅实际就是波长为的单色成分的振幅,(x)为位置表象下的波函数，表示粒子（即波包）在位置空间的几率幅（复振幅）波包(x)为一系列振幅为(p)的不同波长的单色波叠加的结果,其Fourier反变换即为动量的波函数,同理，可以得到,如果在坐标表象下，物理量A的算符为,A的平均值为,七、本征函数与本征值,Hamilton量Hamilton算符Hamilton方程,能量E的本征值方程,H的本征函数,H的本征值,对于其它的力学量，也可以列出相应的本征值方程，求得相应的本征函数和本征值,动量,角动量,其中v是动量p的本征函数,其中u是角动量L的本征函数,后面将证明u同时也是
28、Lz的本征函数,3.5 态与态叠加原理,双缝干涉实验研究通过缝而到达接收屏的光子的状态光子只能通过其中一个狭缝到达接收屏用统计语言描述，通过狭缝1的光子在接收屏上有一个分布函数，即波函数，记为1；光强分布为I1=|1|1|也可以说，通过狭缝1的光子的状态为1；通过狭缝2的光子的状态为2；大量光子，它们的状态要么为1；要么为21、2是光子的本征态则所有光子的状态用函数=1 2描述,状态不确定,大量光子的总状态是上述两种状态的叠加=1+2从几率分布的角度看，一个光子的状态可以表示为=1+2即在每个光子经过狭缝前，无法确定它将通过哪一个狭缝或者说，各有一半的几率通过其中的一个狭缝,干涉实际上是一个光
29、子的两个本征态之间的干涉,态叠加原理,干涉项,偏振态,每次半个光子通过偏振片？,偏振态,本征态,混合态（合成态）,玻尔：如果谁在量子面前不感到震惊，他就不懂得现代物理学；同样如果谁不为此理论感到困惑，他也不是一个好的物理学家。,3.6 定态Schrdinger方程问题,定态Schrdinger方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下的Schrdinger方程,在一维条件下,就是求解Hamilton方程,求解微分方程，需要利用一定的边界条件,求出波函数的表达式和 E的数值,1、一维简谐振子,势能,零点能,偶函数偶宇称,奇函数奇宇称,谐振子的几率分布,2、一维无限深势阱,如图，中，势能为0；、中，
30、势能为,Hamilton方程,I区中,I,II,III,E:动能0,边界条件,非零解条件,II、III区中,归一化,偶宇称,奇宇称,3、有限深势阱,如图所示由前面的结果可得到在势阱中,在势阱外，仅讨论EV0,II,III,在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动但按照量子力学的观点，势阱之外的波函数并不等于零说明粒子可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域,II,III,II,III,边界条件1、波函数是连续的2、波函数的一阶微商是连续的归一化条件（不是必需的）,4、方势垒,方势垒如图所示,边界条件,粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道
31、效应,可以计算出粒子流量，用几率流密度表示,粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率可以如下计算,仅需计算向右运动的粒子，即入射波或透射波即可,3.7 单电子原子的波函数,库仑势,分离变量,球坐标系,缔合Legendre函数,归一化因子,只有当,上述方程有解,其中,球谐函数,参量代换,该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化,缔合Laguerre多项式,n，l，m是量子数，为本征态的标志,有解,对解的讨论,几个径向波函数Rnl的计算,计算核外电子到原子核的平均距离,其它的一些平均值,球谐函数,波函数与“电子云”,能量和角动量,3.6 量子数的物理含义,主量子数n,轨道角动量及其量子数,轨道角动量的取向及其量子数,描述原子状态的量子数,用一组量子数描述原子的状态,或者记成,与Bohr模型中量子数的关系,
