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1、初等模型（2）,一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化,1、问题的提出,老式录象机或一些录音机上有计数器，而没有计时器。因而问题产生：一盘180分钟的带子，计数器从0000变到6061。当带子用到4450时，剩下的带子可否录下一个小时的节目。问题所在：录象带读数并非随时间而均匀增长，是 先快后慢。要建立的模型：计数器读数与录象带转过的时间之 间的关系。,2、问题分析读数的增长为何先快后慢,r,右,左,计数器,主动轮转速不变,建立模型：t=f(n),3、模型假设,（1）录象带的线速度是常数v（2）计数器读数n 与右轮盘转的圈数（m）成
2、正比，即m=k n（3）录象带的厚度（加两带间的空隙）是常数w（4）空右轮盘半径为r，初始时刻：t=0时n=0,几个角度建立模型！,4、模型的建立,方法一、,左轮盘所有圈数的长度,录象带转过的长度,=,vt,其中m为圈数，则m=kn,模型：,w相对r较小，忽略该项,（2）,=,（1）,4、模型的建立,方法二、,左轮盘面积增加,录象带转过的长度与厚度的乘积,=,（3）,4、模型的建立,方法三、微积分法 设t=f(n)考虑从第n到第n+n圈（此时第n+1圈未走完),第kn圈,kn,因此：,读数器为n时,因此：,5、参数估计,记,a,b,问题：测试一组数据估计：t=a n+b n,初等模型（2）,一
3、、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题三、动物繁殖的规律四、棋子颜色的变化,二、优秀成果评选公平性问题,1、问题：设有N个评委组成的评选委员会，有M项研究成果，评委会要从中选mM 项优秀成果，但有些评委是某些成果的 完成者，应如何处理此问题才是公平的？方案一：按得票多少排序方案二：评委不参加对自己的成果投票，再 按得票率排队,方案（2）是否公平分析,设某成果涉及C个评委，他们回避后该项成果得p(NC)票。（1）回避得票率（2）不回避得票率,方案（2）还是不公平？,除p=NC外，对每个p，均有r 1(p)r 2(p),1,NC,0,r,r2,r1,p,应采用折中方案,度量得
4、票多少的函数q(p)应满足如下条件：（1）q(p)是p的单调增函数（2）r 1(p)q(p)r 2(p)，0 p N C（3）q(0)=0，q(N C)=1,一个简单实用公平的度量函数,还有吗？,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化,三、生小兔问题,1、问题：兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子?,注：这是13世纪意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那 契(Fibonacd，11701250)的数学家，在一本题为算 盘书的数学
5、著作中，提出的一个有趣的问题。,2、图示,3、问题分析,第一个月：只有一对小兔。第二个月：小兔子末成熟不会生殖，仍只一对，第三个月；这对兔子生了一对小免，共有两对。第四个月：老兔子又生了一对小免，而上月出 生的小免还未成熟，这时共有三对。,4、问题分析与模型建立,记r i 表示第i个月的兔子数（1）r 1=1（2）r 2=1（3）规律：2年后兔子的对数：75025,5、Fibonacd数列的奇特性质,6、Fibonacd数列的广泛应用,1、一本专门研究它的杂志斐波那契季刊(Fibonacci Quarterly)于1963年开始发行，在美 国还专门设立了Fibonacci数委员会。2、上世纪5
6、0年代出现的“优选法”中，也有斐波那 契数列的巧妙应用。3、斐波那契数列不只是在生小免问题中才会遇到，它也出现在自然界、生活中.，如植物的叶 序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的 路线、钢琴键盘等,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化,四、动物繁殖的规律,1、问题：某动物的最大年龄为15岁，按年龄分三组：（1）05岁（2）610岁（3）1115岁。从第（2）年龄组后开始繁殖。第（2）年龄组平均繁殖4个，第（3）年龄组平均繁殖3个。第（1）（2）年龄组分别进入下一年龄组的存活率为0.5，0.25。现设三个年龄组的数
7、量分别为1000，问：5年、10年、15年后各年龄段动物数量，并且20年后各年龄段动物数量又如何？,2、问题分析,设：以5年为1年龄段，t为时间段，各年龄段的数 量为：X(t)=x 1(t)x 2(t)x 3(t)/初始时刻的数量：X(0)=x 1(0)x 2(0)x 3(0t)/=1000 1000 1000/则：,第1年龄段,第2年龄段,第3年龄段,3、模型,4、求解5年、10年及15年数量,5、思考？,（1）当有足够大的时间t时，模型有什么 规律？（代数性质）（2）如果每5年平均向市场供应动物数是：c=s s s/，问动物不在灭绝的前提 下，c应取多少？（3）在动物不在灭绝的前提下，每5
8、年应 如何规划使得20年内向市场供应的数 量最大？,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途二、优秀成果评选公平性问题三、生小兔问题四、动物繁殖的规律五、棋子颜色的变化,五、棋子颜色的变化,1、问题：任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如下图所示的圆圆，然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?,2、最终结论是什么？,可完全用数学的推理方法说明最多经过8次变换，各棋子的颜色都会变黑。,3、分析,注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异 色的棋子中间加白色棋子，即黑
9、黑得黑，白 白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。方法：用+1表尔黑色，用l表示白色，开始摆的八 颗棋子记为a1，a2，.，a8，并且a k+1或-1，k1，2，8，下一次在al与a2中间摆的棋 子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定。类 似的a k a k+1正好给出了所放棋子的颜色。,4、符号运算规则,规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号，则：(1)(1)()=(1)(1)()=(1)(1),5、各次颜色的确定,可见：最多经过8次变换以后，各个数都变成丁+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。,小组讨论题,我们每个人都有跑步的经历，有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎样跑步能使我们消耗的能量最少?,d4-01：跑步与走路时如何节省能量,结 束！,不公平！,back,对非评委的研究成果的完成者不公平，因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。,（1）规律：,back,当时间t足够大时，满足：,如何求？Matlab命令：特征值命令：d=eig(A)求正数:i,j=find(d0),（2）如何取c值？,由于：,故：,即：,Matlab求不等式解：c=152 152 152,back,（3）如何使数量最大？,back,设c=c1 c 2 c 3 c 4为每个5年的供应量，则：,
