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1、什么是一个数的算术平方根？如何表示？,正数的正的平方根叫做它的算术平方根。,回忆,什么叫做一个数的平方根？如何表示？,一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。,用(a0)表示。,0的算术平方根平方根是0,a的平方根是,复习,1、如果，那么；,2、如果，那么；,3、如果，,那么。,2,b-3,2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为 m（取3.14）；,3、关系式中，用含有h的式子表示t，则t为。,导入,新授:,观察以上各式，它们有什么共同特点？,表示一些正数的算术平方根,表示一些正数的算术平方根,你认为所得的各代数式有哪些共同特点？,被开方数,二次根号,归纳:,
2、二次根式的定义(默1）,一般地，形如 的式子叫二次根式。,16.1 二次根式,本课学习目标：,（1）二次根式的概念(双重非负性),（2）根号内字母的取值范围（3）二次根式的性质(1,2),请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！,?,开动你的脑筋,你一定行!,2.a可以是数,也可以是式.,3.形式上含有二次根号,4.a0,0,5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.,1.表示a的算术平方根,(双重非负性),如：这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而 这类代数式，应把 这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。,注意,说一说:,下列各式是二次根式吗?,
3、(m0),(x,y 异号),在实数范围内,负数没有平方根,火眼金睛,1、判断下列代数式中哪些是二次根式？,例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。,例题讲解,（3）由题意可知：,1）由x-50,得x 5,当 x 5时，有意义,（2）由1-3x0得x,当 x 时，有意义,当-1 x 3时，有意义；,解：（,变式：,当x取何值时，在实数范围内有意义。（默2）,当x5时，在实数范围内有意义。,x-5 0,解：由题意得,5,解:由题意得,（默3）,求下列二次根式中字母 的取值范围（默4）,变式：,(1)解：字母 a 的取值范围是全体实数,(1),无论 取何值，都有,字母 的取值范围是全体实数.,
4、字母 的取值范围是全体实数.,例2,(2),变式：,(2)解：-,(a为任何实数),(a=1),说明:1.当被开方数本身为非负数或能化为非负 数形式时，其字母的取值范围为：全体实数；2.当被开方数本身为非正数或能化为非正数形式时，其字母的取值范围为：使被开方数为0的值。,(a为任何实数),求下列二次根式中字母的取值范围：,解：（1）由题意得：,求字母的取值范围的口诀（默5）,从左看到右;从上看到下,看到分数线,分母不为0,（2）,(3)为任意实数,看到偶次根式,被开方数大于等于0,看到0指数,底数不为0,最后画数轴,写出解集来,1、x取何值时,下列二次根式有意义?,快速口答,(7),(8),参
5、考图1-2,完成以下填空:,2,7,性质一:,一般地,二次根式有下面的性质:,快速判断,5,3,a,9,4,16,15,17,一般地，,（a0）,合作学习,请比较左右两边的式子,议一议:与 有什么关系?当 时,;当 时,一般地,二次根式有下面的性质:,2,2,5,5,0,0,性质二:,一般地，根据算术平方根的意义，,大家一起来分辨,2,2,-2,|-2|,=2,|2|=2,-|-2|=-2,大家抢答,a0,a取任何实数,1:从运算顺序来看,先开方,后平方,先平方,后开方,=a,a(a 0),3.从运算结果来看:,-a(a0),=,=a,总结规律,比较分析 和,先开方,后平方,先平方,后开方,a
6、0,a取全体实数,a,a,根号a的平方,根号下a平方,二次根式的性质及它们的应用:,（1）（2）,平方在外面,直接去根号,平方在里面,夹上绝对值,分类来讨论,口诀,（默6）,(xy),(x0),讨论与思考,将下列各式化简：,例3、化简及求值：(1)(2)(3)(a0,b0)其中a=(5),(1)(2)(3)(a0,b0)其中a=(5),解：原式=,=|x-3|+|x+1|,-10原式=(3-x)+(x+1)=4,（默7）,（默8）,引申提高,A,2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简,3.已知a，b，c为ABC的三边长，化简：,+,-,这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间
7、的关系这个知识点上，特别要应用好。,（默9）,化简,4.化简,（默10）,归纳,二次根式的非负性：,二次根式的双重非负性：,-1,3,(-5)2(-2)=20,3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.,2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.,到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？,思考：,非负数的性质：,1.几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数,（默11）,（默11）,（默11）,例3、当x是怎样的实数时，有最小值？最小值是多少？,有什么性质？,二次根式 的双重非负性：,当x=-2时，有最小值0,2、2+的最小值为，此时x的值为。,2,3,（默12）,当t是怎样
8、的实数时，有最小值？最小值是多少？,当t=0时，有最小值1,引申提高,（默13）,小结：,1.怎样的式子叫二次根式？,2.怎样判断一个式子是不是二次根式？,3.如何确定二次根式中字母的取值范围？,（1）.形式上含有二次根号,（2）.被开方数a为非负数，,从左看到右;从上看到下,看到分数线,分母不为0,看到偶次根式,被开方数大于等于0,看到0指数,底数不为0,最后画数轴,写出解集来,4.真正理解：,这两个性质的概念，,我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。,解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘隐含条件。,二次根式的性质及它们的应用:,（1）（2）,平方在外面,直接去根号,平方在里面,
9、夹上绝对值,分类来讨论,口诀,3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.,2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.,到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？,思考：,非负数的性质：,1.几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数,切入点：,从字母的取值范围入手。,1.已知 你能求出 的值吗？,3.已知，你能求出 a 的取值范围吗？,2.已知 与 互为相反数，求、的值.,切入点：,从代数式的非负性入手。,4.已知 为一个非负整数，试求非负整数 的值,切入点：,分类讨论思想。,探索交流,解:由题意得,2.已知a,b为实数，且满足，你能求出a及a+b 的值吗？,若,=0，则,=_
10、。,3、已知 有意义,那A(a,)在 象限.,二,由题意知a0,点A(,),12、,11、,8、,3,1、求下列二次根式中字母的取值范围：,基础练习,（1）（2）（3）（4）,(1)解:由题意得,(3)解:由题意得,(4)解:由题意得,解:由题意得,综合提高,1.求下列各式有意义时的X取值范围：,解:由题意得,当x为怎样的实数时，下列各式有意义？,x3,x6,3x6,x1,x1,x=1,x为任何实数.,x为任何实数.,2.数a在数轴上的位置如图,则,课内练习1,1.填空,3.实数p在数轴上的位置如图所示，化简,4.若，则化简的结果是,5.设a,b,c为 ABC的三边，化简,3,2a+2b+2c
11、,6.x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,1.（2010芜湖中考）要使式子 有意义，a的取值范围是（）A.a 0 B.a-2且a 0 C.a-2或a 0 D.a-2且a 0【解析】选D.要使式子 有意义，须同时满足a+20，a0两个条件，解两个不等式可得a-2且a0。,2下列式子一定是二次根式的是（）A B C D【解析】选C.A中只有当x-2时，才是二次根式，故A不一定是二次根式；B中当x0时是二次根式，故B不一定是二次根式；C中无论x为何值，x2+20，所以C一定是二次根式；D中当x=0时，不是二次根式，所以D也不正确。,若a.b为实数,且,求 的值。,解:,3.,4.计算
12、：,+,+,+,5.如果,+b-2=0，求以a、b为边长的等腰,三角形的周长。,6.化简：,-（,）2,分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.,7.设等式,在实数范围内成立，其中a,x,y 是两两不等的实数，求,的值。,解：,巩固提高：,1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围,（1）,（2）,（3）,2.当x_时,有意义.,=0,3.化简：,=_,2a-3b,4.要使式子 有意义，那么x的取值范围是（）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0,C,5.已知,求,的值。,6.已知,，化简：,7.已知：,，求,的值。,练习:1.用心算一算:,0.1,18,12,2.计算：,试试你的计算能力:,2,15,-5,试试你的计算能力:,把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；,思路启迪：利用 可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式,把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；,因为难,所以我挑战!,n为2，9，14，17,解:由题意得,
