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1、中考复习,第一讲,数与式的基础知识和能力概要,制作:飞沙落日,1.实数的分类(基本概念)：,无限不循环小数,实数,有理数,整数,正整数,(自然数),零,负整数,分数,正分数,负分数,无理数,正无理数,负无理数,有限小数和无限循环小数,初中阶段遇到的无理数有三类:开方开不尽的方根;如特定结构的数;如:1.020020002特定定义的数;如:,cos30,sin45,tan60,注:下列数不是无理数:如sin30,3.14159,7/11,有理数分类,整数和分数统称为有理数可化为有限小数或无限循环小数,1.下列语句:(1)所有整数都是正数;(2)所有正数都是整数;(3)小学学过的数都是正数;(4)
2、分数是有理数;(5)在有理数中除了负数就是正数.其中正确的语句的个数有()A.0个 B.1个 C.3个 D.4个,B,2.下列语句:分数是小数.无理数是特殊的小数.无限小数是无理数.无理数是开不尽方的数.无理数一定是无限小数.其中正确的说法有()A.0个 B.2个 C.3个 D.4个,B,3.下列实数中:tan60,0.2121121112(每相邻两个2之间依次多一个1)中有理数有()个 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,C,注:看数看实质,不能以“貌”取数,2.实数中的几个重要概念:,.相反数,只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。,1)数a的相反数是-a,2)0的相反数是0
3、.,3)a、b互为相反数 a+b=0(a=-b),4)数轴上表示相反数的两个点关于原点对称,反之亦然.这两点到原点的距离相等.,.绝对值,几何意义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用a表示,1)数a的绝对值记作a;,若a0，则a=;2)若a0，则a=;若a=0，则a=;,a,-a,0,3)对任何有理数a,总有a0.,2.实数中的几个重要概念:,代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值等于它的相反数;0的绝对值是0,去绝对值符号(即化简绝对值)的方法:首先确定绝对值符号里代数式值的正负,然后按绝对值的代数意义进行化简.,.数 轴(三要素),规定了 的直线.,1）在数轴
4、上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；,2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；,3）数轴上的点与_一一对应,实数,原点、正方向和单位长度,2.实数中的几个重要概念:,.倒 数,如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数.,注:常用倒数实例,tan tan(90-)=1,2.实数中的几个重要概念:,(n0),(为锐角),3.科学记数法,把一个数表示成a10n的形式叫科学记数法.其中,1a10,n为整数.,(1)一个数a,如果a10时,用科学记数法来表示,n等于整数位数减1.,(2)一个数a,如果0 a1时,n等于第一个非零的数字前面的零的个数的相反数.,注:只需用实例 12=1.210
5、1,0.012=1.210-2就可以记住这个规律.,4.近似数与有效数字,(1)近似数:一个与准确值相近,但又有差异的数叫近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到哪一位.,(2)一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到这个数的末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.,如:0.010010从左边不是0的数字1开始,到末位数字0结束,共有五个有效数字,分别是1、0、0、1、0.,特别强调:(1)0在一个数中所处的位置不同,可能是有效数字,也可能不是有效数字,注意正确区分.(2)是否取近似数要看题目中的要求,不要随便利用计算机运算去取近似数.,4.据“保护长江万里行”考察队统计,仅
6、2003年长江流域废水排放量已达163.9亿吨.治长江污染真是刻不容缓了!请将这个数据用四舍五入法,使其保留两个有效数字,再用科学记数法表示出来是()A.1.6103亿吨 B.1.6102亿吨 C.1.7103亿吨 D.1.7102亿吨,B,点评 首先将所考查的数用科学记数法表示出来;然后再按题设要求四舍五入保留到有效数字.,练习,5.今年15月份,深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元,数据216.58亿精确到()A.百亿位 B.亿位 C.百万位 D.百分位,C,点评 四舍五入精确到多少位不能被表面现象迷惑,而要看清数据后面的无单位,还原后再做判断.,6.下列四个数据中,精确的是()
7、A.小莉班上有45人 B.某次地震中,伤亡大约10人 C.小明测得数学书的长度为21.0厘米 D.吐鲁番盆地低于海平面大约155米,点评 对精确数与近似数的判断主要抓住其定义理解,在日常生活中很多如测量的质量、长度等等都是近似数.,A,练习,5.数的运算,(1)实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算:特别注意两个转化:减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相反数,即:a-b=a+(-b);除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数,即ab=a,(2)混合运算中注意两点:一是运算顺序;二是灵活运用运算律简化计算.,(3)注意幂的运算性质和根式的化简.,6.实数大小的比较,(1)数轴法:数
8、轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.,如:a与b在数轴上的位置如图所示:,则ab.,(2)作差法:设a、b为任意实数,若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a-b0,则ab;反之成立.,(3)求商法:设a、b为正任意实数,若a/b1,则ab;若a/b=1,则a=b;若a/b1,则ab.若a、b为负任意实数,则与上述结论相反.,(4)绝对值法:对于两个负数比较大小,绝对值大的反而小.即若a b,则 ab,实数大小的比较,7.将 这三个实数按从小到大的顺序排列,正确的结果是(),点评 本题主要考查幂的运算,难点是符号的变化,因此,解此类题的最好方法是正确运用相关法则细心计算,得出结
9、果后再与各选项比较.,C,练习,7.整式的几个重要概念,(2)单项式:由数与字母的乘积组成的式子,叫单项式,单个的数或字母也是单项式;单项式中的数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做单项式的次数;,(3)多项式:几个单项式的和叫做多项式,其中每一个单项式叫做多项式的项,多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数;,(4)整式:单项式和多项式统称为整式;,(5)同类项:所含字母相同,且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项,所有常数项都是同类项;,(6)因式分解:把一个多项式分成几个整式的乘积的形式,叫因式分解.,(1)代数式:如a,xy2,a+b,3(a-b)2,等式子,称为代数式,单独的
10、一个数或一个字母也是代数式;,8.整式的运算,(1)整式的加减运算:去括号、合并同类项;(2)整式的乘除:同底数幂的乘法:aman=am+n,(m、n为正整数)幂的乘方:(am)n=amn,(m、n为正整数)积的乘方:(ab)n=anbn,(n为正整数)单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(ab)2=a22ab+b2同底数幂的除法:aman=am-n,(m、n为正整数,且a0)单项式除以单项式多项式除以单项式,9.因式分解,基本方法,1.提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c),2.公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a22a
11、b+b2=(ab)2,3.分组分解法:ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n),4.二次三项式的因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),策略:一提二套三检查,整式的概念,8.下列运算正确的是(),A.2x5-3x3=-x2,C.(-x)5(-x2)=-x10,D.(3a6x3-9ax5)(-3ax3)=3x2-a5,点评 此题主要考查整式中的同类项、同类二次根式和幂的运算，几个备选答案实际上指出了我们在这些运算中常犯的一些错误。,D,练习,整式的概念,9.若两个单项式2amb2m+3n,a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（）,
12、A.1,2 B.2,1 C.1,1 D.1,3,点评 题目条件隐蔽性很强,须紧扣单项式的定义得出两式为同类项,依据同类项的意义解题,充分体现了”转化”的数学思想.,A,练习,整式的运算及探究规律,10.计算x-y-3(x+y)的最后结果是(),A.0 B.2x C.-2x+2y D.-2x-4y,D,11.如图,是三种化合物的结构及分子式,请按其规律,写出后一种化合物的分子式.,C4H10,点评 此题是一道化学中常见由分子结构图寻找规律题,通过仔细分析不难发现该分子只有两种元素“C”和“H”,只是个数不同,只要抓住数字规律即可写出其分子式.,练习,整式的运算及探究规律,12.观察下列各式:,(
13、x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,根据前面的规律,得:(x-1)(xn+xn-1+x+1)=.(其中n为正整数),xn+1-1,点评 找规律题,特别是数与式的规律题,解题的关键是从特殊到一般,逐步分析抓住题目中的“不变”与“变”找规律.,练习,因式分解,13.将a5-16a分解因式,结果为.,a(a2+4)(a+2)(a-2),点评 分解因式时,如果有公因式,应先提公因式,然后考虑用乘法公式,最后看能否再分解因式,直到不能再分解为止!,14.若点P(a+b,-5)与点Q(1,3a-b)关于原点对称,则关于x的二次三项
14、式x2-2ax-b/2可分解为.,(x-1)2,点评 解此题关键是紧扣P、Q关于原点对称,关于原点对称的点的横、纵坐标是互为相反数,所以,可以得出关于a、b的二元一次方程组,求出a、b的值从而求出结论.,练习,分式,1.分式中的有关概念,(1)分式:形如(A、B是整式，且B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母,(2)有理式:整式和分式统称为有理式.,注意:分式有意义的条件分母不能为0,分式,2.分式中的基本性质,(1)分式的基本性质:分式的分子或分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.,分式的基本性质主要用于分式的约分或通分.,(2)分式的符号法则
15、:分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变(三改二),分式,3.分式的运算,(1)分式的乘、除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，即两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘.类比分数除法理解为：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即,(2)分式的加、减法同分母分式相加减:分母不变,只把分子相加减,即异分母分式相加减:先通分变为同分母分式后再相加减,即分式的乘方:把分式的分子、分母分别乘方,即分式的混合运算:在分式的混合运算中,应先算乘方,再将分式的除法转化为乘法进行约分化简,最后进行加减运算,结果必须化为最简形式或整式.,分式,3
16、.分式的运算,分式的概念,点评 分式的值为0,不能简单的理解为只是分子为0,而应该有两个条件:一是分母的值不能为0;二是分子的值为0.这两个条件缺一不可.,分式的基本性质,A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.缩小6倍,A,X=1,练习,根式,1.根式的有关概念,(1)平方根:如果一个数的平方等于正数a,那么这个数就叫做a的平方根;记作:.一个正数有两个平方根,他们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.,(2)算术平方根:正数a的正平方根,叫做a的算术平方根,0的算术平方根是0;一个非负数a的算术平方根记作:,(3)立方根:如果一个数的立方等于a那么这个数是a的立方根.记作:.正数有
17、一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0.,一般地，求一个数的平方根有两种：1.根据乘方意义求平方根;2.用计算器求平方根.,(4)二次根式:式子 叫做二次根式(5)最简二次根式:如果一个二次根式同时满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式.(6)同类二次根式:几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,则称这几个二次根式是同类二次根式.,根式,1.根式的有关概念,根式,二次根式的性质,(1)二次根式的非负性:,(2)二次根式的运算性质:,二次根式的有关概念,点评 求字母的取值范围是中考中常考内容之一,方
18、法是综合考虑各种因素条件,取所有解集的公共部分.,18.下列各式中属于最简二次根式的是(),X4/3,A,点评 此题主要考查最简二次根式的概念,判断一个二次根式是不是最简二次根式必须按其定义中的两个条件,进行判定,本题A选项中虽然有二次项,但就整体而言,没有能开得尽方的因式,所以是最简二次根式.,练习,二次根式的有关概念,5,点评 解题紧扣同类二次根式的定义,不难得到关于a的一元一次方程，从而求得a的值,二次根式的性质,.-3.3或-3.3.9,C,B,练习,二次根式的运算,(1)二次根式的加减 在二次根式的加减运算中,一般是先把二次根式化简为最简二次根式,再合并同类二次根式;如,(2)二次根
19、式的乘除 二次根式的乘除法主要是反向运用二次根式的运算性质:在运算过程中能约分的应先约分,再相乘除,最后将结果化为最简二次根式或整式.如果分母中含有根号应化去根号.,根式,二次根式的运算,21.下列计算正确的是(),点评 此题的关键点是能够将a转化为,进而可将式子类似分解因式进行变化、约分,达到简化计算的目的.,D,练习,实数的运算,23.计算,实数性质的综合运用,24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此,4、12、20都是“神秘数”.,(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?,(2
20、)设两个连续偶数为2k+2和2k,(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么?,(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗?为什么?,代数式的化简求值,25.化简:(2x+y)(2x-y)+(x+y)2-2(2x2-xy),点评 整式的化简,实质上就是运用乘法公式计算或去括号、合并同类项.,点评 此题综合考查了整式的计算及代数式整体代入求值法.解答此题时,先由给定条件找到对应的一元二次方程,可以整体代入求代数式的值.,分式的运算,27.已知实数A、B满足:求A、B的值.,点评 本题的解法中主要运用了裂项法,即将一个分式拆成几个分式的和、差的形式.这是一种
21、常用的重要方法.,分式的化简求值,29.先化简,再求值,点评 此题属于双化简形式,即待求值式和所给字母的值都需化简,重点在待求值式的化简上,在解答时必须细致才能正确求出值.,A.abc B.acb C.cba D.bca,B,33、卫星绕地球运行的速度(即第一宇宙速度)是7.9103米/秒，则卫星绕地球运行2102秒走过的路程 米(结果保留两个有效数字)。,1.6106,34 如图11所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2)上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4所对应
22、的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_(用n含的代数式表示),图11,3.一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方向走15米到达A5点.按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是 _米.,15,35、a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+1+b+cd=_,36、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是。,2,cdba,2.有关实数的非负性：,若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都为0.,解：由3a+4+(4b-3)2=0得 3a+4=0 且(4b-3)3a+4=0 且 4b-3 a=-4/3，b=3/4ab=(-4/3)(3/4)=-1,
