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1、模糊与概率(二),问题的提出,如何表征模糊集合的模糊程度 模糊熵如何表征模糊集合间的包含关系 模糊包含度如何用模糊集合间的包含关系表征某个模糊集合的模糊程度 模糊熵包含度定理,A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。引出熵的比例形式：,模糊集合的模糊程度模糊熵,模糊熵定理：,模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（）,模糊集合的模糊程度模糊熵(续),模糊集合间的包含关系包含度定理,主导隶属度函数关系(dominate
2、d membership function relationship)：,如果A=(.3 0.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定义下的子集性(Zadehs1965)。,1.模糊子集的几何表示B的所有模糊子集构成集合模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi)。可以,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),图7.7,用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积：,2.包含度定理：在图7.7中，
3、点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：S(.,.)在0,1之间取值，其代表了多值的子集测度（包含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),度量S(.,.)的两种方法：(1)代数方法:即失配法(fit-violation strategy)假定X包含有100个元素：X=x1,x100。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算
4、，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),失配数的计算：max(0,mA(x)-mB(x)归一化之后得到超集的最小度量：,包含度为：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时，S(A,B)=0。而空集本来就无法包
5、含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的大小为：0 S(A,B)1 考虑匹配矢量A=(.2 0.4.5)和B=(.7.6.3.7)。A几乎是B的子集，但不完全是，因为 所以，类似可得：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),(2)几何方法：在图7.7中，集合A或是位于F(2B)内,或是在外头。直觉上，当A接近F(2B)时,S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时,S(A,B)应该减小。那么A与F(2B)之间的距离如何计算？,图7.7,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),寻找B*(A位于F(2B)外):通过F(2B)边线的直线延伸，将超立方体In分割成2n个超长方形
6、。他们分为混合的或是纯的主值隶属度。非子集A1,A2,A3,分别位于不同的象限。通过F(2B）与A1,A3的范数距离，分别找到与西北和东南象的点A1,A3距离最近的点B1*和B3*。而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身。由此可证得一般性勾股定理。且这种“正交”优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边。,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),以B为中心的l1范数区域呈钻石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)M(A2)。可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测：,定义超集度为：d(A,F(2B)=d(A,B*)为了保证其值在(0
7、,1)之间变化,要进行归一化处理，该常数等于最大的单位立方体距离，l1情况下值为n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n这种度量存在的问题：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),假定p=1，令 正交性表明：设 其充要条件是没有失配现象发生，恒有。,设 其充要条件是有失配现象 发生，这时，,综上：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质：因为如果有一个失配关系，那么，所以，其余的，所以 故。,B*是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近的A的子集A*:,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),包含度定理：,推导相对频率：,模糊集合间的包含关系包含度定理(续),包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值 熵-包含度定理：,证明：将包含度定理中的A、B分别用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可证得。,熵-包含度定理,图示二维的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可见长对角线的长度相等，所以并集 到交集 的模糊幂集所构成的超长方形的最优距离d*满足：,熵-包含度定理(续),另外，利用下式也可得到该公式。,Thank You,
