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1、 双曲线1范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2顶点顶点：特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长2. 双曲线的标准方程：(a0，b0). (a0，b0). c2a2b2焦点在x轴上，焦点是F1(c, 0)、F2(c, 0). 焦点在y轴上，焦点是F1(0, c)、F2(0, c).双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3渐近线经过A2、A1作y轴的平行线
2、 xa，经过B2、B1作x 轴的平行线yb，四条直线围成一个矩形 (如图)两条直线叫做双曲线的渐近线. (a0, b0)的渐近线为ab时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.4等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上5共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 6补充性质：焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。（利用双曲线的第二定义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。）7离心
3、率概念：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约8共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如与注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意1） 性质：共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2） 确定双曲线的共轭双曲
4、线的方法：将1变为-1 3） 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 三、讲解范例： 一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程或（a、b0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.例1 求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的共轭双曲线方程.解 令与双曲线有公共渐近线的双曲线系方程为，将点代入，得，双曲线方程为，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为.评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为（kR，且k0）；有公共焦点的双曲线
5、方程可设为，本题用的是待定系数法.二 、1、第一定义的应用双曲线的第一定义：已知F1、F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|PF2|=2a，正常数2a1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?【解前点津】 从假设存在这样的P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果. 【规范解答】 设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|d，由双曲线第二定义得：即|PF2|=e|PF1| 又由双曲线的第一定义得：|PF2|PF1|=2a 从中解得：|PF1|=，|PF2|=，因PF1F2中有|
6、PF1|+|PF2|2c，2c 而e=，故由得：e22e10解之：1e1+，e1，11+相矛盾，符合条件的P不存在.【解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立. 例2：如果双曲线上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题如何求P到左焦点F的距离|PF|？解：|PF|PF|=2a， |PF|10=16， |PF|=26例3：已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线上求一点P，使的值最小。解：a=1，b=，c=2，e=，设点P到与焦点（2，0
7、）相应的准线的距离为d，则即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，所求的点为P（2，3）。三、双曲线性质的应用例1 设双曲线（）的半焦距为c，直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到的距离为，求双曲线的离心率.解析 这里求双曲线的离心率即求，是个几何问题，怎么把题目中的条件与之联系起来呢？，由面积法知ab=，考虑到，知即，亦即，注意到a4即b2时，则当x=2b时，|AP|min=|2b5|=，解之b=(其中2应舍去).此时存在双曲线方程为： (2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为=1(xR)，|
8、AP|=，xR，当x=4时，|AP|min=，b2=1，此时存在双曲线方程为 y2=1.【解后归纳】 给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积.【解前点津】 因e=，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2y2=(0).【规范解答】 (1)e=，c2=2a2=a2+b2 a2=b2，双曲线方程可设为：x2y2=，点(4
9、，)在双曲线上，1610=，即=6，故双曲线方程为：x2y2=6.(2)由(1)知：F1(2，0)，F2(2，0)，点(3，m)在双曲线上，9m2=6，m2=3，故=1，MF1MF2.(3)F1MF2的底|F1F2|=4，F1F2的高h=|m|=，S=6.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为mx2+ny2=1(mn0).（六）点差法的运用的中点,求直线AB的方程.解 由方程组 推得, 故直线AB的斜率为2,例2对于双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于两点，且是的中点。解：假设存在直线，设，则（1）（2）得：的方程为：即由得与已知双曲线无交点，即假设不成立， 不存在。
