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1、精心整理复变函数论试题库梅一A111复变函数考试试题（一）1、 _.（为自然数）2._.3.函数的周期为_.4.设，则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.8._，其中n为自然数.9.的孤立奇点为_.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.复变函数考试试题（二）二.填空题.(20分
2、)1.设，则2.设，则_.3._.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为_.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_零点.6.函数ez的周期为_.7.方程在单位圆内的零点个数为_.8.设，则的孤立奇点有_.9.函数的不解析点之集为_.10.三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒
3、歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为_.2.函数ez的周期为_.3.若，则_.4._.5._.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为_.7.设，则f(z)的孤立奇点有_.8.设，则.9.若是的极点，则.10.三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一
4、常数。复变函数考试试题（四）二.填空题.(20分)1.设，则.2.若，则_.3.函数ez的周期为_.4.函数的幂级数展开式为_5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7.设，则.8.的孤立奇点为_.9.若是的极点，则.10._.三.计算题.(40分)1.解方程.2.设，求3.4.函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.复变函数考试试题（五）二.填空题.（20分）1.设，则.2.当时，为实数.3
5、.设，则.4.的周期为_.5.设，则.6.7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8.函数的幂级数展开式为_.9.的孤立奇点为_.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且.四.证明题.(20分)1.证明函数除去在外，处处不可微.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题（六）
6、一、 填空题（20分）1. 若，则_.2. 设，则的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 若是的阶零点且，则是的_零点.7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是_.8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆内的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题（20分）1、 方程在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、 若是的阶零点，则是的阶极点.计算下列积分（分）(1)；(2)计算积分（
7、分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)；(2)设为复平面上的解析函数，试确定，的值（分）三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数（分）试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函数；7.；8.；9.0；10.三计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4.解令,则.故,.四.证明题.1.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(2)则上述方程组变为.消去得,.1) 若,则为常数.2) 若,由方
8、程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故.复变函数考试试题（二）参考答案二.填空题1.1，；2.；3.；4.1；5.6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.计算题1.解.2.解令.则.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解=0.四.证明题.1.证明(必要性)令,则.(为实常数).令.
9、则.即满足,且连续,故在内解析.(充分性)令,则,因为与在内解析,所以,且.比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.2.即要证“任一次方程有且只有个根”.证明令,取,当在上时,有.由儒歇定理知在圆内,方程与有相同个数的根.而在内有一个重根.因此次方程在内有个根.复变函数考试试题（三）参考答案二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10.三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解令,则.故原式.4.解令,.则在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(
10、2)则上述方程组变为.消去得,.1),则为常数.2) 若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（四）参考答案.二.填空题.1.,;2.;3.;4.;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.;9.;10.三.计算题.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而为可去奇点当时，而为一阶极点.四.证明题.1.证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑.而,在上半平面内,已知在上半平面解析,因此,从而在下半平面内解析.2.证明令,则与在全平面解析,且
11、在上,故在内.在上,故在内.所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案一.判断题.1610.二.填空题.1.2,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.;9.0;10.三.计算题.1.解令,则.故,.2.解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3.令,则.当时,故,且在圆内只以为一级极点,在上无奇点,故,由残数定理有.4.解令则在内解析,且在上,所以在内,即原方程在内只有一个根.四.证明题.1.证明因为,故.这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案二、填空题：1.2.3.4.15.16.阶7.整函数8.9.010.欧拉公式三、计算题：1. 解：因为故.2.解：因此故.3.解：4.解：5解：设,则.6解：四、1.证明：设则在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设，则,由于在内解析，因此有,.于是故，即在内恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.页脚内容
