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1、分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。例1. 若，且，求的值。（1/8）例2. 若，求的值。（3）例3. 求证：例4. 设正数x，y，z满足不等式+1,求证x，y，z是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x2+y2-z2)+x(y2+z2-x2)+y(x2+z2-y2)-2xyz0因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x，y，z全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x，y，z是某个三角形的三边长例5. 求分式，当时的值【解析】 先化简再求值直接通分较复
2、杂，注意到平方差公式：，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项原式例6. 若实数a，b，c满足，求证：.【证明】：由已知得到，有，则a，b，c中一定有两个数互为相反数。例7. 化简:【解析】 原式例8. 计算：【解析】 设+解之得同理：，原式+用因式分解再通分法比较好补充：化简分式： 例9. 化简【解析】 按照分式混合运算法则进行化简：例10. 化简：【解析】 原式 例11. 已知，求证例12. 已知，求的值【解答】：由；可得；答案为1；例13. 已知，求代数式的值。（）方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14. 已知分式（1） 在什么条件下此分式有意义?（2） 在什么条件下分式的值为正
3、、为负？（此问要解一元二次不等式，超纲）（3） 分式的值能否为0？【分析与解答】：(1)x,y的绝对值都不是1（2）原式=(1+x)(1-x)/(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)=1/(1-y2) 所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时，分式为正 当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时，分式为负。（3）不能例15. 化简：【解析】 原式 例16. 化简：【解析】 原式 例17. 化简：【解析】 原式补充：化简【解析】 按照分式混合运算法则进行化简：补充：化简：【解析】 原式例18. 化简： . （a+b+c）方法三、倒数法例19. 若，则=_【解析】 解析： 由，故例20. 已知
4、，则=_. 若，则=_. 若，则=_【解析】 本小题是一个简单题，也是这类题的一个最基本、最原始的模型！，本题在例题的基础上，对已知条件稍作变形，待求式也稍作变形本题在上个例题的已知条件上稍作变形，实质是一样的！点评：倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系，或者对已知条件、待求式作倒数变形，以便快速、准确地求解问题的一种方法，对于本题而言，已知条件中存在(或隐含)倒数关系，这类题目比较简单补充：已知，求分式的值 如果，那么的值是_【解析】 （） 由， 故例21. 若，则_【解析】 由，故原式例22. 设，则的值是（ ）A. 1 B. C. D. 【解析】 由可知，原式例23. 己知 ，求的值。
5、 补充：已知，求的值例24. 设，求的值.【解】：两边同除以,因式分解得到；答案为2或3；例25. 已知，且，求x的值。例26. 已知，求下列的值方法四、等比定理、设k法例27. 已知：，求k；例28. 如果，求的值。例29. 若，则的值是_或_.【解答】：0或2；例30. 若，且，求的值。（8或-1）例31. 若，且，求的值；【分析】等比性质；x=y=z或x+y+z=0；原式=8或-1例32. 已知，求证。补充：已知，且，求的值。(9)例33. 已知，且，求.(0)例34. 已知，且，求证或。例35. 已知，求的值。（1）方法五、巧变“1”例36. 若，求证：【解析】 解法1：因为，故，则，
6、注意到，故上式解法2：因为，故，.则解法3：由可得，则点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“”在其中的使用，更是值得细细品味.当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路例37. 已知，求证：【解析】 ，即，故，则，故等式两边同时除以，可得，进而，则，故，从而故，展开并化简，可得，即，从而故点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们从左边的式子里面提出两个，从而让整个式子得到简化补充：若，求证：例38. 若，解关于x的方程
7、例39. 已知，求的值。 答案：1例40. 设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证。（结合均值不等式） 方法六、换元法例41. 化简分式：【解析】 原式中只出现了和的形式，而且，因此可用换元法。令，则原式例42. 计算【分析与解答】换元法；(n2+m2)/(n2-m2)例43. 化简+【分析与解答】利用换元，令x-y=a,y-z=b,z-x=c 得原式=1例44. 设a，b，c是实数，且，求分式的值；【解答】：令，xyz0，由已知得到，化简得到；又由；两式相加得到，则ab，bc，ca；得证。例45. 关于x的方程的两根是，求关于x的方程的两个根？例46. 若，求的值。（36）例47. 已
8、知，求证：.【证明】：； 换元：令，则，故例48. 设x、y、z都是正数，求证。证明：令，则，则原不等式变为例40.方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；倒数例49. 已知三个不全为零的数x、y、z满足，。求的值。（1）例50. 已知，求的值。（2）例51. 已知，其中x，y，z互不相等，求证：.【证明】：易得到，得到；得证；例52. 已知，其中x，y，z互不相等，求t的值。（1或-1）.【证明】：易得到，得到；得证；例53. 已知，求的值。（1）例54. 解方程组： （x=y=z=0或者x=y=z=1/2）例55. 解方程组： （x=23/10; y=23/
9、6; z=23/2）先通分，再取倒数，整体相加，然后用这个和分别减以上三式，然后相除，得出x、y、z之比，按比例设未知数，带入原方程即可。例56. 已知，求证：【证明】：；补充：已知，求证：例57. 已知，且，求证：，且.【证明】略。方法八、降次思想例58. 已知，求的值。（1）例59. 已知，求的值。（2005）例60. 已知，求的值。（5.1，先倒数，再升次）方法九、裂项：因式分解再裂相例61. 计算：例62. 化简【分析与解答】拆项法；例63.例64. 化简：例65. 求证：例66. 化简【分析与解答】拆项法；原式=2/(b-c)例67. 化简分式：【解析】 三个分式一齐通分运算量大，可
10、先将每个分式的分母分解因式，然后再化简原式例68. 化简：.【解析】 本题涉及因式分解的一些技巧：我们发现，故同理，故点评：本题以及下面两道题目的基本模型都是，三个题由浅入深，层层深入，对技巧的考查和要求越来越高也可先因式分解后再通分。例69. 化简：.【解析】同理，故例70. 化简：【解析】同理，故例71. 若，且，求的值【解析】 由题意可知，故 例72. 设正整数m、n满足，且，则的值是多少？方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解例73. 将化为部分分式【解析】 ，故设比较两边分子对应项的系数，得 解之得【变式】 化为部分分式【解析】 设，通分后比较对应项的系数，得解得：【变式】
11、将下列分式写成部分分式的和的形式：【解析】 因为，所以我们假设其具有的形式.两边同时乘，得：比较同次幂的系数可得解得，从而例74. 将下列分式写成部分分式的和的形式：【解析】 因为，故可假设其具有的形式，则有：比较和的系数，可得方程组从而因此例75. 将下列分式写成部分分式的和的形式：【解析】首先我们要仔细观察分母的结构，根据前面所提及的知识，此处可以设部分分式的和的形式为通分之后，两边的分子应该相等：令，得到；令，得到；令，得到；比较的系数，得到于是：点评：请注意，除非万不得已，要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边的式子比较系数，这种方法会占用大家不少时间，并且可能会造成错误【变式】
12、将下列分式写成部分分式的和的形式：【解析】 观察分母的结构，我们可以设通分之后比较分子，可得：令，得到，即；令，得到，即；令，得到,即；令，得到,即；令，得到，即；由此解得 从而例76. 若，。求证：。例77. 已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x的值的和为多少？例78. 求最大正整数n，使得能被整除。（890）例79. 求方程的整数解。（分离变量，化为真分式）例80. 求方程的正整数解。（分离变量，化为真分式（x，y）=（2,2008），（6,412），（402,809），（2006,4013）例81. 当x为何值时，分式有最小值？最小值是多少？【解答】：当x1时，原分式有最小值4。例
13、82. 当x为何值时，分式可取最小值，最小值是多少？（x=-1, 最小为4；部分分式化、配方，或用判别式法）例83. 已知，是否有最值，最值时多少？（x=2，取最大值2）十一、杂题例84. 已知，（）（1）求，；（2）求【分析与解答】迭代分式；(1)a2=(x-1)/x,a3=1/(1-x),a4=x,a5=(x-1)/x(2)a2000=a2=(x-1)/x例85. 已知，求的值.【解答】：由已知可得；由比例性质可得，故原式2.补充：已知，求的值.【解答】：2例86. 已知，求证：【证明】：代入法；例87. 计算。（首尾相加=2*49+1=99）例88. 若a，b，c，d是正实数，且，求证：；【证明】：已知变形为；
