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1、夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破专题一函数与导数题型一利用导数求解函数的单调性问题【例1】已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围【解】()由f(x)x3ax2x1，求导得f(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f(x)0，f(x)在R上递增，当a23，f(x)求得两根为x，则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2.【例2】已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围

2、；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围解（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得.由（），只需分下面两种情况讨论. 当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组或由（

3、II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.题型二导数与切线问题【例3】已知函数f (x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（）求函数f (x)的解析式；（）求证：对于区间3，2上任意两个自变量的值x1，x2，对于任意一个正实数a都有|f (x1)f (x2)|；（）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0，即解得a=1，b=0. f (x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，利用导数求

5、切线，关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1 关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m0，得。令，并由，解得列表分析：（0，1）1（1，+）0+递减极小值0递增知在处取最小值，（）当时，在且x1时，在（0，+）上只有一个解，即当方程有唯一解（）当时，在且x1时，在（0，+）上无实数解，即当方程的解的个数为零. （）当时，又，故函数在区间上有一个零点；由（2） 0故

6、函数在区间上有一个零点,时，在（0，+）上有两个实数解，即方程的解的个数为2 综上：方程的解的个数为：时一个，时0个，时2个【例10】已知函数f(x)=x(xa)(xb)，点A(m,f(m)，B(n,f(n) (1)设b= a，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的导函数满足：当|x|l时，有|恒成立，求函数f(x)的表达式； (3)若0ab，函数f(x)在x=m和x=n处取得极值，且a+b2问：是否存在常数a,b，使得=0? 若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由1）令，得：，当时，所求单调增区间是，单调减区间是（，）当时，所求单调增区间是，单调减区间是（，）

7、当时，所求单调增区间是（2）当时，恒有即得此时，满足当时恒成立（3）存在使得若，即由于，知由题设，是的两根，代入得：，当且仅当时取“” 又，，题型七导数与恒成立问题【例11】设，函数 .()求函数的单调区间；()当时，函数取得极值，证明：对于任意的 .解：() 当时，恒成立，在上是增函数；当时，令，即，解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减. （）当时，函数取得极值，即，由()在单调递增，在单调递减，单调递增.在时取得极大值；在时取得极小值，故在上，的最大值是，最小值是；对于任意的题型八导数与不等式【例12】已

8、知函数（I）求的极值；（II）若的取值范围；（III）已知【解】：（）令得当为增函数；当为减函数，可知有极大值为（）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，（），由上可知在上单调递增，，同理两式相加得【例13】已知函数（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最大值为-1，求的取值；（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围。解析：（1）当时，曲线在点处的切线方程为：.（2）函数的导函数为，令得，所以函数在上单调递增;令得，所以函数在上单调递减.当，即时，在区间上的最大值为，由得，符合题意；当，即时，在区间上的最大值为，由得，不符合题意，舍去；当，即时，在区间

9、上的最大值为，由，得，不符合题意，舍去.综上所述， .（3）设，则，只要在上单调递增即可.而，所以只需在上恒成立即可.因为，所以只需在恒成立即可. 即即可.而当且仅当即时，最小值为所以，即的取值为.【例14】已知函数（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围（2）当时，求函数的最大值（3）当时，且，证明：【解】：（1），因为对，有不存在实数使，对恒成立由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数（2）当时，由，得当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号当时，同理可得，法二：当时（由待证命题的结构进行猜

10、想，辅助函数，求差得之），在上递增，令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减即，，综上成立，其中。【例15】已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）求实数、的值；若，且对任意恒成立，求的最大值；当（，）时，证明：【答案】是奇函数，所以，即2分，所以，从而3分，此时，4分，依题意，所以5分当时，设，则6分设，则，在上是增函数8分因为，所以，使10分，时，即在上为减函数；同理在上为增函数12分，从而的最小值为13分所以，的最大值为14分。要证，即要证6分，即证，8分，设，9分，则10分设，则11分，在上为增函数12分，从而，在上为增函数 13分，因为，所以，所

11、以14分【例16】设函数.（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）求证：（1）函数的定义域为（2）综上可知，实数的取值范围是（3）【例17】已知函数，其中 x0，aR，令函数 h(x)=f(r)-g(x).(1)若函数h(x)在(0，+)上单调递增，求a的取值范围；(II)当a取(I)中的最大值时，判断方程h(x)+h(2-1)=0在(0，1)上是否有解，并说明理由；(III)令函数F(x)= +21nx，证明不等式题型九导数创新题【例18】如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，

12、则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）（）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断（）中的函数在上是否有上界？并说明理由；（）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数试探究函数（是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？：（I）解法1：，由得，，，当时，函数在（0，2）上是减函数；当时，函数在（2，）上是增函数；是函数的在区间（0，）上的最小值点，对，都有，即在区间（0，

13、）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界. 解法2：当且仅当即时“”成立对，都有，即在区间（0，）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界.（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. 设则，由（1）知，对，都有，函数为奇函数，即存在常数B=32，对，都有,函数在（， 0）上有上界. （III），由得，，，当时，函数在（0，）上是减函数；当时，函数在（，）上是增函数；是函数的在区间（0，）上的最小值点，当时，函数在上是增函数；，、是常数，

14、、都是常数令, 对，常数A,B,都有即函数在上既有上界又有下界当时函数在上是减函数对都有，函数在上有界. 当时，函数在上有最小值令,令B=、中的最大者，则对，常数A,B,都有，函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数【例19】已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时，求证：【解析】：（）， 1分，即 3分，数列是首项为，公比为的等比数列，即 5分（）（），当时，假设，则由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 8分（），当时，假设，则由数学归纳法，得出数列 10分又，即 12分， 14分- 21 -

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