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1、初中数学新课程教学案例分析,梯形课堂实录执教者：哈尔滨市风华中学付振林,师:我们生活在图形的世界里,各式各样的图形装点着我们的生活.下面请同学们观看一段录像,欣赏的同时看看录像中的物体可以抽象成哪些四边形?(放录像.)(生认真观看录像.)师:哪位同学来说说?生:录像中的灯罩可以抽象成梯形;有些门可以抽象成矩形.生:我注意观察到阳台上的梯子可以抽象成梯形,还有墙壁上的壁画框可以抽象成正方形.生:我还注意观察到房间里的皮包、厨房里的抽油烟机都可以抽象成梯形.师:同学们很善于观察和概括.正方形、矩形前面我们已经研究过了,在小学时我们对梯形有了初步的认识,今天,我们进一步研究梯形的有关知识.(出示课题
2、12.3 梯形.),梯形课堂实录（2）,师:谁能试着说说什么是梯形?生:我认为有一组对边平行的四边形叫梯形.师:这样说是否准确?生:这么说不准确,要是另一组对边也平行,不就是平行四边形了吗?我觉得梯形应该是有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形.师:那位同学能再说说?生:只有一组对边平行的四边形叫梯形!师:哪种说法更准确呢?生:我们觉得最后一位同学的说法即准确又简练!师:好!经过同学们的相互补充我们得到梯形的定义是(教师板书定义.)请同学们画一个梯形.(生画梯形体会定义,教师巡视.),梯形课堂实录（3）,师:画完了吗?下面让我们看大屏幕来认识一下梯形的相关元素.这是?生:是梯形的边,较短的叫
3、梯形的上底、较长的叫梯形的下底.师:这个呢?生:是梯形的内角.师:对!我们把这两个叫作梯形同一底上的内角.那这个呢?生:也叫作梯形同一底上的内角.师:对!那梯形中还有哪些相关元素呢?生:还应该有两条对角线,高,两条不平行的边.师:说得很准确!我们在小学学过特殊的梯形吗?生:学过等腰梯形.师:那什么样的梯形是等腰梯形呢?生:两腰相等的梯形叫等腰梯形!师:准确!还有吗?生:还有直角梯形!师:什么样的梯形是直角梯形呢?能描述一下吗?生:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.,梯形课堂实录（4）实践感悟,师:请同学们看屏幕,我们进行一个实践活动.谁来读一下?生:大声读.(活动一:在你的黄色梯形纸板上画一至
4、两条线段,将梯形分割成已学过的几何图形.)师:读的好!声音很大,这是自信的表现!生:独立活动,完成任务.随时把不同的分割情况贴在黑板上.,梯形课堂实录（5）,师:下面请以上同学说一说如何分割梯形?生:我是过上底一端点引另一腰的平行线,把梯形分割成平行四边形与一个三角形.生:我是连结梯形的两条对角线,把梯形分割成几个三角形.生:我是过上底两个端点分别做下底的垂线,从而得到中间一个矩形和两个直角三角形.生:我的作法比较直接,只做了一条辅助线,就是连结一条对角线,得到两个三角形,是我们最熟悉不过的了.生:我做了两条辅助线,过上底一点引两腰的平行线,这样就得到一个三角形和两个平行四边形.生:我受到刚才
5、同学的启发,在下底找一点,之后连结上底的两端点,这样就得到3 个三角形.,梯形课堂实录（6）,师:同学们说得很精彩!分割的方法也很多!在这里,我们只选取了几种典型的分割方法,实际上就是把梯形分割成平行四边形和三角形、几个三角形、矩形和直角三角形、几个平行四边形和三角形.我们也经常把梯形问题转化成平行四边形与三角形来解决!师:我们从录像片中看到了许多等腰梯形(出示片中的等腰梯形并闪动),可见等腰梯形在生活中有着广泛的应用.下面我们探究等腰梯形的特征.,梯形课堂实录（7）探究说理,(活动二:1.在半透明的方格纸上画一个等腰梯形ABCD.2.借助所画的等腰梯形探究其特征,试着说明理由.)生:先画等腰
6、梯形,独立思考,再小组合作交流,达成共识,把小组的结论写在黑板上.1.等腰梯形是轴对称图形;2.等腰梯形同一底上的两个内角相等;3.等腰梯形的对角线相等;4.等腰梯形的四个内角之和为360 度.师:同学们得到了很多重要结论,我们看看哪些是四边形的共性,哪些是等腰梯形所特有的?生:前3 条是等腰梯形所特有的,只要是四边形它的内角和就是360 度,所以第4 条一定成立!师:好!那我们开始小组汇报!,梯形课堂实录（8）,生:我们小组共同发现,如果把等腰梯形沿着上下底中点所在的直线对折,可以发现等腰梯形的左右两边重合了,所以说等腰梯形是一个轴对称图形.师:那你能告诉大家它的对称轴是什么?生:是折痕或者
7、准确的说是上下两底中点的连线所在的直线!(掌声热烈.)师:关于轴对称性的问题,看看其他小组还有没有补充(沉默),看来其他小组和他们有共同的发现,看来大家的研究很有成效!生:我们小组发现等腰梯形同一底上的两个内角是相等的.理由是这样的:利用上组同学的发现,把等腰梯形沿着对称轴折叠后,发现上面两个底角重合了,下面两个底角也重合了,所以我们小组得到了等腰梯形同一底上两个内角相等(掌声.),梯形课堂实录（9）,师:针对这个问题,看看其他小组还有没有不同的方法?生:我们小组还有不同的方法,受到刚才活动一把梯形分割成平行四边形与三角形这种转化思想的启发,我们小组过等腰梯形顶点A 作AECD 交BC于E 点
8、,可以证明四边形ABED 为平行四边形,所以ED=CD,DEC=DCE,B=DEC,所以可以证明等腰梯形同一底上的两个内角相等.师:证明完了吗?生:我补充一下,在证明另外两个底角相等时,利用平行线同旁内角互补来证明比较简单!师:看来我们同学很善于思考.请同学们说说对这两种不同方法的看法.,梯形课堂实录（10）,生:我很喜欢第一种办法.这种方法非常直接,简单明了,解决了问题,也充分地利用了等腰梯形自身的结构特征,充分体现了几何图形的美.师:还有不同意见吗?生:我觉得第二种方法也不错!它不但过程严谨,说理明确,而且充分体现了腰梯形转化成了平行四边形与三角形,足以看到任何复杂的图形都可以分解成我们学
9、过的熟悉图形,使我们又一次体会了温故而知新.师:几种不同方法各有千秋,充分体现了大家的智慧.看来我们同学的评价客观具体、思维严谨、思路清晰,看来大家有很好的学习习惯!,梯形课堂实录（11）,师:“等腰梯形的对角线相等”这是哪个小组得到的结论?生:我们小组特别欣赏等腰梯形的轴对称性.大家看,把等腰梯形沿对称轴折叠后就会发现,AO 与DO,BO 与CO 都分别重合了,所以AO+CO=DO+BD,即AC=BD.证明了结论.师:简明扼要,说明了这个结论的正确性!这几个结论是等腰梯形的基本特征,大家能不能用符号语言来描述一下?生:AC=BD;A=D,B=C.师:这几条重要特征是以后解决等腰梯形相关问题的
10、重要依据.回顾我们刚才的探究过程,利用等腰梯形是轴对称图形这一特性得到了等腰梯形的重要特征;另外通过辅助线将等腰梯形转化为平行四边形与三角形也使问题得到了解决!,梯形课堂实录（12）,师:如果把半透明纸上的等腰梯形两腰延长交于点E,你又有什么发现?(生按要求把等腰梯形两腰延长,观察发现.)师:有发现吗?生:我发现延长了等腰梯形两腰在图形中形成了两个等腰三角形,分别是三角形EAD 和三角形EBC.在等腰梯形ABCD 中B=C,BE=CE,三角形EBC 是等腰三角形;AB=DC,EA=ED,三角形EAD 是等腰三角形!师:好!大家马上动笔,写出说理的过程!生:展示书写过程并讲解!(利用实物展台.)
11、,梯形课堂实录（13）应用拓展,师:接下来我们利用等腰梯形重要特征来解决一个校园生活中的实际问题.(学校要举办艺术节了,小明想做一件三角形工艺品,你能帮他把这个等腰梯形的木料改制成和它面积相等的三角形吗?)(生读要求.小组活动探究分割方法.并把不同方法展示到黑板上.),梯形课堂实录（14）,生:我们小组是连结了等腰梯形的一条对角线,之后沿着对角线把三角形翻折,让两腰重合,两底在一条直线上,达到目的!师:很有创意的一种方法!还有其他方法吗?生:我们小组是连结上底一顶点及一腰中点,之后剪下来,沿这腰中点把三角形顺时针旋转180 度,符合要求,达到目的!师:很有智慧!,梯形课堂实录（15）,生:我们
12、小组想把等腰梯形变成一个矩形,如果能把等腰梯形变成矩形,沿着矩形对角线剪开,再拼到一起,就能达到目的!我们是沿着两底中点把等腰梯形剪开,重新拼合组成矩形.师:知识积累很丰富!还有其他拼合的方法吗?生:我们是过上底一端点作另一底的垂线,沿垂线段把直角三角形剪下,重新组合即可以形成矩形!师:同学们的思维很有深度,很有创造力!通过把一个等腰梯形转化成与它面积相等的三角形,使我们对四边形与三角形的相互转化有了进一步认识和更深刻的理解!在这里老师也把各种转化的可能性用片子做了出来!请同学们观看!,梯形课堂实录（16）,生:老师我还有不同的方法!师:(已经演示了学生说的4 种不同方法,正要演示第5 种,有
13、学生举手)那请你说说吧!生:我们小组分别过两腰做了两条垂线,分别把两个三角形折上去!师:是这样吗?(边说边演示学生说的方法,正是老师预先准备好的.)(生非常兴奋!全场报以热烈掌声!),梯形课堂实录（17）体验收获,师:伴随着这个问题的解决,我们本堂课也接近了尾声!请同学们谈谈本节课你有哪些体会和收获!生:通过本堂课的学习使我知道了什么是梯形,以及梯形的分类和梯形重要元素,并且能解决一些问题了.生:通过动手折一折使我们更好地理解了等腰梯形的轴对称性,并利用这一特性巧妙地解决了很多问题,所以以后我们要多动手,多实践.生:我们深深体会到事物之间的相互联系,以及相互转化,我们经常把梯形问题转化成平行四
14、边形与三角形问题加以解决,这就使我想到任何复杂问题都是由简单问题构成的,我们只有打好了基础才能一步步走向成功!师:同学们总结得很到位.我们本节课学会了转化的思想,也很好地利用等腰梯形的轴对称性解决了很多问题.本节课即将结束了,但是大家主动探究、积极参与的学习热情以及良好的表达能力都给我留下了很深的印象,我一定会把大家这种良好的学风带回哈尔滨,带给我的学生们,让他们也和你们一样健康、快乐成长!,梯形课堂实录（18）拓展延伸,师:作业:平面内有任意3 个点,你能否找到第4个点,使得这4 个点构成等腰梯形.下课!同学们再见!生:老师再见!,“探索多边形的外角和”教学案例分析,案例1(执教者:张老师
15、一位多年扼守在中考关口的老教师)师:同学们还记得n 边形的内角和公式吗?生众:(n-2)180.师:三角形的外角和又等于多少度呢?生众:360.师:当时,我们是如何得到这个结论的呢?生1(数学课代表):利用三角形的每一个内角与它相邻的外角互为补角.师:对!同样,根据n 边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角,可以求得n 边形的外角和.为了求得n 边形的外角和,请同学们将数据填入表1.,案例1(续1),案例1(续2),(学生先“安静独立”地填写表格,5 分钟后小组合作“热烈交流”)师:同学们有什么发现?生众:它们的外角和总是360.师(欣喜地):很好!任意多边形的外角和都为360,与边数无关.(
16、老师脸上露出了满意的笑容,课也在朝着老师设计的方向发展),案例2-1,案例2(执教者:朱老师 一位工作两年但冲劲十足的帅小伙)师:同学们跑过5 000 米长跑吗?(“5 000 米,不是要转十几圈吗?”大部分学生都惊叫了起来)师(稍等片刻):在这“漫长”的转圈中,你们联想到什么数学知识呢?生1(争先恐后地):每转一圈的长度相等,每转一圈都是从起点回到了起点,转一圈是360,案例2-2,(师微笑不语,给出如下情境)如图1,清晨,酷爱健身的小黄沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.请思考:(1)小黄从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角是哪个角?(2)她每跑完一圈,身体转过的角度之和是多
17、少?(师生共同参与转圈活动后分组合作归纳),案例2-3,生2:小黄从一条小路转到下一条小路时身体转过的角分别是1、2、3、4、5.生3:我认为小黄在点A 处第1 次转身前后视线的夹角为1,同样在点B 处第2 次转身可得2,在点C 处第3 次转身可得3,在点D 处第4 次转身可得4,在点E 处第5 次转身得5 后,与原来的方向一致,刚好转了一圈.由此,我想到这5 个角的和是360,也就是说五边形的外角和等于360.(此法一出,果然“深得民心”,生3 在教师的表扬声中得意地落了座.教师正准备引出多边形外角和都等于360的结论),案例2-4,生4(人称“数学才子”,平时经常有惊人之举,坐在座位上旁若
18、无人的嘀咕):小黄沿各边行走,应该说她的视线恰好扫过一圈,所以这五个角的和是360.(周围不少同学点头称是,显然这种说法也比较容易让人理解、接受)生5(平时沉默寡言,此时居然迫不及待地站起来):只要在某一个顶点沿各边方向转动一圈,恰好形成一个周角,不就说明五边形的外角和等于360吗?所以,任何多边形的外角和都等于360,与边数无关.(同学们点头称赞,并给予热烈的掌声)师:好极了!一语道破了天机!周而复始,原来如此!现在我们把转圈的过程搬到黑板上来.(教师拿着圆规,使一边与五边形的一边重合,另一边沿着各边方向旋转 直至最终重合在一起,形成周角)此时所旋转的各角与各外角是什么关系?,案例2-5,生
19、6:所旋转的各角与各外角是同位角!生7:这相当于在一个顶点处分别作各边的平行线而未改变外角的大小.(大家纷纷点头,眼光里充满了钦佩之意)师:生7 的回答真精彩!我们已经实实在在地“看”到多边形的外角和是周角这一有趣的结论,可见数学原本是实际生活的产物,我们要善于观察生活发现问题,运用数学知识去解决问题,再用我们得出的结论去服务生活,我们的学习才会更加有意义,我们的生活才会变得更加丰富多彩!,一元二次方程求根公式的理解(1),师:你对求根公式有些什么看法?生:看法?不就拿来解方程吗?还能有什么看法?师:请具体指出公式的作用到底是按照什么样的操作程序发挥出来的?生:首先,给定一个方程,然后我把a.
20、b.c代入公式,最后便计算出结果来.,在很多人眼中,数学只是一些干巴巴的条条,能引起丰富的想象吗?还存在丰满的血肉吗?,一元二次方程求根公式的理解(2),师:那么二次方程的根就由三个系数完全决定了?生:是的,由三个系数的加、减、乘、除、乘方、开方运算得到。生：噫？这不正好是我们所学过的全部6种代数运算吗？怎么这么巧？,一元二次方程求根公式的理解(3),师：这6种代数运算在实数范围内是不是总可以施行？生：不是，做除法时分母不能为零。开平方时，被开方数要求非负。师：这两点，二次方程的系数a,b,c总能保证满足它吗？另外，对任意给定的二次方程，系数a,b,c都是现成的吗？,一元二次方程求根公式的理解
21、(4),生：我知道了，解二次方程的过程已经包括在求根公式的运算顺序中，总结为三步：(1)将所给的方程化为标准形式，找出a,b,c;(2)计算判别式，考察其符号；(3)在0的条件下，将a,b,c代入求根公式，算出实数根来。,一元二次方程求根公式的理解(5),师：很好，你已经对求根公式谈了很多很好的看法，我归纳为四点：(1)公式告诉我们，二次方程的根由其3个系数完全确定，从而公式本身也就是二次方程根与系数的一个关系(公式的性质)；(2)公式包括了初中阶段所学过的全部6种代数运算(公式的结构)，其中开方运算并非总能满足，因而有的二次方程有实根，有的没有；(3)公式本身回答了解二次方程的3个基本问题(公式的功能)：方程有没有实数根?有实数根时有几个?如何求出所有的实数根来?(4)各级运算顺序自动决定了二次方程求实根的解题步骤(公式的使用),一元二次方程求根公式的理解(6),师：求根公式反映了单个根与系数的关系，其结构可以表示出来。那么，能不能在这个基础上寻找出两个根组合起来与系数的更多关系呢？,从这些有繁有简的结论中精选出较基本、较简单也较优美的关系来，就是定理，就是数学的发现。,
