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1、 5、Lorentz transformation 的相对论推导 (一)、“Lorentz transformation”的推导方法1 洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K 则由横坐标x和时间t来表示。当给定x和t时，我们要求出x和t。 Z Z v y v K x y v K x 图1沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x ct = 0 （1）传播。由于同一光信号必须以速度c相对
2、于K传播，因此相对于坐标系K的传播将由类似的公式xct= 0 （2）表示。满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(xct) = (xct) （3）一般被满足，其中表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时 (x-ct) 就必然也等于零。如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x+ct = u (x+ct) （4）方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数和u，令a = (+u)/2以及 b = (u)/2我们得到方程x = axbctct = actbx （5）因此，若常数a和b为已知，我们就得到
3、我们的问题的解。a和b可由下述讨论确定。对于K的原点我们永远有x=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a如果我们将K 的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a （6）同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。还有，根据“相对性原理”，由K判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度，必须恰好等于由K判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由K观察x轴上的诸点是什么样子，我们只需要从K对K拍个“快照”；这意味着我们必须引入t（K的时间）的一个特别
4、的值，例如t=0。对于这个t的值，我们从（5）的第一个方程就得到x = ax. 因此，如果在K坐标中测量，x轴上两点相隔的距离为x=1，该两点在我们瞬时快照中相隔的距离就是x = 1/a （7）但是如果从K（t=0）拍快照，而且如果我们从方程（5）消去t，考虑到表示式（b），我们得到x = a (1 v2/ c2) x由此推断，在x轴上相隔距离1（相对于K）的两点，在我们快照上将由距离 x = a (1 v2/ c2) （7a）表示。根据以上所述，这两个快照必须是全等的，因此（7）中的x必须等于（7a）中的x，这样我们就得到a2 = 1/ (1 v2/ c2) （7b）方程（6）和（7b）决定
5、常数a和b，在（5）中代入这两个常数的值，就得到了洛仑兹变换的如下基本方程：x = (xvt) /(1 v2/ c2) t= (txv/c2) /(1v2/c2) （8） 关于狭义相对论推导Lorentz transformation的过程，如果用纯粹数学来证明，可以简化为以下内容：条件一、，其中为常数。条件二、，其中、均为常数，且，也为常数。条件三、，。先求，的值。经过简单计算，可以得到，其中。再将这四个常数代回条件二，可以得到Lorentz transformation，。Einstein根据两个基本假设，经过纯数学的演算，不需要添加任何物理学原理，就能推导出Lorentz transfo
6、rmation。继而有相对论时空观：时间、空间随着参照系的改变而改变。因而，只要两个基本假设成立, 相对论的时空观就是正确的。Einstein在研究Lorentz transformation下动量守恒时，提出了相对论质量观：物体的质量随着物体运动状态的改变而改变也可以说成：物体的质量随着观察者的不同而不同。在相对论之前，经典理论认为质量是物体的固有属性，不随物体运动状态的变化而变化。如今，相对论又把经典理论中的一个不变量质量，演绎成一个可变量。狭义相对论在推导光学多普勒效应频率变换式，有关著作给出的一般推导过程中是设， （11）又设 ， （12）将式组（12）前一个关系式代入式组（11）前一
7、个关系式中的，得 （13）将式组（12）后一个关系式和洛仑兹变换中的前三个关系式代入式组（12）后一个关系式中的，得 （14）狭义相对论认为式（14）与式（13）的各对应项系数应该相等，因此得出， （15）Einstein在1905年论动体的电动力学一文中建立狭义相对论时，从Lorentz transformation中推导出了所谓的动钟变慢。我们现在考虑永久放在R系的原点（X=0）上的一个按秒报时的钟（此处的R、r系如上图所示）。T=0和T=1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz transformation的第一和第四方程给出t=0和t= 从r去判断，该钟以速度u运动；从
8、这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是秒，而是秒，亦即比秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。”必须指出，相对论的动钟变慢效应是相对的，亦即在相对论中如下表述同样成立：“我们现在考虑永久放在r系的原点（x=0）上的一个按秒报时的钟。t=0和t=1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz transformation的第一和第四方程给出T=0T= 从R去判断，该钟以速度u运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是秒，而是秒，亦即比秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的
9、极限速度的意义。”（二）、“Lorentz transformation”的推导方法2如图所示：假设S系中的X轴的正方向的Lo点发生了事件A，此时S系的时钟读数为t，求在S系中A事件的坐标。 OOA|ut|Lo|显然，事件A在S系的坐标为Xa=Lo，Ta=t事件A在S系的坐标应该为：Xa=OAs，Ta=t，OAs的长度在S系发生收缩，因此有：OAs=kOAs（1）从图中可以看出：OAs=OOs+OAs（2）在上面的（1）、（2）式中，OAs是OA在S系中的距离，OAs是OA在S系中的距离，OOs是OO在S系中的距离，等于ut，OAs是OA在S系中的距离，等于Lo，k=根号下（1-uu/uu）。
10、因此，由式（1）、（2）得：kOAs=OOs+OAs,OAs=（Lo+ut）/k（3）,结合事件A在S系的坐标为Xa=Lo，Ta=t和在S系的坐标Xa=OAs，式（3）可写为：Xa=（Xa+ut）/k（这就是X坐标的洛变换式）,从图中还可以看出：OAs=OAs+OOs（4）,这里：OAs为OA在S系中的距离，等于Xa；OAs为OA在S系中的距离，应该等于kOAs，即kXa；OOs为OO在S系中的距离，等于ut。因此，式（4）可写为：Xa=kXa+ut（5）,式（5）结合上面已经得到的Xa变换式，可以得到：kXa+ut=（Xa+ut）/k,从上式中解出t得：t=（t+uXa/cc）/k（这就是t
11、坐标的洛变换式）这也就是说，相对论的动钟变慢效应是相对的，即相对运动的观测者都认为对方的时钟慢于自己的时钟慢。【1】根据Einstein的观点，观察到时间膨胀效应必须有两个先决条件：其一，两个惯性系必须有相对运动；其二，在测量中观察者必须用自己参考系中的无数个钟和另一个与自己有相对运动的惯性系内一个固定的钟相比较，才会发现对方钟走慢了。没有这两个条件根本不可能观察到时间膨胀。在狭义相对论中时间膨胀并不意味着钟“真”的走慢了，时间膨胀是在测量过程中发生的。（三）、“Lorentz transformation”的推导方法3 经典的洛伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个
12、事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量= ict，那么，正如在1-2里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z，内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统x，y，z，的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy，yz，zx，x，y，z内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为x
13、y，yz，zx三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在x平面内的旋转，这时y与z坐标是不变的。令为旋转角，那么，新旧坐标的关系就由以下二式决定： x = xcon sin，= xsin +con （1）参见下图： M2 r X x O x X 洛伦兹变换的示意图我们现在要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统K的变换公式，K以速度V沿X轴对K作相对运动。在这种情况下，显然只有空间坐标x与时间坐标发生变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角的问题，而又仅与相对速度V有关。我们来研究参考系统K的坐标原点在K内的运动。这
14、时，x = 0，而公式(1)可写成：x = sin； =con。(2）相除可得x/= - tan(3）但= ict，而 x/t显然是K 对K的速度V。因此，tan = iV/c(4)由之得sin= (iV/c)/(1-V2/c2)1/2，cos=1/(1-V2/c2)1/2(5）代入(2)，得：x = (x - iV)/(1-V2/c2)1/2，y = y，z = z，= ( + iVx/c)/(1-V2/c2)1/2(6）再将= ict， = ict代入，最后得x = (x + Vt)/(1-V2/c2)1/2，y = y， z = z，t = (t+ Vx/c2)/(1-V2/c2)1/2
15、 (7)这就是所要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。【2】4、Part A. Lorentz时空中Lorentz transformation的推导方法4光速独立性导致时间空间不独立，以后以时空这词表示。设两个惯性系K，K。K中坐标X=(x1，x2，x3，x4)(x4=ict)，K坐标X=(x1，x2，x3，x4)(x4=ict)。 i=Sqrt(-1)，为方便引进的。 K在K中速度为v。设t=0两坐标系原点重合，并且这时位于原点有一点光源发光。由光速独立原理，我们在两个坐标系中都将观察到一个球面波的传播。其波前以光速c沿径向传播。传播距离平方R2=(ct)2=x12+x
16、22+x32 in K and R2=(ct)2=x12+x22+x32 in K。所以有：x12+x22+x32 -c2t2=0 ，x12+x22+x32-c2t2=0，这样就知道：x12+x22+x32 -c2t2=p(v)( x12+x22+x32-c2t2) ，其中p(v)0是一个可能和速度有关的量，表示由于相对运动引起的可能度规变化。但是由于K，K两系统对称性，我们必然有p2(v) =1 p(v)=1，这样我们就知道K，K的时空是等度规的。度规相同表示一切几何内蕴量一致。x12+x22+x32 -c2t2= x12+x22+x32-c2t2 (1) ，用内积(就是矢量点乘运算)表示就
17、是： X，X=X，X (2) 。普遍的相对性原理就是，寻求坐标变换：X=F(X；v) (3)。使度规不变性(2)得以满足。F是一个矢量函数，v是个参数，表示K系在K系中的速度。我们讨论一下它的性质。由于相对论惯性系等价的假设，变换F必然有唯一的逆变换G：X=G(X；v)(4)，同时这等价性蕴含下述对称性：G(X；v)=F(X，v)(5)，(4)，(5)是很强的条件，它们限制F必然是线性变换，(5)同时也为这线性变换作了更强限制。线性变换可以用矩阵表示X= X A(v)，X= XA-1(v)(6)A-1(v)表示依赖于速度的逆矩阵。A(v)是四阶矩阵，有16个元素需要确定。由下列条件：X，X=X
18、，X；X= X A(v)；X= XA-1(v)及线性代数运算可以证明，A(v)是列正交，行正交的矩阵，这就有12个方程，所以还差四个参数待定。再考虑K，K关系：For x1=x2=x3=0，X的坐标部分位置是vt。这时三个条件，但是同时带进来矩阵A(v)外的元素t和t。所以现在这三个条件其实只相当于一个，我们还剩三个元素待定；For x1=x2=x3=0，X的坐标部分为-vt。这有是三个条件。这样我们终于唯一确定了矩阵A(v)。以上便是Lorentz变换的推导。如果再形式化，并且深刻一些，应该讨论Lorentz群。它是O(3，1)群。狭义相对论空间描述：设长度为L的物体在相对静态场参考空间（x
19、0, y0, z0）空间以速度运动，起点为A，终点为B朝向AB， 则相对运动场空间为： xc = x（x0+ ct）; 和xu = 相对速度场， A点为：=；B点为：=； 则在x轴向上AB相对运动场空间长度为：（取光的单程计算运动变长） 静态L0= xb xa = c t b c ta=c (t b-ta) 和动态Lu= xub xua= (c + u) (t b-ta) 则运动变长为：= Lu L0= (c + u) (t b-ta) c (t b-ta) = u (t b-ta) = u t狭义相对论空间即为：b a =【】Lorentz transformation就是保持四维伪欧氏象空
20、间度量不变的时空坐标变换，而保持四维伪欧氏象空间度量不变的洛沦兹变换群本是6阶李群。下面是陈叔喧教授的分析：对于参照系设在光源上光量子（场质）与场速度一致，但相对光源以速度运动的参照系，光量子（场质）运动速度或平动能，甚至变换能不变的。而参照系或场平动能量的量度少了一项坐标相对运动引起的动能m/2，如果变换能h/2=mc/2=m(d/dt)/2也不变，那么m(d/dt)/2=mc-h/2-m/2=mc-mc/2-m/2=mc/2-m/2=mc(1-/c)/2=m(d/dt)(1-/c)/2d/dt=(d/dt)(1-/c)当dt=dt，d=d(1-/c)，当d=ddt=dt/(1-/c)。此关系等效于相对论的时空关系或罗洛兹变换。表明相对论的时空是场的时空，因此所谓物体的长度在运动方向上收缩，是场描述属性引起的特性。 参考文献： 【1】狭义与广义相对论浅说，上海科学技术出版社1964.8，31页【2】场论，.朗道、.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第1415页.
