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1、第二十讲矩形、菱形、正方形,矩形、菱形、正方形的性质和判定,直角,相等,直角,直角,相等,中心对称,相等,垂直,相,等,相等,垂直,一组对角,一半,中心对称,相等,直角,相等,直角,直角,相等,相等,垂直平分,中心,【自我诊断】(打“”或“”)1.矩形的对角线互相平分且相等.()2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.()3.菱形的面积等于对角线乘积的一半.()4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是5.(),5.如图,菱形ABCD中,A=60,BD=7,则菱形ABCD的周长为28.()6.如图,在矩形ABCD中,BOC=120,AB=5,则BD的长为8.(),7.既是矩形又是菱形的
2、四边形一定是正方形.(),考点一 矩形的性质与判定【示范题1】(2017达州中考)如图,在ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E,F.,(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.,【思路点拨】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OEC=OCE,OFC=OCF,证出OE=OC=OF,ECF=90,由勾股定理求出EF,即可得出答案.(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.,【自主解答】(1)EF交ACB的平分线于点E,交ACB的外角平分
3、线于点F,OCE=BCE,OCF=DCF,EFBC,OEC=BCE,OFC=DCF,OEC=OCE,OFC=OCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF;OCE+BCE+OCF+DCF=180,ECF=90,在RtCEF中,由勾股定理得:EF=10,OC=OE=EF=5.,(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:连接AE,AF,如图所示:,当O为AC的中点时,AO=CO,EO=FO,四边形AECF是平行四边形,ECF=90,平行四边形AECF是矩形.,【答题关键指导】矩形的两种判定方法(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.(2)若直
4、角较多,可证三个角为直角.,【变式训练】1.(2017怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=6cm,则AB的长是()A.3 cmB.6 cmC.10 cmD.12 cm,【解析】选A.四边形ABCD是矩形,OA=OC=OB=OD=3cm,AOB=60,AOB是等边三角形,AB=OA=3cm.,2.(2017咸宁中考)如图,点O是矩形纸片ABCD的对称中心,E是BC上一点,将纸片沿AE折叠后,点B恰好与点O重合,若BE=3,则折痕AE的长为_.,【解析】由折叠,得BAE=OAE,EOAC,又OA=OC,EA=EC,BAE=OAE=ECO=30,AE=2
5、BE=6.答案:6,考点二 菱形的性质与判定【示范题2】(2017滨州中考)如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B,F为圆心,大于 BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.,(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形.(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求C的大小.,【思路点拨】(1)要证明四边形ABEF是菱形,先考虑证明四边形ABEF是平行四边形,已知BEAF,设法补充BE=AF即可.(2)由于四边形ABCD为平行四边形,可将求C转化为求BAD,而菱形的对角线平分一组对角
6、,因此可先求DAE的大小.,【自主解答】(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分BAD.BAE=EAF.四边形ABCD为平行四边形,BCAD.AEB=EAF.BAE=AEB,AB=BE.BE=AF.四边形ABEF为平行四边形.又AB=AF,四边形ABEF为菱形.,(2)连接BF,BF交AE于点O,四边形ABEF为菱形,BF与AE互相垂直平分,BAE=FAE.OA=AE=2.菱形ABEF的周长为16,AF=4.cosOAF=.OAF=30,BAF=60.四边形ABCD为平行四边形,C=BAD=60.,【答题关键指导】菱形判定方法的选择(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对
7、角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.,【变式训练】1.(2017长沙中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6 cm,8 cm则这个菱形的周长为()A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.20 cm,【解析】选D.AC=6,BD=8,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=AC=3,OB=BD=4,AB=5,菱形的周长是:4AB=45=20.,2.(2017聊城中考)如图,ABC中,DEBC,EFAB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是()A.AB=AC B.AD=BDC.BEAC D.BE平分ABC,【解析】选D.DEBC,EF
8、AB,四边形DBFE是平行四边形,BE平分ABC,DBE=EBF,DEBC,EBF=BED,DBE=BED,DB=DE,四边形DBFE是菱形.,3.(2017自贡中考)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:ABF=CBE.,【证明】四边形ABCD是菱形,A=C,AB=BC,又CE=AFABFCBE(SAS),ABF=CBE.,考点三 正方形的性质与判定【示范题3】(2017青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF.(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形
9、?请说明理由.,【思路点拨】(1)由菱形的性质得出B=D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC,由SAS证明BCEDCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出AEO=90,则四边形AEOF是正方形.,【自主解答】(1)四边形ABCD是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC,在BCE和DCF中,BCEDCF(SAS).,(2)当ABBC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:由(1)得:A
10、E=OE=OF=AF,四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC,OEAB,AEO=90,四边形AEOF是正方形.,【答题关键指导】判定正方形的三步法(1)先证明它是平行四边形.(2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角).(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).,【变式训练】1.(2017枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为()A.2 B.C.D.1,【解析】选B.四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,FB=AB=2,
11、BM=1,则在RtBMF中,FM=,2.(2017六盘水中考)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则AEB=_度.,【解析】四边形ABCD为正方形,AEF为等边三角形,AD=AB,BAD=B=D=90,AEF为等边三角形,AE=AF,EAF=60,ABEADF,BAE=DAF=15,AEB=75.答案:75,3.(2017广安中考)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD上的一点,且BFCE,垂足为G.求证:AF=BE.,【证明】四边形ABCD是正方形,AB=BC,A=ABC=90,AFB+ABF=90.BFCE,BEC+ABF=90,AFB
12、=BEC.,在AFB和BEC中,AFBBEC(AAS),AF=BE.,考点四 特殊平行四边形的探索题【考情分析】特殊平行四边形的探索题问题在各地中考中都是热点,这类题常以基础知识为背景加以设计而成,考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力.,命题角度1:条件的探索【示范题4】(2017日照中考)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E.(1)求证:DCAEAC.(2)只需添加一个条件,即_,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.,【思路点拨】(1)由SSS证明DCAEAC即可.(2)先证明四边形ABCD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出D=90,即可得出结论.,【自
13、主解答】(1)在DCA和EAC中,DCAEAC(SSS).,(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形;理由如下:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,CEAE,E=90,由(1)得:DCAEAC,D=E=90,四边形ABCD为矩形.答案:AD=BC(答案不唯一),命题角度2:结论的探索【示范题5】(2017杭州中考)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连接AG.,(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由.(2)若正方形ABCD的边长为1,AGF=105,求线段BG的长.,【思路点拨】(1)结论
14、:AG2=GE2+GF2.连接GC,只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在RtGFC中,利用勾股定理即可证明.(2)过点A作AHBD于点H,在RtABH中,用三角函数表示出BH,在RtAGH中,用三角函数表示出GH,根据BG=BH+HG求得答案.,【自主解答】(1)AG2=GE2+GF2.理由如下:连接GC,因为四边形ABCD是正方形,所以AD=DC,ADB=CDB=45,GD=GD,ADGCDG,所以AG=CG.因为GEDC于点E,GFBC于点F,所以四边形GFCE为矩形,所以GE=FC,所以CG2=AG2=GE2+GF2.,(2)过点A作AHBD于点H,因为AGF=1
15、05,所以AGH=60,在RtABH中,BH=AH=ABcos 45=;在RtAGH中,GH=;所以BG=BH+HG=,【答题关键指导】1.给出问题的结论,分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的,这样的问题是条件开放性问题.解这类问题要善于从问题的结论出发,逆向追求,多途寻求.,2.给定问题的条件,根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断,甚至要求探索条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性的问题,解这类问题要充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论.,【变式训练】1.(2017兰州中考)在平行
16、四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:AB丄AD,且AB=AD;AB=BD,且AB丄BD;OB=OC,且OB丄OC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:_.,【解析】:有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即正确;:BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即错误;:对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意OB=OC,得AC=BD,由OBOC得ACBD,即四边形ABCD为,正方形,即正确;:邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相
17、等的菱形是正方形.依题意在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又AC=BD,菱形ABCD为正方形.即正确.答案:,2.(2017安顺中考)如图,DBAC,且DB=AC,E是AC的中点,(1)求证:BC=DE.(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给ABC添加什么条件,为什么?,【解析】(1)E是AC的中点,EC=AC.DB=AC,DB=EC.又DBEC,四边形DBCE是平行四边形.BC=DE.,(2)添加AB=BC.理由:DB AE,四边形DBEA是平行四边形.BC=DE,AB=BC,AB=DE.平行四边形ADBE是矩形.,(2017邵阳中考)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形.(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.,【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,OBC=OCB,OB=OC,AC=BD,平行四边形ABCD是矩形.,(2)AB=AD(或ACBD答案不唯一).理由:四边形ABCD是矩形,又AB=AD,四边形ABCD是正方形.或:四边形ABCD是矩形,又ACBD,四边形ABCD是正方形.,
