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1、九年级数学(上),22.2.4一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,知识小竞赛,设 x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表,猜想：,根据所填写的表格，请你猜想出x1+x2，x1 x2与 方 程 的系数有什么关系吗？,证明你们的猜想,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两
2、个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,证明：,如果一元二次方程 的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,归纳：,韦达（15401603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法
3、。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。,推论：,运用根与系数的关系解题,巩固训练:,1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）,（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1已知方程 的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（）A.1B.-1 C.2 D.-2方程 的两根和为4，积为-3，则a=，b=。,B,8,-3,例1 已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,运用1、求方程另一个根及k的值,2.已知 是方程x2+mx+7=0的一
4、个根,则m=_,另一根为_.,1、已知方程3 x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是，m的值是。,例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2=x1x2=,（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2+x22,x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2,(2),运用2：求关于两根的代数式的值,设 x1、x2是方程 的两个根，利用根与系数的 关系，求下列各式的值：,（1）,（2）,（3）,（4）,练习：,2、若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是,且满足.求k的值.,运用3 根的判别式与根系关系的 综合运用,1、已知方程x2+(2k+1)x+k22=0的两实根的平方和等于11，求k值。,已知关于x的方程 kx2-2(k+1)x+k-1=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围；是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；,已知一元二次方程。当b为何值时，方程有一正、一负两个根？,2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，首先要把已知方程化成一般形式。,3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，只有当 时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,
