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1、10（一）1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求(1)ABC各角的度数(2)求证：点D是AC的黄金分割点。（先弄清黄金分割的概念再证三角形相似）2 在ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，CA=CD, (自己画图)求(1)ABC各角的度数(2)求证：点D是BC的黄金分割点。3如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形（1）求ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明4如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由5已知：
2、如图，在RtABC中，C=90，过点B作BDAC，且BD=2AC，连接AD试判断ABD的形状，并说明理由 6如图所示，在RtABC中，C=90，A=30（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE求证：EF=2DE7画图、证明：如图，AOB=90，点C、D分别在OA、OB上（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF（2）在所画图中，求线段OE与CD之间有怎样的数量关系？ 求证：CDF为等腰直角
3、三角形 8已知；如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF（1）判断AE与CF的数量关系以及位置关系，说明理由；（2）若CAE=30，求EFC的度数 9已知一个等腰三角形的三边长分别为x、2x、5x-3，求这个三角形的周长10如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边BC的长11下面是数学课堂的一个学习片断阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学
4、举手讲：“其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如？计算说明.（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）12王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积13如图所示，在ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点，且BD=CE，连接DE交BC于F求证：FD=FE14如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于
5、点F（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数15请阅读，完成证明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= -，且DON=-度请证明。（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=-，且EON=-度请证明。（4）在正n边形中，对相
6、邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论。请大胆猜测，用一句话概括你的发现： 16如图，矩形纸片ABCD，AB=2，ADB=30，沿对角线BD折叠（使ABD和EBD落在同一平面内），求A、E两点间的距离。 17已知：如图ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论18请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（-2，0）；（2）在x轴上画点C，使
7、ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标19含30角的直角三角板ABC（B=30）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角（90），再沿A的对边翻折得到ABC，AB与BC交于点M，AB与BC交于点N，AB与AB相交于点E（1）求证：ACMACN；（2）当=30时，找出ME与MB的数量关系，并加以说明20如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DEF为等腰直角三角形，DEF=90，AD+CD=10，AE=2，求AD的长21已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED求证：AE平分BAD22如图矩形ABCD中，DP平分ADC交B
8、C于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E找出图中与PA相等的线段并说明理由。23如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连OD，求AOD的度数；（尝试多种方法，请试一试）24两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由25已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，
9、BM交CN于点F（1）求证：AN=BM；AE=MF; （2）求证：CEF为等边三角形；（3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）26（1）已知ABC中，A=90，B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把两种不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系.（共有三种情况）27数学课上，同学们探究下面命
10、题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答问题（1）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可
11、能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征（二）28（1）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“BAC=90”的条件改为“BAC90”，其余条件不变，那么DAE与BAC有怎样的大小关系？29如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的
12、高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 30如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M
13、在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由（勾股定理）31如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图（2）证明勾股定理32（1）如图1是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（2）如图2，RtABCRtCDE，B=D=90，且B，C，D三点共线试证明ACE=90；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（187
14、6年4月1日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程 33在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它；请同学们写出证明过程。这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证完全平方公式；34如图所示，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点（1）求证：ACEBCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长 35小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只
15、要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC的长36如图，直角三角形纸片ABC，C=90，AC=6，BC=8，折叠ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长 37公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，B=C=120，A=45度请你求出这块草地的面积 38一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？39如图，在ABC中，AB=2，AC=BC，CDAB，垂足是D，BCE与BCD是关于BC成轴对称的，且恰好使A、C、E在一条直线上求四边形BDCE的面积40如图，在四边形ABC
16、D中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的长41已知，如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于点E，且CD=AC，DFBC，分别与AB、AC交于点G、F（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长 42如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）求证：四边形BEBF是菱形。（3）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明43在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S
17、1，S2，S3，S4，求S1+S2+S3+S4的值。44如图，D,E分别是ABC的边BC和AB上的点，ABD与ACD的周长相等，CAE与CBE的周长相等设BC=a，AC=b，AB=c（1）求AE和BD的长；（2）若BAC=90，ABC的面积为S，求证：S=AEBD45、如图，已知矩形ABCD，AD4，CD10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请说明当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；ABCDPMNE（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请简要说明理由46如图，ACD和BCE都是等腰直角三角形
18、，ACD=BCE=90，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由47已知：三角形ABC中，A=90，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论48如图，OP是AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BC
19、A的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由49在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明ABCDE图1MNABCDE图2AB
20、CDEMN图350两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90，B，C，E在同一条直线上，连接DC（1）请找出图2中与ABE全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE（三）51已知：如图，RtABCRtADE，ABC=ADE=90，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等，垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明52（1）如图1，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断ABC与AEG面积之间的关
21、系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米53. 如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD。 (1) 判断ABC的形状，并说明理由； (2) 保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧)。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明； (3) 保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN
22、的异侧)。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明。54如图，ABC是等腰直角三角形，A=90，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。（1）求证：PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。55如图示，ABCD内一点E满足EDAD于D，且EBC=EDC，ECB=45找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明56、已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且CEBD，连结AD、BE交于点P，作BQAD，垂足为Q求证：BP2PQ.57如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE
23、的延长线交BA的延长线于点F（1）求证：CD=FA；（2）若使F=BCF，平行四边形ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）58如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长 59如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE（1）证明：APD=CBE；（2）若DAB=60，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的四分之一，为什么？60已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是
24、CB，CD上的点，且BE=DF（1）求证：AE=AF；（2）若B=60，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：AEF为等边三角形61如图，在ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积62如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQ63如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DEF为等腰直角三角形，DEF=90，AD+CD=10，AE=2，求AD的长64如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是A
25、B上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长65已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED求证：AE平分BAD66如图矩形ABCD中，DP平分ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E找出图中与PA相等的线段并说明理由。67若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，AMB=90，则点M为直角点（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说
26、明理由；（2）若点M是矩形ABCD边CD上的直角点，且AB=5，BC= 2, 求MD和CM的长(3) 若点N为矩形ABCD边AB上的直角点，且AB=5，BC= 2，求MN的长68如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，
27、连接AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由69已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F(1)当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；(2)当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（提示：把ABE绕点B旋转90度即可证明）（3）当MBN绕B点旋转到图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜
28、想，请给予证明70如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，ADE=C（1）求证：AED=ADC，DEC=B；（2）求证：AB2=AEACABCD71. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=2，BC=4。求B的度数及AC的长。72如图，在梯形中，为的中点，交于点（1）求证：；（2）当，且平分时，求的长73. 在直角梯形ABCD中，ABDC，ABBC，A60，AB2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。判断四边形AECD的形状（不证明）；在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“”表示，并证明。若CD2，
29、求四边形BCFE的面积。74如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，现给出如下三个条件：.（1）请你再增加一个条件：_，使得四边形ABCD为矩形（不添加其它字母和辅助线，只填一个即可，不必证明）；ABCDE（2）请你从中选择两个条件_（用序号表示，只填一种情况），使得，并加以证明.75.如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=BC，E是AB的中点，CEBD。（1） 求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）DBC是等腰三角形吗？并说明理由（四）76如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交DC
30、E的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。EDCBGAF77. 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且（1）求证：；（2）若，求AB的长78如图，在梯形中，点在上，,.求：的长及BC与BE的比值AGEBCFD79如图，在ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AGBD交CB的延长线于点G(1)求证：ADECBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由ADBCE80在ABCD中，AC是一条对角线，BCAD，延长BC至点E，使CEBC，连接DE(1)求证：四边
31、形ABED是等腰梯形(2)若ABAD4，求梯形ABED的面积ABCDEFGHO81如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AEBFCGDH(1)求证：四边形EFGH是矩形；ABCDC1(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF2cm，求矩形ABCD的面积82如图，在RtABC中，ABC90，BAC60，D为AC的中点，以BD为折痕，将BCD折叠，使得C点到达C1点的位置，连接AC1求证：四边形ABDC1是菱形AEB CFDG83如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使A点与C点重合，点D落在点G处，EF为折痕(1)
32、求证：FGCEBC；(2)求证：AECF是菱形；（3）若AB8，AD4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积ABCDEF84如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F(1)求证：BEBF；(2)当菱形ABCD的对角线AC8，BD6时，求BE的长AEBCDFGH85如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H(1)证明：ABGADE；(2)试猜想BHD的度数，并说明理由；(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0BAE180)，设ABE的面积为S1，ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明86已知，如图，在RtABC中，ACB9
33、0，A30，CDAB交AB于点E，且CDAC，DFBC分别与AB、AC交于点G、F（1）求证：GEGF；（2）若BD1，求DF的长A1O1A2B2B1C1BC2AOD87. 如图所示，在矩形中，两条对角线相交于点以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形依次类推（1）求矩形的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积88. 问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：ACB 先将图形特殊化
34、，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。(1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为 ； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。图ADBCGEFl图ADBCHGEFl图ADMCHGEFlCN（H）89.两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线上（如图），=2cm，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶点、重合时，连接（如图），求点到的距离；（2
35、）当时（如图），求证：四边形为正方形90如图，在ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点FABCDMNEFP(1)求证：PEPF；(2)当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；(3)若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且求此时A的大小91. 如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：BPMCPE；k 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋
36、转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa圖1圖2圖3OBCAEDOBCDAE图1图292如图，已知OAOB，OA4，OB3，以AB为边作矩形ABCD，使ADa，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E(1)证明：OABEDA；(2)当a为何值时，OABEDA？请说明理由，并求此时点C到OE的距离93.如图，在Rt中，点D在边AB上运动，DE
37、平分交边BC于点E，垂足为，垂足为N.（1）当AD=CD时，求证：；（2）探究：AD为何值时，与相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与的面积相等？94如图，一个直角三角形纸片的顶点A在MON的边OM上移动，移动过程中始终保持ABON于点B,ACOM于点A.MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.（2）点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）若MON=45，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并
38、证明你的猜想. 95两块完全相同的三角板(ABC)和(A1B1C1)如图放置在同一平面上(CC190，ABCA1B1C160)，斜边重合若三角板不动，三角板在三角板所在的平面上向右滑动，图是滑动过程中的一个位置(1)在图中，连接BC1、B1C，求证：A1BC1AB1C(2)三角板滑到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由A(B1)B(A1)C1CA1BCC1B1A图图96.如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F. (1) 求证：DEBF = EF(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系
39、， 并说明理由 ABCDG(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）ABCGDEF97将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ABC）的长直角边与含45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知AB2，P是AC上的一个动点DACB（1）当点P运动到ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PDBC时，求此时PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时DPBQ的面积（五）98在平面内有一等腰直角三角板(ACB90)和直线l过点C作C
40、El于点E，过点B作BFl于点F当点E与点A重合时(图)，易证：AFBF2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图、图的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出线段AF、BF、CE之间的数量关系的猜想(不AAA(E)lllCBFCBEFCBEF图1图2图399.如图所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点A,EAF=90, 连接BE、DF.将RtAEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰RtAEF变为RtAEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.
41、(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将RtAEF变为AEF，且BAD=EAF=，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角 100.阅读材料：ACBPr1r2hDCBAENFMCABPr1r3r2h如图，中，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接AP，则即：（定值）（1）理解与应用如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且，F为CE上一点，于M，于N，试利用上述
42、结论求出的长（2）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点P到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）（3）拓展与延伸若正边形内部任意一点P到各边的距离为，请问是是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值101、是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接（1）如图（a）所示，当点在线段上时 求证：；探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）OEC
