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1、解三角形应用举例（第四节）教学设计一、教学内容分析：本节课是新课标高中数学人教版必修5中的第一章解三角形第二节(1.2解三角形应用举例)的最后一节复习课。根据我所任教的学生的实际情况，我将1.2解三角形应用举例分成四节课，解决三角形中边与角的综合问题是本章第二节的最后一节综合复习课。解决三角形中边与角的综合问题是历年高考中的必考内容，观察历年高考真题试卷，解答题的第一题基本上都是解三角形的综合问题，所以解决三角形中边与角的综合问题应重点研究。二、学生学情分析：学生在经过前面第一节正弦定理、余弦定理的学习，掌握了两个重要定理的定义，掌握了两个重要定理在三角形中的适用范围，根据题目所给出的条件正确
2、的灵活的选择定理解决三角形中的问题。然而在遇到给出三角形中边与角的相互关系时，却无从下手，这已经不是用哪一个定理的问题，而是三角形中边与角的相互转化探索规律的问题，学生弄不清楚，边与角应该怎么转化，什么时候将边转化成角，又什么时候将角转化成边来解决三角形中的问题。本节通过带学生探索找到三角形中边与角与三角形的外接圆的直径2R的关系，从而让学生明白边与角是怎样转化的，再带着学生在例子中运用边与角的相互转化探索出其中的规律从而解决问题。激发学生学习新知的兴趣和欲望。三、教学设计思想：在教学过程中，注重照顾到各层面的学生，举例由易到难不同等次，重分析，重思路。增强学生主动积极的学习，积极探索数学中的
3、各种问题，坚持数形结合的思想，学会严密的思考问题，从探索中找到乐趣。四、三维目标：知识与技能过程与方法情感、态度、价值观知识：掌握在三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。技能：熟练边与角的想换转化，能够根据题目给出的相关条件，快速分析确定边角之间的相互转化的能力。过程：带领学生探究三角形的外接圆得出边与角的相互关系，引导学生从例题中掌握边与角的正确转化。方法：引导学生探究三角形的外接圆得出边与角的相互关系，在例题中学生自主探索和讨论边与角在具体问题中的转化规律。以学生为主，教师为辅情感、态度：师生互动，共同积极探索新知，在其过程中只在必要时充当引导，更多的
4、是与学生共同进步。价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。五、教学重点和难点：教学重点：掌握三角形中各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度，熟练边与角的相互转化。教学难点：能够根据题目给出的相关条件，快速分析确定边角之间的相互转化的能力。六、教学过程设计：教学环节教学程序及设计师生互动设计意图创设情境 引入新课引例1、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，试判断ABC的形状？假设情景：师：同学们想一想，我们怎样解决这个问题，解决问题的关键在哪里呢？生：题目中只
5、给出了一个条件，所以解决这个问题的关键就是从中找出某些特殊的规律，让我们用来作为判断三角形形状的依据师：很好，大家都找准了问题的关键，那么我们给怎么下手呢？生：这个条件表示了三角形边与角之间存在的关系，无法直接用两个重要定理解决问题，我们想是否寻找到边与角之间的关系就能够解决问题师：同学们，我们在学习了两个定理后，在三角形中总会遇到很多难以解决的问题，当我们得到多种三角形中边与角的关系时，我们很难去找到其中的规律，甚至有时无从下手，然而我们在深入研究三角形时，我们发现，既然边与角有密切的关系，那么它们之间是否可以进行转化呢？当我们学会了边与角之间的相互转化，会发现很多问题迎刃而解。充分调动学生
6、的积极性，让学生学会思考，分析问题中的关键所在，找到问题的根源，从而知道需要做什么，怎么做教学环节教学程序及设计师生互动设计意图讲授新课创设情境 引入新课在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的直径为2R，试一试，你能找到直径与三角形个边和所对角的关系吗？下面我们一起来研究，看看边与角是怎样的转化关系教师引导，让学生自己动手找到边与角的转化关系师：ABC，做其外接圆，圆心为O。我们考虑C及其对边AB。设AB长度为c。若C为直角，则AB就是O的直径，若C为锐角或钝角，过B作直径BD交O于D，连接DA，显然BD=2R。在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。 DAB是直角。
7、现在请大家讨论锐角和钝角时的情况！假设情景：生1：若C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。D=C 生2：若C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时D=180-C，亦可推出，在DAB中，应用正弦函数定义，知师：因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得：讲授新课师：由此我们得到了三角形中边与角的关系。即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。那么，同学们知道怎么利用它来进行边与角的转化吗？小组一：将边转化成角 小组二：将角转化成边 把学生分成两大组，分别总结
8、：边转化成角和角转化成边，让学生充分感受相互转化的灵活性例题分析 学以致用例1：在ABC中，已知，试判断ABC是什么形状？分析：师：这类题型就是考察学生在解三角形时，运用边与角的相互转化解决问题的能力。题中给出两个条件均需要进行转化找到各自的规律，从而找到三角形具有的特征说明是什么三角形。第一个条件其实是三角形中的勾股定理，第二个条件其实是角与角之间的转化得出角之间的关系。下面请同学自己动手。学会找到问题的关键，会联系以前关于三角形的所有知识来解决问题；能够灵活快速的进行边与角的转化假设情景：生3：在三角形中有 可将上面式子带入，消去2R可得得出三角形初步是以A为直角的直角三角形生4：又，我们
9、知道三角形的内角和为，则可以用B，C去表示A，可得：，经化简后可以得到这样式子 ，又B，C均为三角形的内角，B=C综上所述：三角形为等腰直角三角形例题分析 学以致用例2：在ABC中，已知,试判断ABC是什么形状？请大家分成两组解决这个问题分析：师：题中只有一个条件，而且很简短，不复杂。在观察时很容易发现，等式两边各含有三角形的一条边，如果要运用正弦定理进行转化，就将边转化成角来解。在问题中让学生自己发现，把边转化成角或把角转化成边都能解决问题，其实重要的是灵活运用。假设情景 生5：（解法一） ,可变化为即：,整理可得：,又A，C均为三角形的内角，得A=，得出三角形是以A为直角的直角三角形。师：
10、（解法二）其实，在这道题中我们看到式子中只含有一个关于角的，那么我们也不妨运用余弦定理将唯一的角转化成边来解也是一样的。大家跟我一起来做吧。，,可变化为，整理可得：，满足勾股定理得出三角形是以A为直角的直角三角形。练习巩固在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且求角A的大小若,求的值分析：师：下面大家分成两个组用两种方法都试试，我请两组代表来解一下，或许大家都会发现其实很简单。生：好分组讨论，让学生学会用不同的方法解决问题，学生应该仔细观察题目中给出的条件的特征，快速分析后，进行灵活运用假设情景 生6：边转化成角 可以转化为，即：,，又，A=生7：角转化成边，变形可得：整理可得：，由
11、余弦定理可知此时：，A=归纳小结 强化思想师：这道题同学们看到的第一反应就是将边转化成角，因为里面含的全是角的余弦，如果用余弦定理进行将角转化成边，那么在计算上觉得很复杂，但对于这样的理解是不对的，或者说是一种心理副作用，我们应该仔细观察给出条件的特征，灵活运用。同学们，我们在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来快速分析确定边角之间的关系，选择最佳的方式进行相互转化。总结是一堂课内容的概括，让学生能够系统的掌握所学内容，让学生在这节课中明白边与角之间的密切关系，更重要的是灵活根据题目要求，快速解决问题作业布置 连线高考1、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，试判断ABC的形状？2、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，求的值（2012湖北高考）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则C= （2013高考）在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形作业是学生信息的反馈，教师可以从作业中发现存在的问题，弥补教学中的不足，同时连线高考，让学生感受高考中题目的灵活度，以后更好的把握高考复习的方向板书设计1.2 解三角形应用举例（第四节）引例一、得出边与角之间的关系式二、举例应用练习小结作业布置7
