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1、考点一,考点二,考点三,考点四,考点一反比例函数的概念形如y=(k为常数,k0)的函数称为反比例函数.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二反比例函数的图象和性质1.图象(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支.(2)反比例函数y=(k0)中,因为x0,y0,故图象不经过原点.(3)双曲线关于原点对称.(4)反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形.2.性质当k0时,反比例函数y=(k0)的图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k0时,反比例函数y=(k0)的图象分别位于第二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点
2、三反比例函数y=(k0)中k的几何意义1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|.又xy=k,S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则SEOF=,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点四反比例函数的简单应用一般步骤:1.找准实际问题中成反比例关系的两个变量,或根据已知的双曲线,设出表达式y=.2.代入一对已知条件或者相应双曲
3、线上的点的坐标,求出k的值.3.写出表达式,并根据表达式结合自变量取值范围,应用反比例函数的性质解答问题.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数的表达式,例1(2018江苏淮安)若点A(-2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值是()A.-6B.-2C.2D.6分析:根据待定系数法,可得答案.答案:A解析:将A(-2,3)代入反比例函数y=,得k=-23=-6,故选A.,方法点拨本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征,点(-2,3)在反比例函数y=的图象上,则k=-23=-6.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线,
4、它的两个分支关于原点中心对称;根据y=(k为常数,k0)的图象所在的象限可以确定k的取值范围,反之,根据k的正负,也可以确定双曲线的位置.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2(2018湖南怀化)函数y=kx-3与y=(k0)在同一坐标系内的图象可能是()分析:根据当k0或k0时,y=kx-3和y=(k0)经过的象限,二者一致的即为正确答案.答案:B,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数的性质反比例函数中y的值随x值的变化而变化的前提是在每条曲线上或在每个象限内.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3(2018江苏无锡)已知点P(a,m),
5、Q(b,n)都在反比例函数y=-的图象上,且a0 C.mn分析:根据反比例函数的性质,可得答案.答案:D解析:y=-的k=-20.b0,Q(b,n)在第四象限,nn,故D正确.故选D.方法点拨本题主要考查了反比例函数的性质.有两种做法:(1)作出草图,根据图象找出正确信息;(2)直接利用反比例函数的增减性分析得出答案.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数中系数k的几何意义由于y=也可变形为xy=k,由此可知,过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形的面积均为定值|k|.需要注意的是,根据相应的面积,确定反比例函数表达式时,要注意结合双曲线所在的象限,避免k的符号
6、错误.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4(2018湖南邵阳)如图所示,点A是反比例函数y=图象上一点,作ABx轴,垂足为点B,若AOB的面积为2,则k的值是.分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|.答案:4解析:点A是反比例函数y=图象上一点,作ABx轴,垂足为点B,SAOB=|k|=2.又函数图象位于第一、三象限,k=4,故答案为4.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨利用反比例函数y=(k0)的比例系数k的几何意义:过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和两个垂足以
7、及原点构成的矩形面积是|k|;这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,一次函数与反比例函数的综合应用,比较反比例函数的值与一次函数值的大小时,要充分利用函数图象进行分析判断,同时,要把与双曲线的交点作为界点进行分析,且不能忽略反比例函数中的自变量x0.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(-4,n)两点.(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式;(2)过点B作BCx轴,垂足为点C,连接AC,求ACB的面积.分析:(1)将点A的坐标代入y=可
8、得反比例函数解析式,据此求得点B坐标,根据A,B两点坐标可得直线解析式;(2)根据点B坐标可得底边BC=2,由A,B两点的横坐标可得BC边上的高,据此可得ACB的面积.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质以及三角形面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数的应用实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时,对应的函数图象是双曲线的一部分.例6一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了4 h
9、到达乙地.当他按照原路返回时,汽车的速度v km/h与时间t h的函数关系是(),答案:B解析:由路程=速度时间,可以得出甲、乙两地的距离为320 km,返程时路程不变,由路程=速度时间,得速度=路程时间,所以v=.,A.x-3B.-3x-1C.-1x0D.x-3或-1x0,A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限,P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1y20D.y10y2,x10y2.故选D.,(1)分别求出这两个函数的表达式;(2)写出点P关于原点的对称点P的坐标.,解:(1)点P在反比例函数的图象上,5.(2017甘肃兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,
10、直线y=-x+3交y,(2)求AOD的面积.,解:(1)直线y=-x+3交y轴于点A,A(0,3),BC=OA=3.矩形OABC的面积为4,(2)直线与反比例函数相交于点D,6.(2016甘肃武威)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在函数y=(k0,x0)的图象上,点D的坐标为(4,3).(1)求k的值;(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k0,x0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.,解:(1)过点D作x轴的垂线,垂足为F,点D的坐标为(4,3),OF=4,DF=3,OD=5,AD=5,点A坐标为(4,8),k=xy=48=32.,的图象D点处,过点D作x轴的垂线,垂足为F.DF=3,DF=3,点D的纵坐标为3.,7.(2016甘肃白银)如图,函数y1=-x+4的图象与函数y2=(x0)的图象交于A(m,1),B(1,n)两点.(1)求k,m,n的值;(2)利用图象写出当x1时,y1和y2的大小关系.,解:(1)把点A(m,1)代入y1=-x+4,得m=3,则A(3,1),k=31=3.,(2)如图,由图象可知:当1y2;当x=1或x=3时,y1=y2;当x3时,y1y2.,
