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1、,猜想、证明与拓广,义务教育北师大版数学九年级上册,九年级备课组,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,情境,一年一度的中秋如期而至，整个宜昌洋溢在浓浓的节日气氛里，一盏盏彩灯形成了城市一道美丽的夜景.,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,2013年的中秋如期而至，整个宜昌洋溢在浓浓的节日气氛里，一盏盏闪动的彩灯形成了城市一道美丽的夜景.,情景,情景创设 导入新知,思考1：正方形ABCD的边长为a，你能从画面中找到一个正方形，它的周长和面积分别是正方形ABCD周长和面积的2倍吗?请说明理由.,几何,代数,情景创设
2、 导入新知,思考1：正方形ABCD的边长为a，你能从画面中找到一个正方形，它的周长和面积分别是正方形ABCD周长和面积的2倍吗?请说明理由.,2a,4a2,代数计算,满足条件的正方形不存在！,举例,思1,思考一：正方形ABCD的边长为a，你能从画面中找到一个正方形，其周长和面积分别是正方形ABCD周长和面积的2倍吗?请说明理由.,情景创设 导入新知,几何图形,?,因为所有的正方形都是相似的，根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于周长比的平方，所以满足条件的正方形不存在.,思1,任给一个几何图形（非线段），一定不存在另一个与它 的图形，其周长和面积分别是已知图形周长和面积的2倍.,结论：给定一
3、个正方形，一定不存在另一个正方形的周长和面积分别是已知正方形的周长和面积的2倍.,相似,情景创设 导入新知,代数计算,几何图形,数,形,给定一个正方形，是否存在另一个正方形的周长和面积分别是已知正方形的周长和面积的2倍？,你还能举出其他的图形能得到类似的结论吗？,情景创设 导入新知,新问题：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形的周长和面积分别是给定矩形的周长和面积的2倍吗？,思考1：给定一个正方形是否存在一个正方形，其周长和面积分别是给定正方形的周长和面积的2倍吗?,你能对矩形提出类似问题吗？,活动1：小组合作 类比探究,探究：给定如下矩形，是否存在一个矩形的周长和面积是已知矩形的周长和面积的2
4、倍呢？,活动探究 探索新知,活动1：小组合作 类比探究,表二,表一,填写表格,你能在表格中找到符合条件的矩形吗？,活动1：小组合作 类比探究,表一,活动1：小组合作 类比探究,表二,活动1：小组合作 类比探究,表二,表一,填写表格,你能在表格中找到符合条件的矩形吗？,活动2：小组闯关 思维比拼,验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.,第一关：,可设所求矩形的长为x，可列方程：,x(6-x)=4或,也可设所求矩形长、宽分别为x、y，可列方程组,解得矩形的长、宽分别为,代数角度,活动2：小组闯关 思维比拼,第一关,长、宽分别 为2，1,长、宽
5、分别为,不相似！,活动2：小组闯关 思维比拼,验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.,第一关：,代数角度,列出方程（组）,方程（组）有解,满足条件 的矩形存在,方程根为正数,活动2：小组闯关 思维比拼,第一关：,验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.,图形角度,图形,活动2：小组闯关 思维比拼,第一关：,验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.,图形角度,方程,函数,函数,图形,一次函数图像,反比例函数图像,图形,活动2：小组闯关
6、 思维比拼,第一关：,验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.,“代数”“图形”,结论：给定长是2、宽是1的矩形，一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍。,一定存在,活动2：小组闯关 思维比拼,第二关：请各个小组分别列举一个矩形长、宽值，你能否找到一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？看看哪个小组完成的又快又准？,活动2：小组闯关 思维比拼,第三关：,设所求矩形的长为x，则宽为2（m+n)-x,根据题意得 x2（m+n)-x=4mn,整理得 x2-2（m+n)x+4mn=0,=-2(m+n)2-8mn=4m2+
7、4n20,方程组有两个不相等的正实数根,这样的矩形存在,给定长、宽分别是m、n(m0,n0)的矩形，是否存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍呢？,你是这样做的吗？,且x1+x2=2（m+n)0,x1x2=4mn0,第三关：,活动2：小组闯关 思维比拼,结论：任意给定一个矩形，一个矩形的周长和面积分别是给定矩形周长和面积的2倍.,一定存在,新知应用 尝试训练,验证“存在性”的问题，可以转化成如下问题来探究：,方法总结：,1.方程（组）是否有解；（“数”）,2.两函数图像有无交点；（“形”）,收获,已知矩形的长和宽分别是3和2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的n倍（n为正数),满足条件的矩形一定存在吗？请说明理由.,知识拓展 发展思维,拓展：,结束,回顾反思 课外延伸,通过本节课的学习，你收获了什么？,数学思想方法：,“数”、“形”结合；建立方程（组）、函数的数学模型;从特殊到一般的探索策略（即猜想-验证-结论.）,练习,课本习题第170页，习题2(1)，3(1),布置作业,谢 谢,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,猜想、证明与拓广,
