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1、构建函数模型，利用函数图象，探索函数零点构建函数与方程的桥梁，利用图象求得一类问题解决，从中体验数形结合思想的应用和价值2011年高考数学山东卷在保持稳定，充分体现新课程理念的基础上，又呈现出许多亮点,其中对函数零点的考查便是其中之一.1题目：已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1)。当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1), nN*,则n=_.2.赏析亮点1：考查形式新颖，命题立意常规函数的零点是数学教材新增内容之一.我们在教学中如何把握教材内容，引导学生理解概念和掌握解题方法是高考复习的热点话题.题目中函数f(x)是对数函数和一次函数的组合，含有两个参变量.现在以人
2、教A版数学教材88页“如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.”为依据，解法（一）如下：2a3,f(x)=logax+x-b为定义域上的单调函数，f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b. 2a3b, lg2lga3,-b-3,2-b-1,loga2+2-b0,即f(2)0.3b4,-13-b0, f(3)0,即f(2)f(3)0.由x0 (n,n+1), nN*.知n=2. 函数零点存在性定理，是函数在某区间
3、上存在零点的充分不必要条件.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断定理的逆命题不成立.亮点2：考查解法迥异，解题殊途同归 函数的零点是教材中出现的重要概念之一.我们通过挖掘函数零点的内涵，构建函数模型，利用函数图象，探求函数零点的不同解法.以人教A版87页“方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点”为出发点，从而把方程问题可以转化为函数问题来求解. 解法（二）：观察函数y=f1(x)=logax(2a3)和
4、y=f2(x)=-x+b(3b4)的图象在同一坐标系中情形.当x=2时，f1(2)=loga23-2=1,故f1(2)-f2(2)logaa=1,f2(3)=b-30。因此，存在x0 (2,3)，使得f1(xo)=f2(x0)，即n=2.推广至更一般情形：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.在建立方程的根与函数零点关系时，函数图象起到了桥梁纽带作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系.譬如2009年高考数学山东卷文理科第14题：若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)
5、有两个零点，则实数a的取值范围是_.解析探究：分别令f1(x)=ax ，f2(x)=x+a.当0a1时，因为函数f1(x)=ax的图象过点(0,1)，而直线f2(x)=x+a所过的点(0,a)一定在(1,0)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是(1,+).亮点3：考查内容丰富，探索解题规律 函数的零点和图象均是历年高考命题考查的热点，利用函数图象，通过观察估算解决一类函数零点的客观题目，形成解题的模式.2009年高考数学辽宁卷第12题：若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +（ ）. （A） (B)3 (C) (D)4. 解析:由2x=5-2x，令y1=2x,y2=5-
6、2x.当x=1时,y1=2,y2=3, y1-y22,y2=2, y1-y20.所以必存在x1 (1,1.5)，使2x1=5-2x1.同理，可估算得知必存在x2 (2,2.5)，使2log2(x2-1)=5-2x2.因此x1+x2(3,4)，选 C.亮点4：考查要求恰当，创新题目形式自从新课改数学教材添加函数零点的内容以来，每年高考命题均加大对函数零点的考察力度，出现了一定量的考察函数零点的试题.如2011年高考数学课标全国卷文科第10题：在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为（ ）.（A）（-,0） (B)(0, ) (C)( ,) (D)( ,). 解析： f(x)=
7、ex+4x-3f(x)=ex+40, f(x)在定义域R上是递增函数. f(-)=e-40,f(0)=-20,f()=e0.25-20.选C.采取代入排除的方法求值并判断函数值的正负，由零点存在定理得知选C，因此属于容易题.山东卷第16题与它相比，考查多方面的知识，难度和深度恰当，是对函数零点考查方式的创新和突破.3教学启示 在课堂教学中，不管是新授课还是复习课，探究函数零点这一高考热点，我们应该引导学生注重概念的理解和函数图象的应用，建立数学模型.函数零点问题是函数问题中一类比较特殊的问题，出现在必修一，属于函数的应用部分内容。针对这部分内容的复习，应该抓住书上提到的两个原理，即零点存在定理
8、和零点交点转化原理。掌握好这两个原理，能够帮助我们有效解决好有关函数零点的两大类问题。例如：（2009年高考数学天津卷理科第4题）设函数则A在区间内均有零点.B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.分析及解：f()= +10，f(1)= 0，f(e)= -10，故由零点存在定理，可知在区间(1，e)内存在零点。但是在(，1)内的零点状况，无法从零点存在定理判断，所以我们可以借助两种方法判断。方法一：给f(x)求导，讨论单调性。可以得到f(x)= -= ，由此可知f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，+)上为增函数，在点x=3处有极小值1
9、-ln30。从而可以判断在区间( ，1)上函数f(x)单调，由端点函数值同号，可知无零点.方法二：利用零点交点转化原理，即函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数即等价于两个函数y=f(x)和y=g(x)的交点个数。故分别作出y= x和y=lnx的图象，考查其交点所在大致区间。如图所示，故可以看出，交点共有两个，即原函数的零点有两个，在区间(，1)内无零点. 在使用零点存在定理时，如果区间端点值异号，必有零点，但如果区间端点值同号，则无法判断。所以我们需要借助如如上的方法去判断，借助导数研究函数的单调性和极值，或者利用零点交点转化原理，转化为交点问题用图象解决.作者简介：孙印华，1998年7月参加工作。中学一级教师，市级教学能手和优质课执教者，曾在各类报刊发表文章多篇。
