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1、函数的奇偶性与单调性,上海市复旦中学高一数学组,一、基础知识图表,函数的单调性和奇偶性,二、函数的单调性 1、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.2、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.3、如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升
2、的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.,例1、画出函数y-x2+2x+3的图像，并指出函数的单调区间.,评析：函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.,解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-(x-1)2+4；当x0时，y-x2-2x+3-(x+1)2+4.在(-，-1和0，1上，函数是增函数.在-1，0和1，+）上，函数是减函数.,拓展：已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，求实数a的取值范围.,评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意
3、利用数形结合.,解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x1-a.因为在区间(-，1-a上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3.,分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.,练习1、函数f(x)在（0，+）上是减函数求f(a2-a+1)与 f()的大小关系,例2：函数f(x)是定义在（0，+）上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)3,4，+）,注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域,
4、f(a2-a+1)f(),2、函数 f(x)4x2mx5 在区间 2，+)上是增 函数，求f(1)的取值范围。,3、设f(x)是定义域为-1，1上的增函数，解不等式f(x-1)f(x2-1).,f(1)25,（1，,单调性性质规律总结:若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相同的单调性；C0时，函数 f(x)与Cf(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)0，则函数f(x)与-f(x)具有相反的单调性.(4)若函数f(x)，g(x)都是
5、增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函 数，则f(x)g(x)是减(增)函数.(6)对于复合函数fg(x)：“同号得增，异号得减”,复合函数的单调性：,已知函数y=f(u)和u=g(x)，u=g(x)在区间（a，b）上具有单调性，当x（a，b）时u（m，n）且 y=f(u)在（m，n）上也具有单调性，则复合函数y=fg(x)在区间（a，b）上具有单调性，,规律如下：,注：,1、复合函数y=fg(x)的单调区间必须是其
6、定义域的子集2、对于复合函数y=fg(x)的单调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”,例3:已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在a,b上是减函数，求证：fg(x)在a,b上是减函数.,设x1,x2a,b,且x1g(x2),又f(x)在R上递增，而g(x1)R，g(x2)R，fg(x1)fg(x2),fg(x)在a,b上是减函数.,证明：,单调递增区间是（-，1,单增区间是（-，-1，0，1）单减区间是（-1，0），1，+）,单减区间是（-，-，单增区间是2，+）,三、函数的奇偶性 1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)-f(x)，
7、那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)f(x)，那么f(x)叫做偶函数.2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如例1中的函数的图象关于y轴对称，故其为偶函数。另一方面，由定义f(-x)-（-x）2+2-x+3=-x2+2x+3=f(x)，故其为偶函数。3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数,例7、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)=(x-1).(4)f(x)=,注意：由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性
8、，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.,评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其等价形式f(-x)f(x)0或 是否成立，从而判断函数的奇偶性.,例9：已知函数（1）判断它的奇偶性。（2）求证它是单调递增函数。,分析：根据定义讨论(或证明)函
9、数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.,例10：已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式。,总结：奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反。即奇函数在(a,
10、b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)。(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)0。,课堂总结：函数的单调性是函数的重要性质，本节内容在高考中年年必考，主要考查函数单调性与奇偶性的判定，单调区间的求法，以及单调性与奇偶性的综合题.关键是在理解的基础上，要记准、记熟函数单调性和奇偶性有关概念和判定方法并能在解题中灵活的加以运用.千万不要忘记解题时首先要考查定义域.本节课涉及的重要数学思想方法有：分类讨论思想、数形结构思想、转化思想等。
11、,1已知定义域为R的函数f(x)在区间（-，5）上单调递减，对任意的实数t，都有 f(t+5)=f(5-t)那么下列式子成立的是()Af(-1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)F(-1)Cf(9)f(-1)f(13)Df(13)f(-1)f(9)2函数yx22(a1)x2在(，4上是 减函数，求a的取值范围。3、若函数y=(1-2m)x+b在R上是减函数，求m的 取值范围。,练习：,4、判断下列函数的奇偶性,5、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(x)不等于0 求证：f(0)=1；f(x)为偶函数,1、既是奇函数又是偶函数,2、既不是奇函数也不是偶函数,3、奇函数,4、奇函数,再见,
