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1、二次函数知识点复习23363二次函数知识点 一、二次函数概念: 2a,01(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这abcyaxbxc,，a,0里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实bc数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xxb? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( abcac二、二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a x,0x,
2、0时，随的增大而增大;时，随xyy 00 轴 y，a,0 向上 x,00的增大而减小;时，有最小值( xy x,0x,0时，随的增大而减小;时，随xyy00 轴 y，a,0 向下 x,00的增大而增大;时，有最大值( xy 22. 的性质: yaxc,，上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a x,0x,0时，随的增大而增大;时，随xyy 0c 轴 y，a,0 向上 x,0的增大而减小;时，有最小值( xcy x,0x,0时，随的增大而减小;时，随xyy轴 y0c a,0， 向下 x,0的增大而增大;时，有最大值( xcy23. 的性质: yaxh,，左加右减。 a的符号 开口
3、方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh,xh,x时，随的增大而增大;时，随yyh0 a,0， 向上 X=h xh,0x的增大而减小;时，有最小值( yxh,xh,x时，随的增大而减小;时，随yyh0 ，a,0 向下 X=h xh,0x的增大而增大;时，有最大值( y1 24. 的性质: yaxhk,，的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,xh,时，随的增大而增大;时，随xyy hka,0 向上 X=h ，kxh,的增大而减小;时，有最小值( xyxh,xh,时，随的增大而减小;时，随xyy hk，a,0 向下 X=h kxh,的增大而增大;时，有最大值( xy三、二次函数图象的平移 1
4、. 平移步骤: 2方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; hkyaxhk,，2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: hkyax,，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 方法二: 22?y沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成 my,ax，bx，cy,ax，bx，c22(或) y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m22?沿轴平移:向左(右)平移m个单位，
5、变成y,ax，bx，cy,ax，bx，c22(或) y,a(x，m)，b(x，m)，cy,a(x,m)，b(x,m)，c22yaxhk,，yaxbxc,，四、二次函数与的比较 22yaxbxc,，从解析式上看，yaxhk,，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前，222bacb4,bacb4,yax,，者，即，其中( hk,24aa24aa,2yaxbxc,，五、二次函数图象的画法 2 22化为顶点式，确定其开口方向、五点绘图法:利用配方法将二次函数yaxbxc,，yaxhk,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴y的交点、以及关
6、于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴0c0c2hc，x0x0xx，12没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. xy2yaxbxc,，六、二次函数的性质 2,bbacb4,a,0 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为( ,x,24aa2a,bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小xxx,x,x,yyy2a2a2a24acb,值( 4a2,bbbacb4,a,0 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，随,x,x,y,24aa2a2a,2bb4acb,的增大而增大;当时，
7、随的增大而减小;当时，有最大值( xxx,x,yy2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 2ba,01. 一般式:(，为常数，); yaxbxc,，ac2hka,02. 顶点式:(，为常数，); yaxhk,，()aa,03. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). xxxyaxxxx,()()1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2bac,40有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式x的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2a,0二次函数中，作为
8、二次项系数，显然( yaxbxc,，aa,0 ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; aaa,0 ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aab2. 一次项系数 b 在二次项系数a确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( a,0 ? 在的前提下， bb,0当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; ,0y2abb,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,0y2abb,0当时，即抛物线对称轴在轴的右侧( y,02aa,0? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 3
9、 b当b,0时，即抛物线的对称轴在轴右侧; y,02abb,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; y,02abb,0当时，即抛物线对称轴在轴的左侧( y,02ab总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ababab,0ab,0的符号的判定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则 x,yy2a3. 常数项 cc,0 ? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; xyy0c,0 ? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; yyc,0 ? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( xyy总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( cy
10、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，xyaxbxc,22关于轴对称后，得到的解析式是; xyaxhk,，yaxhk,，2.
11、 关于轴对称 y22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，y22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，y，3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，,，4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22yaxbxc,， 关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，,2a22yaxhk,，关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk,，( ，mn 5. 关于点对称 ，4 22关于点对称后，得到的解析式是 mnyaxh
12、k,，yaxhmnk,，,，,22，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22一元二次方程axbxc，,0是二次函数当函数值时的特殊情况. y,0yaxbxc,，图象与轴的交点个数: x2,bac40? 当时，图象与轴交于两点，其中的是一
13、元二次AxBx，00x()xx,xx，1212122bac,42方程的两根(这两点间的距离. axbxca，,00ABxx,，21a,0? 当时，图象与轴只有一个交点; x,0? 当时，图象与轴没有交点. xa,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; y,0xx1 a,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( y,0xx22. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，; 2(0c)yaxbxc,，y3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2bb?
14、 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号yaxbxc,，acac判断图象的位置，要数形结合; ? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一x个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. a,0下面以时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系: ,0 抛物线与轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根 x ,0 抛物线与轴只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 x ,0 抛物线与x轴无交点 一元二次方程无实数根. 十一、函数的应用 刹车距离,二次函数应用 何时获得最大利润,最大面积是多少,5 二次函数考查重点与常见题型
15、 1( 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 22已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 xmy,(m,2)x，m,m,22( 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 2如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是( ) y,kx，by,kx，bx,1y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3( 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如: 5x,已知一条抛物线经
16、过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。 34( 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如: 32(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y轴交点的纵坐标是, 已知抛物线yaxbxc,，2(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 2例1.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x，0)，且1x2，与y轴的正半轴的交11点在点(O，2)的下方(下列结论:?abO;?4a+
17、cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D(4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 22例2.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案:C 152例3、已知抛物线y=x+x-( 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 6 12例4、
18、“已知函数的图象经过点A(c，,2)， y,x，bx，c2求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 (2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够
19、求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12解答 (1)根据的图象经过点A(c，,2)，图象的对称轴是x=3，y,x，bx，c21,2，,2,cbcc,2,得 b,3,12,2,b,3,解得 ,c,2.,12y,x,3x，2.所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 212x,3x，2,0(2)在解析式中令y=0，得，解得 x,3，5,x,3,5.122所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标
20、是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是5,0)(3,5,0).5y,令x=3代入解析式，得 2152y,x,3x，2(3,),所以抛物线的顶点坐标为 225(3,)所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。 2函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例5、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x
21、的一次函数( (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; 7 (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时每日销售利润是多少元, 1525,kb，, 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达,220kb，,式为y=-x+40( (2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知
22、数在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 例6、你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线(如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2(5 m处(绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶(已知学生丙的身高是1(5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A(1(5 m B(1(625 m C(1(66 m D(1(67 m 分析:本题考查二次函数的应用 答案:B 二次
23、函数单元测评 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( ) A. B. C. D. 2 2. 函数y=x-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 2 3. 抛物线y=2(x-3)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是( ) A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 2 5. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab0，c0 B. ab0，c0 C. ab0 D. ab0，c4，那么AB的
24、长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8 2 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax+bx的图象只可能是( ) 9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P(x，y)，P(x，y)是抛物线上的点，P(x，y)是直线 上的点，且111222333-1xx，x-1，则y，y，y的大小关系是( ) 123123A. yyy B. yyy C. yyy D. yyy 123231 31221310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B
25、. C. D. 二、填空题 2 11. 二次函数y=x-2x+1的对称轴方程是_. 22 12. 若将二次函数y=x-2x+3配方为y=(x-h)+k的形式，则y=_. 213. 若抛物线y=x-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_. 2 14. 抛物线y=x+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_. 函数的取值范围是全体实数；2 15. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且?ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式_. (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的
26、边到圆心的距离.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力0d=r 直线L和O相切.2的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数，通常取10m/s).若v=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_m. 01、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。17.
27、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为_ 22 18. 已知抛物线y=x+x+b经过点，则y的值是_. 1三、解答下列各题 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A的坐标; (2)求此二次函数的解析式; 9 220.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x，0)、B(x，0)，且(
28、x+1)(x+1)=-8. 1212(1)求二次函数解析式; (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求?POC的面积. 145.286.3加与减（三）2 P81-83221.已知:如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点. (1)求抛物线的解析式; 186.257.1期末总复习及考试(2)求?MCB的面积S. ?MCB22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即10 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。11
