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1、点线面关系知识总结和例题点线面位置关系总复习 , 知识梳理 一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点。 ,a(2)判定定理: ,b,a/, ab/ ,/(3)其他方法: a/,a,a/,2.性质定理:a ,ab/b,二、平面与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:两平面无公共点。 a/,b/,/a(2)判定定理: ,b,abP,a,a/,/,/(3)其他方法: ; a,/,/,2.性质定理:a ,ab/,b,三、直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ? 用定义. ab,ac,bcA,a,? 判
2、定定理: b,c,a,? 推论: b,ab/(3)性质 a,a,? ? ab,ab/b,b,四、平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。 a,(2)判定定理 a,(3)性质 ,l,?性质定理 a,al,l,? Al,P,PAA,垂足为,l,? PA, P,PA, “转化思想” 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 , 求二面角 1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA?l，OB?l，则?AOB叫做二面角的平面角
3、 1(如图，在三棱锥S-ABC中，SA,底面ABC，AB,BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。 线面夹角 , 求定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 方法:作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。 1:在棱长都为1的正三棱锥S,ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是_( 2:在正方体ABCD,A1B1C1D1中， ?BC1与平面AB1所成的角的大小是_; ?BD1与平面AB1所成的角的大小是_
4、; ?CC1与平面BC1D所成的角的大小是_; ? BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是_; ? BD1与平面BC1D所成的角的大小是_; 3:已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60?，试求OA与平面BOC所成的角的大小( , 求线线距离 说明:求异面直线距离的方法有: (1)(直接法)当公垂线段能直接作出时，直接求(此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键( bb(2)(转化法)把线线距离转化为线面距离，如求异面直线、距离，先作出过且平行于的平面，则aa,与距离就是、距离(线面转化法)( bb,a也可以转化为过平行的平面和过平行于的平面，两平行平面
5、的距离就是两条异面直线距离(面面bbaa转化法)( (3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求( (4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解( 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离)，这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求( BCaBD11:在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离。 , 线面平行(包括线面距离) SABCSA,SB,SCSG,SABDEF1:已知点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、分ACBCSCSGDEF别是、的中点，试判断与平面内的位置关系，并给予证
6、明 , 面面平行(包括面面距离) 1:已知正方体 ，求证 ABCDABCD,平面平面BADBCD/1111111的正方体中，求异面直线和之间的距离( 2:在棱长为BDBCa1, 面面垂直 1:已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证:平面PAC,平面PBD。 2:已知直线PA垂直于,O所在的平面，A为垂足，AB为,O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证:平面PAC,平面PBC。 参考答案 , 求二面角 分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解:在RtSAC中，SA=1，SC=2， ?ECA=3
7、0:， 在RtDEC中，?DEC=90:， ?EDC=60:， ? 所求的二面角为60:。 , 求线线距离 解法1:(直接法)如图: BCPBBCACNPPDM11取的中点，连结、分别交、于、两点， DB/MNDB,ACDB,BC1111易证:，( 13MN,DB,a1BCMNAC331?为异面直线与的公垂线段，易证:( 小结:此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解(但通常寻找公垂线段时，难度较大( 解法2:(转化法)如图: ACBAC/11?平面， BCACBACAC111?与的距离等于与平面的距离， Rt,OBOOEOE1在中，作斜边上的高，则长为所求距离， 2OB,aOO,
8、a21?， OO,OB331OE,aOB,a1OB321?，?( 小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离( 解法3:(转化法)如图: ACDACB/111?平面平面， BCACDACBAC1111?与的距离等于平面与平面的距离( DB,ACDACDACB11111?平面，且被平面和平面三等分; 13BD,a133?所求距离为( 小结:这种解法是线线距离转化为面面距离( 解法4:(构造函数法)如图: QR,BCQ,BCPK,ACRC,xRK1任取点，作于点，作于点，设， 222BR,QR,a,xKR，CK,CRCK,KR则，且 11222KR,CR,x22( ?1222QK,x，(a,x)2则
9、 3211222,(x,a)，a,a2333， 3aQKBCAC31故的最小值，即与的距离等于( 小结:这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离( 解法5:(体积桥法)如图: BCACBACBACACCh11111当求与的距离转化为求与平面的距离后，设点到平面的距离为， V,VC,ACBA,BCC1111则( 131122h,(2a),a,a3432?， 33haaBCAC331?(即与的距离等于( 小结:本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之(这种方法在后面将要学到( , 线面平行 例:S
10、G/SGDEFDEF分析1:如图，观察图形，即可判定平面，要证明结论成立，只需证明与平面内的一条直线平行( CGDEHFHFH观察图形可以看出:连结与相交于，连结，就是适合题意的直线( SG/FHCGH怎样证明,只需证明是的中点( CGDEH交于点， 证法1:连结,ABCDE?是的中位线， DE/AB?( ,ACGACDH/AGD在中，是的中点，且， CGH?为的中点( ,SCGFH/SGFH?是的中位线，?( SG,DEFFHDEF,又平面，平面， SG/DEF?平面( SG/SAB/SABDEFDEFDEF分析2:要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明SA/DFSB/EFS
11、A/DFSB/EF，而，可由题设直接推出( ,SBCEF证法2:?为的中位线， EF/SB?( EF,SABSB,SAB?平面，平面， EF/SAB?平面( EF:DF,FDF/SAB同理:平面， SAB/SG,SABDEF?平面平面，又?平面， SG/DEF?平面( , 面面平行 例一: ABCD-ABCD1111证明:?为正方体， DA/CB11?， CB,CBD11又 平面， DA/CBD11故 平面( DB/CBD111同理 平面( DA:DB,D1111又 ， ABD/CBD111? 平面平面( 三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)例二:
12、根据正方体的性质，易证: BD/BD,11,平面ABD/平面CBD,111AB/DC11, 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。ACABDCBDNM1111连结，分别交平面和平面于和 2. 图像性质：CCACABCDACABCDAC,BD11因为和分别是平面的垂线和斜线，在平面内， AC,BDAC,AD111由三垂线定理:，同理: AC,ABDAC,CBD11111?平面，同理可证:平面 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。ABDCBDMN111?平面和平面间的距离为线段长度( 如图所示: 9.直角三角形变焦关系：的图象可以由
13、yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）ACACOOAC1111在对角面中，为的中点，为的中点 13AM,MN,NC,AC,a1133?( 3aBCABDCBD3BD1111?和的距离等于两平行平面和的距离为( , 面面垂直 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.例1: 点在圆上 d=r;例2: AB是圆O的直径 ,BCAC,C是圆周上异于A、B的一点, ,PA,平面ABC,BC平面PAC, ,BCPA,平面PAC平面PBC。,BC,平面ABC,BC,平面PBC, AC,平面PAC，PA平面PAC, ,ACPAA, 10.圆内接正多边形
