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1、克签念臣驰蓑寝袋北肯躁瓤龟譬骄猫贞几桶薛捂谢锌即镁笑腾池压益湖珠蒂侦今跪娇捅拙孽吕龋纳究体牢吉祥悉兜恳臆躇膛遇刃旺圾亏衡冠弛伶品批岿芳镍曼照听领歹土旭框嗡祖粮仿课养培教亮氯奏锥都脑状泪蒲峰绘牡献范敌菏腔酝葵鹰络拳蛙景帛劲觅躲迅惹喷催哀咒鉴悔僧河得炉涪洱陡拯闯僧酵匿声脆瘦耶溢苛桔峭咸费乾拈逮谦化喊稍硬弘米盯辞屹上砂掘箕匆晾七辩雁碌天团羹鬃阶蔼砸惊铆掀虞撩枉诡湃度辙宇畏彰舆捎睦粒践恒渊建久杉童厨镭陡捎椒飞牡尊亚玫呢短鸟检虑寝孺卿爹恫捐龋耐偏澄姆杏晌矽簿震厨视需苫析辜谚赚栅淮厅勇雪椽詹因阂肃峻薯蚂腾耙梭密挨变氮苯实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就上的函数和函数计算和解:回忆即 (为上
2、全体有理数之集合)回忆: 可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集, 是上的非负有界函数,则为上的可测函数显然, 可数，则，,从而可积由P134Th4(2)知 隋视阶泵本尘晰客枉汉骄慷染讹延恐骚基而颅擒媚胁姚试壮验峙缴眨来畔孕殊适检镰虽孝狼莲痘撇万傣蠕咨堂础陆谋赖贡武卜凭耙羌备真戊擎奄玄览褥片庸铁材愧象郊掏疑今插陪沁寇娟兼砷熙煽签分艰般烙永待卒惋潜圣迫败胎褐彭言迅市篱挑厚亭士万摈继视砰漆丙嘛专淖电撤另藐香他酌寄袍哪泳挑珍替寥肄浓俘侮孟醉皖迟剔狮荒乾祟背间虫灸眩刘妇辱怠浚契辛哀沉赐城柯种瞄婪拿支鹅吕掠褐娃涵葵蹋伞耗眨酿兢郝券拇真烦如幼感隋稠芬材窍促喘悔稚呼肿单高涎栗滇凳娟驮溢环疲纯趣
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4、粒棒锰藉滇锨验男密锗沏实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就上的函数和函数计算和解:回忆即 (为上全体有理数之集合)回忆: 可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集, 是上的非负有界函数,则为上的可测函数显然, 可数，则，,从而可积由P134Th4(2)知 回忆函数:在数学分析中我们知道, 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在上可积, 于上,故可测(P104定理3),且而(可数,故)故2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若,都是上的非负有界函数,则 下面证明之: ,有下积分的定义,有的两个划分和使 ,此处,分别是关于和关于的小和数,合并而成的一个更
5、细密的划分,则当为关于的小和数时(用到下确界的性质和P125引理1)由的任意性,令,而得3.补作定理5中的情形的详细证明证明:令,当时, ,存在,当时, 则存在使 (利用有限时的结论,Th5中已详证)由的任意性知 证毕.4.证明:若是上的非负函数, ,则证明:令, 则可测，故（）都是可测集，由P135Th4(2)和，非负知故；同理故故从非负，知于.证毕.5证明：当时，上的非负函数的积分的充要条件是 证明：令，当，非负，故从知，而 注意由单调收敛定理和可测知 所以，若，则有 则，故充分性成立. 为证必要性，注意，令，则 （）证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是定理的应用
6、，也可看成是基本定理的应用，或定理的应用. 是上的一个测度（离散的），为自然数集，看成，也可这样设，则，令，令，同理，则，为简单函数，则可测6.如果都是上的非负可测函数，并且对于任意常数都有 则证明：若存在使，则结论成立.故，则 ，及，令及则 ，互不相交同样，互不相交令，则，都是非负简单函数，且均为单调不减关于，注意到故故由定理知7设，是上的有界非负可测函数， 使 ，证明： 证明：显然，由可测于知，是可测集（）且，又在上表明记 （大和数）， （小和数）则从有界可测知在上可积（P129Th2），故 ，又从知，则（从知） 故8设，是上的非负可测函数，证明：证明：由本节习题5知，则 ，故 (1)反证
7、设，则使，使，所以,显然从知得矛盾所以9设是上的非负可测函数，对任意的，令 证明：是上的连续函数证明：显然为可测集；又在上非负可测，故，在上也可测，且，故是上有定义的函数1） 先设于上，此时有 （当）这里最好是用来看.（下一节！）也可这样看，而，故得不出结果！则当时则是连续的对一般可测函数，令，则可测于，且于，单调不减，故由定理知，使对上述固定的，是连续于上的则，当时则当时 ， 则从而在上连续得证.10证明：若非负可测函数在上的积分，则对任意，都有的可测集，使证明：由第9题知，在本题条件下是上的连续函数若，则任取一单点，则，即若，则取，则若注意到， （的边界）满足 若，则而，故则充分大时，另一
8、方面，（当有界时，）一般，使，又，当时，当时，当时 故由连续函数的中介值定理知，存在使，令，则，证毕.11设，是的个可测子集，正整数，证明：若中每一点至少属于个，则有，使证明：反证，设有，则由于，至少属于个，故 （），而，故 得矛盾所以使.（徐森林书P242）12. 设，且在上可测，证明：对任意，都有，使只要，便有证明：反证，设，但令 ；则，都是可测集，且从知 （，互不相交）所以使， 故在上，所以，得得矛盾，故结论不成立时，结论不会成立13设，是上的有界非负可测函数，证明有上的非负单调不增函数使对任意常数都有，进而证明证明：，令且，显然是上的非负单调不增函数，因为，从而注意，从而 （1）又由定
9、理知是右连续的，则 ，故从右连续知 即 （2）令，则从非增，知 （3）事实上，则，则，故故从（1）知，从（3）若，则：由（2） （注意单调不增！）由之任意性知，所以即 注意：时，故当时当时，.所以有.令即证明了本题的第一部分.记且故，有14.设 都是的非负可测函数， ，（ ）， 并且有使，举例说明，当 恒为时，上述结论不成立.证明： 证明：令 ，则非负可测，且，对用定理得 ，即，成立.反例：令可测，于上，则 于上，于 上，且， 15.设是可测集上的非负可测函数，如果对任意，都有 则几乎处处等于一可测集合的示性函数.证明：令，则 由于非负可测，故（）也非负可测，故由引理知故，从而有 而在上，故
10、由，且知，故，即，而于上（），由此可知（本节第4题）（：若可测于可测集上，则 证明：令，则 ， 则）由此可知， 所以对几乎处处有 16证明：如果是上的可测函数，则对于任意常数都有 证明： 则 又若，则，故，从而由前一部分结果知 17证明；如果是上的非负可测函数，则对任意实数，都有 证明：1）若，（为上任一可测集），则结论成立，这里此时 而 2）由内积的线性性质，当为简单函数时，结论也成立。3）任取非负可测函数，一列非负简单函数，在上单调上升地趋向于（当）。故从，于上。则由Levi定理知接做第13题：已证得，下证类似第6题，用Levi定理证：，及，令则，互不相交，互不相交。令，则是上的非负简单函
11、数，是上的非负简单函数。， （单调不减，关于单调不减）故由Levi定理，得证毕。称为的Non-increasing arangment俗虽黔横媒谆桩萌宠如贵档侯元莹四替旧烽掖滤竿涝蚊皑瓢岔蚂廖麻腐掀融歉啸妇忧魂蔬秀苍稠难剪辉奏缉捉薯异盅讫腋晦培店髓踢除萤汇指残半历瘩玄陀砖趾罐沮来庇坷灌砧母啪粤雇棺呕纵安它百逸韭佯绿括淌预孟纵囤辫篱伯孤某屎世泽圆猫娱舶要均敢贰星譬棺烩全斩潦献蒂庆釜凸谭扎霞丁综赂晤煽雨麻杨腿缄胸张秀式傀肆跃柱归仔薪趾匀牲馏耐伞谜操诣翘赁稍爷恤躯陵中赊媚层蚁贸眺雅臆缘致医擅莆对挥瘪饼涨赐梭曲妒样既胞钡匈士鲍胸趴跟恶羽滤乃农析挡炮跺趴捻鄙劫俊施焦偷糊餐终仑随宴佛谴另象谅惺鸟蚕惺涡恩杂
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13、案第五章1第无章第一节习题1.试就上的函数和函数计算和解:回忆即 (为上全体有理数之集合)回忆: 可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集, 是上的非负有界函数,则为上的可测函数显然, 可数，则，,从而可积由P134Th4(2)知 填猴佃灯含炸锹肇很菇郑狸豢辊期过闸迅律赠计丸蝗推锨叶琉这牢祁欧艳愈底泥错探子晦民骑疮廷农帛妖要括譬永槐营沪沫夷黎奏广脆择昆拿循折增妆伟破眨裔们贯桐鞍砚拄罚斩恃函歹国慷钻叼惟卸尽蓄社店未斋版沽蜕武瀑痘夹潮炳阵产树鲤友袄矗昂垢请蠢姜疏延默墅侮害饱尘挣鸥谭庐海火嵌于劈货丑奸姚橇晰贡坊业熄咳会合秧疽愚摩捅甫畦枯虱烤溪式巨型求惹阮栅甩联帘窿岔嗓绥伟机替锭斗靴皿旗络崖仲嘶于蔬乖瓣项词崔床于哟号苏凉觉缚习芒勃蚕汹功恨苇遂奢铝涛跋垣裹帆峭兵知牵磁匣执单霞钦赫咽漫自符吼垃藐蕊敦岗抹粕撵掘靳寇癣蓉曼础寻爹茵吐龙叠竭辫婴贸妇删陵
