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1、拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质： （2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点4平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定l （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。l （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。l （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等
2、，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。l （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质l （1）对应边的比相等，对应角相等.l （2）相似三角形的周长比等于相似比.l （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.l （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7
3、.相似三角形的应用:、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1. 如图在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上 （1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC与DEF是否相似？考点透视本例
4、主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.参考答案 135，2 能判断ABC与DEF相似，ABC=DEF=135，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断例2. 如图所示，D、E两点分别在ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC考点透视本例主要是考查相似的判定参考答案 1=B或2=C，或点评：结合判定方法补充条件例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A4.5米 B6米 C7.2米
5、 D8米考点透视本例主要是考查相似的应用参考答案 B例4. 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？考点透视本例主要是考查相似的实际应用参考答案 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答例5.如图所示，在ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y （1）如果BAC=30，DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果BAC的度数为，DAE
6、的度数为，当、满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由考点透视本例主要是考查相似与函数的综合运用.参考答案解:在ABC中，AB=AC=1，BAC=30，ABC=ACB=75，ABD=ACE=105又DAE=105，DAB+CAE=75又DAB+ADB=ABC=75，CAE=ADB，ADBEAC，y=当1满足- =90，y=仍成立此时DAB+CAE=-，DAB+ADB=-，CAE=ADB又ABD=ACE，ADBEAC，y=【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm
7、，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答考点透视本例主要是考查位似的性质.参考答案 m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质三适时训练（一）精心选一选1梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）（B）（C）（D）2如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AEBE，则（）（A）AEDBED（B）AEDCBD（C）AEDAB
8、D（D）BADBCD 题2 题4 题53P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）55如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（）（A）APBEPC（B）APE90（C）P是BC的中点（D）BPBC236如图，ABC中，ADBC于D，且有下列条件：（1）BDAC90；（2）BDAC；（3）；（4）AB2BDBC其中一定能够判定ABC是直角三角
9、形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个 题6 题7 题87如图，将ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AEAF（B）EFAF1（C）AF2FHFE（D）FBFCHBEC8如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）ABE的周长CDE的周长BCE的周长（B）ABE的面积CDE的面积BCE的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC9如图，在ABCD中，E为AD上一点，DECE23，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEFSEBFSABF等于（）（A）41025（B）4925（C）235（
10、D）2525 题9 题10 题1110如图，直线ab，AFFB35，BCCD31，则AEEC为（）（A）512（B）95（C）125（D）3211如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AEAB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BCCD为（）（A）21（B）32（C）31（D）5212如图，矩形纸片ABCD的长AD9 cm，宽AB3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、 cm（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13已知线段a6 cm，b2 cm，则a、b、ab的第
11、四比例项是_cm，ab与ab的比例中项是_cm14若m2，则m_15如图，在ABC中，ABAC27，D在AC上，且BDBC18，DEBC交AB于E，则DE_16如图，ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AFFD，EF交AC于G，则AGAC_ 题16 题17 题1817如图，ABCD，图中共有_对相似三角形18如图，已知ABC，P是AB上一点，连结CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件）19如图，AD是ABC的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则DE的长等于_ 题19 题20 题2120如图，ABC中，ABAC，ADBC于D，AEEC，AD18，BE15
12、，则ABC的面积是_21如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ACAB，AD8，BC10，则梯形ABCD面积是_22如图，已知ADEFBC，且AE2EB，AD8 cm，AD8 cm，BC14 cm，则S梯形AEFDS梯形BCFE_(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的1010的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）24. 如图，ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证25. 如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交A
13、D于E，连结BE交AC于F，求证AFFC26. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EFBC，FGAD求证：127. 如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH28. 如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）29. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若
14、相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由30. 如图，在RtABC中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使SBCPSABC？31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的
15、距离（精确到1m）32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题： 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，试问：AOB和DOC是否相似？ 某学生对上题作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB和DOC中，ADBC，AOB=DOC，AOBDOC 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由33. 如图：四边形ABCD中，A=BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34. 阳光通过窗口照射到
16、室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AE/BC；（2）如图二，将(1)中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AE/BC？证明你的结论。 36. 如图，从O外一点A作O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CDAO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）
17、若AO+CD=11，求AB的长。37. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD = 1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程的两根.（1）求的值（2）试用AP、BQ表示EF（3）若SPQE =，求n的值38. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：OPAXYBQ（1）设POQ的面积为，求关于的函数解析式。（2）当POQ的面积最大时， POQ沿
18、直线PQ翻折后得到PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。（3）当为何值时， POQ与AOB相似？39. 如图，矩形PQMN内接于ABC，矩形周长为24，ADBC交PN于E，且BC10，AE16，求ABC的面积40. 已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF41.(09延庆一模) 在RtABC中，C=90， BC=9， CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D， （第41题）DEDB交AB于点E，O是BDE的外接圆，交BC于点F（1）求证:AC是O的切线;（2）联结EF，求的值.42.(09东城一
19、模) 请阅读下列材料：（图1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PAPB=PCPD请你根据以上材料，解决下列问题.已知O的半径为2，P是O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作O的切线m和n，作PQm于点Q，PRn于点R.（如图2）(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；(2)若OPAC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（图2）(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：的值，并给出证明（图4）（图3） 43.(09昌平一模) .已知，是的平分线
20、将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长. 44.(09昌平二模) 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）（1）固定，将绕点顺时针旋转得到，连结（如图2）此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图2中的延长线交于，并将图2中的在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的设为（如图3
21、）设移动（点在线段上）的时间为x秒，若与重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若固定图1中的，将沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N（如图4）此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由图1 图2 图3 图445.(09通州二模) 如图：是O的直径，是弦，延长到点， 使得(1)求证：是O的切线；(2)若，求的长46.(09房山二模) 已知：如图，AB为O的直径，AD为弦，DBC =A. （1）求证： BC是O的切线；（2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，
22、CE=4，求AD的长.47.(09朝阳二模) 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到（使180），连接、，设直线与AC交于点O.（1）如图，当AC=BC时，:的值为 ；（2）如图，当AC=5，BC=4时，求:的值； （3）在（2）的条件下，若ACB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值. 图 图48.(09东城二模) 如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,DCBC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底边BC上，点F在AB 上（）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为，试用含的代数式表示BEF的面积；（）是否存在
23、线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由（）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为：两部分，将BEF的面积记为,五边形AFECD的面积记为,且求出的最大值49.(09门头沟二模) 在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE2AE， BD是EBC的平分线点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD交直线BE于点Q（1）当点P在线段ED上时（如图），求证：；（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图），请你猜想三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图），连结QC，过点P作PFQC，垂
24、足为F，PF交BD于点G若BC12，求线段PG的长50.(同上)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ若设运动的时间为t秒（0t2）（1）求直线AB的解析式；（2）设AQP的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；（4）连结PO，并把PQO沿QO翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标
25、和菱形的边长；若不存在，请说明理由参 考 答 案（一）精心选一选 1B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B（二）细心填一填13 【答案】；4 14【提示】分abc0和abc0两种情况 【答案】115【提示】由ABCBCD，列出比例式，求出CD，再用ABCAED 【答案】1016【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AFBH，考虑AFGCHG 【答案】1517【提示】分“”类和“”类两类 【答案】6对18 【答案】BACP，或ACBAPC，或AC2APAB19 【答案】620【提示】作EFBC交AD于F设BE交AD于O点，先求出OD长和O
26、B长，最后用勾股定理求出BD的长 【答案】14421 【提示】作AEDC交BC于E点，由RtABERtCBA，依次算出BE、AB的长，最后求出AE的长，即可求出梯形面积 【答案】36(三)认真答一答22【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则APDEPFBPC 【答案】23方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的1010的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形24【提示】过F点作FGCB，只需再证GFD
27、F【答案】方法一：作FGBC交AB延长线于点GBCGF，又BDC90，BEEC，BEDEBEGF，1 DFGF 方法二：作EHAB交AC于点H，BDC90，BEEC，BEDE 25如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AFFC【提示】先证BCFDBA，再证【答案】BCCD，ECBD， BEDE，FBCD又ABAC， BCFDBABCFDBA 又BD2BC，ABAC， FCAC 因此AFFC26已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EFBC，FGAD求证：1【提示】利用ACAFFC【答案】EFBC，FGAD，127如图，BD
28、、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH【提示】（1）证BCGDCG；（2）证RtHBGRtCFG【答案】（1）DG为RtBCD斜边上的高，RtBDGRtDCG，即DG2BGCG（2）DGBC， ABCH90，CEABABCECB90ABCHABCECBHECB又HGBFGC90，RtHBGRtCFG，BGGCGFGH28如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形
29、（自己完成图形）【提示】利用三角形相似，推出BD【答案】（1）ABCCDB90，当时，ABCCDB即BD即当BD时，ABCCDBABCCDB，ACBCBDACED又D90，ACD90E90四边形AEDC为矩形29如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由【提示】（1）如图，证明AFEDGE，证出AFEEFC（2）证明ECG30，BCF30【答案】如图，是相似【证明】延长FE，与CD的
30、延长线交于点G在RtAEF与RtDEG中，E是AD的中点，AEEDAEFDEG，AFEDGEAFEDGEE为FG的中点又CEFG，FCGCCFEGAFEEFC又AEF与EFC均为直角三角形，AEFEFC 存在如果BCFAEF，即k时，AEFBCF证明：当时，ECG30ECGECFAEF30BCF906030又AEF和BCF均为直角三角形，AEFBCF 因为EF不平行于BC，BCFAFE不存在第二种相似情况30如图，在RtABC中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使SBCPSABC？【提示】先求CP，再求D
31、P【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若SBCPSABC，则CPBCACBC，CPAC2（cm）故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有SBCPSABC当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PDBC于D若SBCPSABC，则PDBCACBCPDAC2（cm）RtBACRtBPD，又AB10，故BP，APABBP107.5也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时SBCPSABC答：1秒或7.75秒31. BC=50m，AM133米32. 错误，33. 证DCEDBC得DC2=DEDB再证DEFDAB得DEDB=DADF(2)ADDF=DGDC
32、34. BC=4m35. 证（1）EAC与DBC全等,得到EAC=B,而B=ACB,得EAC=ACB故AE/BC(2) EACDBC得到EAC=B,而B=ACB,得EAC=ACB36. （1）连接BC交OA于E点 AB、AC是O的切线，AB=AC, 1=2 AEBC OEB=90O BD是O的直径 DCB=90O DCB=OEB CDAO (2)CDAO 3=4 AB是O的切线，DB是直径 DCB=ABO=90O BDCAOB = = y = 0x6 (3)由已知和(2)知：8分 把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根 解这个方程 得 z=2或z=9 （舍去） AB=637. （1）AP
33、=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1又AP、BQ分别为方程的两根，有AP+BQ=m，APBQ=nAP+BQ=m=1（2分）（2）EFAP 又APBQ 即即：（3）连结QD，则EPQD，得：SAQD=，且SAEPSAQD=AP2AD2= AP21= AP2SAEP= AP2SAQD= AP2 SPQESAEP=EQAE，即AP2= EQAE=BQAP APBQ=即：n=38. 解（1）OA=12,OB=6由题意，得BQ=1t=t，OP=1t=tOQ=6ty=OPOQ=t（6t）=-t23t（0t6）（2） 当有最大值时，OQ=3 OP=3即POQ是等腰直角三角形。把POQ沿翻折后，可得四边形
34、是正方形点C的坐标是（3，3）直线的解析式为当时，点C不落在直线AB上（3）POQAOB时若，即，若，即，当或时，POQ与AOB相似。39. 【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出SABC【答案】矩形PQMN，PNQM，PNQMADBC，AEPNAPNABC，设EDx，又矩形周长为24，则PN12x，AD16x即x24x320解得x4ADAEED20SABCBCAD100【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比40. 【提示】先证PBPC，再证EPCCPF【答案】连结PCABAC，AD是中线，AD是ABC的对称轴PCPB，PCEABPCFAB，PFC
35、ABPPCEPFC又CPEEPC，EPGCPF即PC2PEPFBP2PEPF【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质41.（1） 证明：连结OD，-1分，又BD为ABC的平分线， ，即-2分又OD是O的半径，AC是O的切线 3分（2） 解： DEDB，O是RtBDE的外接圆， BE是O的直径，设O的半径为r， 在RtABC中， ， ，ADOACB4分又BE是O的直径BEFBAC5分42.解：（）过圆心，且m,n分别切O于点A,C (2)连接OAAECPAQ同理可得： +，得43. 解：（1）与的数量关系是相等 1分证明：过点作，垂足分别为点，易得，而，是的平分线，又，2分
36、（2），又，3分，4分（3）如图1所示，若与射线相交，则；6分 如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则8分 44. 解：（1）. 1分证明：如图2，与都是等边三角形，绕点顺时针旋转30得到，也是等边三角形，且，, . 2分,.， . 3分（2）如图3，设分别与交于点.CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，平移后的为，.由（1）可知，.,.在中，.4分过点作于点.在中， ，. 5分，.当点与点重合时，.此函数自变量x的取值范围是 . 6分（3）的值不变 . 7分证明：如图4，由题意知，在中，.又，点是的中点， 8分45. （1）证明：连结DO 1分 AO=DODAO=ADO=22.50DOC=450又ACD=2DAB ACD=DOC=450 ODC=900 2分是O的切线 （2）解：连结DB
