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1、线性代数知识点总结(免费)1、行列式 n221. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式; n!nn2. 代数余子式的性质: ?、和的大小无关; Aaijij?、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; A?、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为; ijij，MAAM,(1)(1) 3. 代数余子式和余子式的关系:ijijijijD4. 设行列式: nnn(1),2DDD,(1)将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则; D11nn(1),2DD,(1)D将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则; D9022D将主对角线翻转后(转置)，所得行列式为，则; DDD,
2、33D将主副角线翻转后，所得行列式为，则; DDD,445. 行列式的重要公式: ?、主对角行列式:主对角元素的乘积; nn(1),2， ,(1)?、副对角行列式:副对角元素的乘积; , ?、上、下三角行列式():主对角元素的乘积; nn(1),2， ,(1) ? ?、和:副对角元素的乘积; AOACCAOAmn?、拉普拉斯展开式:、 (1),AB,ABBOBCCBOB?、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ?、特征值; nnknk,EAS,，,(1)Ak6. 对于阶行列式，恒有:，其中为阶主子式; Sn,kk1,kA,07. 证明的方法: AA,?、; ?、反证法; Ax,0?、构造齐次
3、方程组，证明其有非零解; ?、利用秩，证明; rAn(),?、证明0是其特征值; 2、矩阵 A1. 是阶可逆矩阵: nA,0,(是非奇异矩阵); ,(是满秩矩阵) rAn(),A,的行(列)向量组线性无关; Ax,0,齐次方程组有非零解; nAxb,，总有唯一解; ,bR0 A与E等价; ,A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ,A的特征值全不为0; ,TAA是正定矩阵; ,nRA的行(列)向量组是的一组基; ,nRA是中某两组基的过渡矩阵; ,*A阶矩阵:AAAAAE, 无条件恒成立; 2. 对于n,1*111*TTTT3. ()()()()()()AAAAAA,TTT*111, ()()()A
4、BBAABBAABBA,4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值，可求代数和; AB5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆: A,1,A2,若，则: A,As,AAAA,?、; 12s,1,A1,1A,12,?、; A,1,A,s,1,1AO,AO,?、;(主对角分块) ,1OBOB,1,1OA,OB,?、;(副对角分块) ,1BOAO,1,111AC,AACB,?、;(拉普拉斯) ,1OBOB,1,1AO,AO,?、;(拉普拉斯) ,111CB,BCAB,3、矩阵的初等变换与线性方程组 EO,rA1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:; F,mn
5、，,OO,，mnA等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; AB对于同型矩阵、，若; rArBAB()(), , 2. 行最简形矩阵: ?、只能通过初等行变换获得; ?、每行首个非0元素必须为1; ?、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) r,1XA,(,)(,)AEEX A?、 若，则可逆，且; 1 c,1,1AB?、对矩阵做初等行变化，当A变为E时，B就变成，即:; (,)(,)ABEAB , (,)ABr,1(,)(,)AbEx?、求解线形方程组:对于个未知数个方程，如果
6、，则A可逆，且; Axb,nnxAb,4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ?、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; ,1,2,AAA?、，左乘矩阵，乘的各行元素;右乘，乘的各列元素; ,ii,n,111,1?、对调两行或两列，符号，且，例如:; EijEij(,)(,),Eij(,)11,11,1,1,1,11,1,?、倍乘某行或某列，符号，且,，例如:; EikEi()()Eik()kk,(0),kk,1,1,111kk,1?、倍加某行或某列，符号,且，如:; EijkEijk()(),Eijk()11(0),k,11,5. 矩阵秩的基本性质: ?、;
7、 0()min(,),rAmnmn，T?、; rArA()(),AB?、若，则; rArB()(),P?、若、可逆，则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) rArPArAQrPAQ()()()(),Q?、;() max(),()(,)()()rArBrABrArB,，?、;() rABrArB()()()，,，?、;() rABrArB()min(),(),ABAB,0?、如果是矩阵，是矩阵，且，则:() mn，ns，BAX,0 ?、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论); ?、 rArBn()()，,AB?、若、均为阶方阵，则; rABrArBn()()(),，,n6. 三种特殊矩阵的方幂:
8、 ?、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合，律; 1ac,?、型如的矩阵:利用二项展开式; 01b,001,nnnnmnmmnnnnmmnm0111111,()abCaCabCabCabCbCab，,，, 二项展开式:; ,nnnnnn,0mnn，1 注:?、()ab，展开后有项; nnnmn(1)(1)!,，mn0?、 CCC,1nnn123!()!mmnm,2 n,11mnmmmmrnrr?、组合的性质:CCCCCCrCnC,，, 2; ,，,11nnnnnnnn,0r?、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: nrAn(), ,*?、伴随矩阵的秩
9、:; rArAn()1()1,0()1rAn,AA*1*, , , ,(,)AXXAAAAXX,?、伴随矩阵的特征值:; ,n,1*1,*AAA,?、 AA,A8. 关于矩阵秩的描述: A?、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0;(两句话) n，1rAn(),nA?、，中有阶子式全部为0; rAn(),nA?、，中有阶子式不为0; rAn(),nA9. 线性方程组:Axb,，其中为矩阵，则: mn，?、与方程的个数相同，即方程组Axb,有个方程; mm?、与方程组得未知数个数相同，方程组Axb,为元方程; nn10. 线性方程组Axb,的求解: B?、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换
10、); ?、齐次解为对应齐次方程组的解; ?、特解:自由变量赋初值后求得; 11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程: nmnaxaxaxb，, ,11112211nn,axaxaxb，, ,21122222nn?、; ,axaxaxb，,mmnmnn1122,aaaxb,1112111n,aaaxb2122222n,A?、(向量方程，为矩阵，个方程，个未知,Axbnmn，m,aaaxbmmmnmm12,数) xb,11,bx22,?、aaa,(全部按列分块，其中); ，12n,bxnn,?、(线性表出) axaxax，,1122nn?、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数) rArAn
11、()(,),n4、向量组的线性相关性 A1. 个维列向量所组成的向量组:构成矩阵; ,A,(,),nmnm，12m12m3 T,1,T,TTT2,个维行向量所组成的向量组B:构成矩阵; ,Bmnmn，12m,T,m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 有、无非零解;(齐次线性方程组) 2. ?、向量组的线性相关、无关 ,Ax0?、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组) ,Axb?、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程) ,AXBP3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14) Ax,0Bx,0ABmn，ln，101TP4. ;(例15) rAArA()()
12、,1015. 维向量线性相关的几何意义: n?、线性相关 ; ,0,?、线性相关 坐标成比例或共线(平行); ,?、线性相关 共面; ,6. 线性相关与无关的两套定理: 若线性相关，则必线性相关; ,12s121ss，若线性无关，则必线性无关;(向量的个数加加减减，二者为对偶) ,12s121s,AB若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组: rnr,nABBA若线性无关，则也线性无关;反之若线性相关，则也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定; PABA7. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示，且线性无关，则rs,(二版rs74定理7);
13、 PAB向量组能由向量组线性表示，则;(定理3) rArB()(),86AB向量组能由向量组线性表示 ,AXB有解; P (定理2) ,rArAB()(,)85PAB 向量组能由向量组等价(定理2推论) , ,rArBrAB()()(,)85A8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使; ,PPP,APPP,12l12lrP,Ax0Bx,0?、矩阵行等价:(左乘，可逆)与同解 ABPAB,c?、矩阵列等价:ABAQB,(右乘，可逆); QP?、矩阵等价:(、可逆); ABPAQB,Q9. 对于矩阵与: BAmn，ln，ABAB?、若与行等价，则与的行秩相等; ABABAx,0Bx,0?、若与行等价，
14、则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ?、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; A?、矩阵的行秩等于列秩; 10. 若，则: ABC,mssnmn，ABC?、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵; TABC?、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵;(转置) Bx,0ABx,011. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明; 4 ?、 只有零解只有零解; ABx,0, ,Bx0?、 有非零解一定存在非零解; Bx,0, ,ABx0P12. 设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论) Bbbb:,Aaaa:,nrr，12nss，12110(
15、BAK,) (,)(,)bbbaaaK,1212rs其中K为，且A线性无关，则B组线性无关;(B与K的列向量组具有相同线,rKr()sr，性相关性)(必要性:;充分性:反证法) rrBrAKrKrKrrKr,？,()()(),(),()K 注:当时，为方阵，可当作定理使用; rs,P13. ?、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关;() AQAQE,rAm()Qmn，nm，m87P?、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关; APPAE,rAn()mn，nm，n14. 线性相关 ,12s存在一组不全为0的数，使得成立;(定义) ,kkk,kkk,，,012s1122ssx,1,x2,(,)0,有非零
16、解，即Ax,0有非零解; ,12s,x,s，系数矩阵的秩小于未知数的个数; ,rs(,),12sA15. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组Ax,0的解集S的秩为:; rrSnr(),mn，n*16. 若为Axb,的一个解，为Ax,0的一个基础解系，则线性无关;,nr,12nr,12P(题33结论) 1115、相似矩阵和二次型 ,1TTAA,1. 正交矩阵或(定义)，性质: ,AAE1ij,TA?、的列向量都是单位向量，且两两正交，即; aaijn,(,1,2,),ij0ij,1TAA,AA,1?、若为正交矩阵，则也为正交阵，且; ABAB?、若、正交阵，则也是正交阵; 注意:求解正交阵，千万
17、不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化: (,)aaa12r; ba,11,ba12 bab,221,bb11135.215.27加与减（三）4 P75-80,bababa121rrrr, ; ,babbbrrr121,bbbbbb112211rr,3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交; 23.53.11加与减（一）4 P4-12ABAB4. ?、与等价 ,经过初等变换得到; 11.利用三角函数测高P，、可逆; ,PAQBQ(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.AB，、同型; ,rArB()()推论2
18、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.TAB?、与合同 ，其中可逆; ,CACBTT 与有相同的正、负惯性指数; ,xAxxBx,1AB?、与相似 ; ,PAPB|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。5. 相似一定合同、合同未必相似; TABC若为正交矩阵，则,，(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格); CACB,推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。5 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵; T7. 元二次型为正定: nxAx面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合的正惯性指数为; ,AnT与E合同，即存在可逆矩阵，使; ,ACCACE,的所有特征值均为正数; ,A(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.的各阶顺序主子式均大于0; ,A,aA0,0;(必要条件)ii43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-236
