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1、第2讲空间几何体的表面积和体积板块一知识梳理自主学习必备知识考点1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和考点2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点3柱、锥、台和球的表面积和体积必会结论1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a
2、，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()(3)若一个球的体积为4，则它的表面积为12.()(4)将圆心角为，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4.()答案(1)(2)(3)(4)2.2018长春模拟如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A. B64C.
3、D.答案D解析由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，其体积为444.故选D.3.2018合肥模拟某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124B188C28D208答案D解析由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S22242224208.故选D.4九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42C44 D64答案C解析由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为
4、，棱柱的高为2，所以其侧面积S222244.故选C.52017全国卷长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案14解析长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R24214.62017山东高考由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为_答案2解析该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，V21121212.板块二典例探究考向突破考向几何体的表面积 例1(1)2017全国卷某多面体的三视图如图所示，其中正视图
5、和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16答案B解析观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2(24)212.故选B.(2)2016全国卷下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B24 C28
6、 D32答案C解析由三视图可得圆锥的母线长为4，S圆锥侧248.又S圆柱侧22416，S圆柱底4，该几何体的表面积为816428.故选C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理【变式训练1】2015安徽高考一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B12 C2 D2答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD平面BCD，ABD与BCD为全等的等腰直角三角形，ABADBCCD.取BD的中点O，连接AO，CO，则AOCO，AO
7、CO1.由勾股定理得AC，因此ABC与ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得SABCSACD，SABDSBCD1，所以四面体的表面积为2.故选C.考向几何体的体积命题角度1补形法求体积 例22017全国卷如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36答案B解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432
8、663.故选B.命题角度2分割法求体积 例32018山西五校联考九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5000立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三
9、棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5000立方尺故选A.命题角度3转化法求体积 例4如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案解析三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VFDD1E1.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱
10、体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解考向与球有关的切、接问题 例52018沈阳模拟已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2 C. D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .故选C.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积
11、各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为36，高为 3，因此底面中心到
12、各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.触类旁通“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决截面过球心(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径【变式训练2】(1)2017全国卷已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.答案B解析设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，
13、R及圆柱的高的一半构成直角三角形r .圆柱的体积为Vr2h1.故选B.(2)2018湖北七市联考一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A36 B. C32 D28答案B解析根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球三棱柱的底面是边长为4的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2，外接球的半径为R，外接球的表面积S4R24.故选B.核心规律1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图
14、形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高满分策略1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.板块三启智培优破译高考题型技法系列 10 破解切割棱柱体的三视图问题 2018河南质检如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.6 B9 C12 D1解题视点根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图
15、形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解解析该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积为3429.故选B.答案B 答题启示从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D6答案A解析由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成V222221.故选A.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1. 2018南昌模拟如图，在正四棱柱AB
16、CDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21C23 D32答案A解析根据题意，三棱锥PBCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为11.故选A.2九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为()A1丈3尺 B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺答案B解析设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依
17、题意，圆柱体积为Vr2h20001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54尺5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺故选B.3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案D解析由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，V111.故选D.4正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A4 B8 C12 D16答案B解析由正弦定理得2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，r1，外接球的半径R，外接球的表面积S4R28.故选B.52017北京高考某三棱锥的三视图如图所
18、示，则该三棱锥的体积为()A.60 B30 C20 D10答案D解析由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱锥PACD35410.故选D.62018遵义模拟一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为()A. B. C. D.答案C解析由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OAOB1，AB.又PB平面ABCD，PBBD，PBAB，PD，PA，从而有PA2DA2PD2，PADA，该几何体的侧面积S212.故选C.7某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A
19、.207 B216C21636 D21618答案B解析由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的圆锥其体积V63326216.故选B.8.2017江苏高考如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_答案解析设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.9某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_答案2()解析由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底
20、面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2.两部分加起来即为几何体的表面积，为2()102018云南昆明联考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_答案解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为44844464.B级知能提升12018上海模拟如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是()A. B. C. D.答案D解析根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥PABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为222122.故选D.22018北京模拟某三棱锥的三视图如图所
21、示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D5答案C解析由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA平面ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得SABC222，SSAC1，SSAB1，SSBC2，所以S表面积22.故选C.32017全国卷已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_答案36解析如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB
22、.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236.4.如图，ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积解解法一：如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则V几何体V三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为：V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为：VV1V2722496.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SAB
23、CAA24896.52018杭州模拟已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积解如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高，又AB20 cm，AB30 cm，所以S侧3(2030)DD75DD.S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD cm，又因为OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO 4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)1900(cm3)故棱台的体积为1900 cm3.25
