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1、第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理自主学习必备知识考点1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项考点2数列的分类考点3数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法考点4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式必会结论1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，若an最大，则若an最小，则3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列考点自测1判断下
2、列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(2)数列：1,0,1,0,1,0，通项公式只能是an.()(3)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编数列1，的一个通项公式an是()A. B. C. D.答案B解析由已知得，数列可写成，故该数列的一个通项公式为.故选B.3课本改编在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A. B. C. D.答案C解析由已知得a21(1)22，2a32
3、(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.故选C.4已知f(1)3，f(n1)(nN*)则f(4)_.答案解析由f(1)3，得f(2)2，f(3)，f(4).52018山东师大附中月考已知数列an的前n项和Sn，则a5a6_.答案解析a5a6S6S4.6课本改编在数列an中，a12，an1an，则数列an_.答案3解析由题意，得an1an，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.板块二典例探究考向突破考向由数列的前几项求数列的通项公式例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，1，；(3)，；(4)1,3,6,10,15，；(5)
4、3,33,333,3333，.解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，所以an(1)n.(4)将数列改写为，因而有an，也可用逐差法a2a12，
5、a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式累加得an.(5)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(1)n或(1)n1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决考向由an与Sn的关系求通项an例2(1)已知数列an的前n项和Sn
6、2n23n，则an_.答案4n5解析(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)设Sn为数列an的前n项的和，且Sn(an1)(nN*)，则an_.答案3n解析当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，整理，得an3an1，即3，又a13，数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，an3n.(3)已知数列an，满足a12a23a3nan2n，则an_.答案解析当n1时，由已知，可得a1212，当n2时，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1，由得nan2n2n12n1，an.
7、显然n1时不满足上式，an触类旁通给出Sn与an的递推关系，求an的常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【变式训练】(1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an(2)2018广州模拟设数列an满足a13a232a33n1an，则an_.答案解析因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由题意知a1，
8、符合上式，所以an.(3)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.答案n1解析由已知Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Snn1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1形如an1anf(n)，求an例3在数列an中，a14，nan1(n2)an，求数列an的通项公式解由递推关系得，又a14，ana1442n(n1)(nN*)命题角度2形如an1anf(n)，求an例4(1)2015江苏高考设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，求数列前10项的和解由题意可得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，则2，数
9、列的前10项的和为2.(2)若数列an满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式解由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.命题角度3形如an1AanB(A0且A1)，求an例5已知数列an中，a11，an12an3，求an.解设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.命题角度4形如an1(A，B，C为常数)，求an例6已知数列an中，a1
10、1，an1，求数列an的通项公式解an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列，(n1)，an(nN*)触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)累加法、累乘法、待定系数法满分策略1.数列是一种
11、特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2.数列的通项公式不一定唯一3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.板块三启智培优破译高考数学思想系列6用函数思想解决数列的单调性问题2018南京段考数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)对于nN*，都有an1an.求实数k的取值范围解题视点(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，
12、通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3.答题启示(1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列an中，an1(nN*，aR，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围解(1
13、)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1.结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，10a8.故a的取值范围为(10，8)板块四模拟演练提能增分A级基础达标1已知数列，2，则2是该数列的()A第5项 B第6项 C第7项 D第8项答案C解析由数列，2，的前三项，可知，数列的通项公式为an，由2，可得n7.故选C.22018上饶模拟已知数列an满足an1ann，若a12，则a4a2()A4 B3 C2 D1答案D解析由an1
14、ann，得an2an1n1，两式相减得an2an1，令n2，得a4a21.故选D.32018济宁模拟若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A. B. C. D30答案D解析当n2时，anSnSn1，5(51)30.故选D.4已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则a10()A64 B32 C16 D8答案B解析an1an2n，an2an12n1，两式相除得2.又a1a22，a11，a22.则24，即a102532.故选B.5在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.若a664，则a9等于()A256 B510 C512 D1024答案C解析在各项均为
15、正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.a6a3a364，a38.a9a6a3648，a9512.故选C.62018辽宁实验中学月考设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则an()A2n B2n1 C2n D2n1答案C解析当n1时，a1S12(a11)，可得a12；当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，an22n12n.选C.7若数列an的前n项和Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是()A第2项 B第3项 C第4项 D第5项答案B解析Snn210n，当n2时，anSnSn12n11；当n1时，a1S19也适合上式an2n11(nN*
16、)记f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图象的对称轴为直线n，但nN*，当n3时，f(n)取最小值于是，数列nan中数值最小的项是第3项故选B.8已知数列an中，a11，若an2an11(n2)，则a5的值是_答案31解析an2an11，an12(an11)，2，又a11，an1是以2为首项，2为公比的等比数列，即an122n12n，a5125，即a531.92018洛阳模拟数列an中，a11，对于所有的n2，nN*，都有a1a2a3ann2，则a3a5_.答案解析由题意知：a1a2a3an1(n1)2，所以an2(n2)，所以a3a522.102015全国卷设Sn是数列an的前n
17、项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.B级知能提升12018天津模拟已知正数数列an中，a11，(n2)a(n1)aanan10，nN*，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann答案B解析由题意可得，则ana11.故选B.2已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)答案D解析因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，
18、所以k(0，)故选D.32018重庆模拟数列an满足an1a1，则数列的第2018项为_答案解析a1，a22a11.a32a2.a42a3.a52a41，a62a51，.该数列周期为T4.a2018a2.4已知a12a222a32n1an96n，求数列an的通项公式解令Sna12a222a32n1an，则Sn96n，当n1时，a1S13；当n2时，2n1anSnSn16，an.而n1时，a13，不符合上式，通项公式an52018贵阳模拟已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n1时，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an.综上，an的通项公式an.12
