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1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点1平面的基本性质考点2空间两条直线的位置关系1位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.考点3空间直线、平面的位置关系 必会结论1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推
2、论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(4)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)22018福州质检已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若
3、直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件故选A.3课本改编若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b答案D解析b与相交或b或b都可以故选D.42018衡中调研已知直线a，b，c，有下面四个命题：若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中真命题的序号是_答案解析a，c可能相交、平行或异面；a，c可能相交、平行或异面；正确；a，c可能相交、平行或异面5.2018大连模拟如图，在三棱锥CABD 中，E，F分别是AC和BD的中点，若C
4、D2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_答案30解析取CB的中点G，连接EG，FG，EGAB，FGCD，EF与CD所成的角为EFG或其补角又EFAB，EFEG.在RtEFG，EGAB1，FGCD2，sinEFG，EFG30，EF与CD所成的角为30.板块二典例探究考向突破考向平面基本性质的应用 例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)
5、EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点触类旁通1证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线2证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线【变式训练1】如图，空
6、间四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EF綊BD，GH綊BD.四边形FEGH为梯形，GE与HF交于一点，设EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线考向空间两条直线的位置关系 命题角度1两直线位置关系的判定例220
7、15广东高考若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交故选D.命题角度2异面直线的判定例3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号
8、都填上)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法考向异面直线所成的角 例42017全国卷已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析将直三棱柱ABCA1B1C1补
9、形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角 ，所以cos.故选C.触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角【变式训练2】如图，在三棱锥
10、ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.核心规律1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线共点等几何问题2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法，将异面直线所成的角转化成同一平面内的直
11、线所成的角，放到同一个可解的三角形中去求解满分策略1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3.两条异面直线所成角的范围是(0，90.板块三启智培优破译高考题型技法系列 11构造法判定空间线面位置关系 2018西安模拟已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有真命题的序号是()A B C D解题视点判断空间线面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及
12、其它几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象具体化解析对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示；对于，平面，可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m.因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn.答案A答题启示由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证.跟踪训练2018郑州模拟设l是直线，是两个不同的平面，()A若l，l，则 B
13、若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l答案B解析解法一：设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误解法二：借助于长方体模型解决本题：对于A，如图，与可相交；对于B，如图，不论在何位置，都有；对于C，如图，l可与平行或l内；对于D，如图，l或l或l.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018济宁模拟直线l1，l2平行的一个充分条件是()Al1，l2都平行于同一个平面Bl1，l2与同一个平面所
14、成的角相等Cl1平行于l2所在的平面Dl1，l2都垂直于同一个平面答案D解析对A，当l1，l2都平行于同一个平面时，l1与l2可能平行、相交或异面；对B，当l1，l2与同一个平面所成角相等时，l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求故选D.22018太原期末已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交 C垂直 D异面答案C解析直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错误；l时，在平面内不存在与l异面的直线，D错误；l时，在平面内不存在与l相交的直线，B错误无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直故选C.3已知a，b，c为三
15、条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析解法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，并且相交或异面时不一定垂直，所以错，显然成立解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确故选B.4若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3
16、为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C.故选D.5.如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上故选D.62018大连模拟已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是()A0 B1 C2 D3答
17、案C解析中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.故选C.7.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则
18、A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.8.如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.EFG为EF与AC所成的角ACBD，FGEG.ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.故选B.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四
19、面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.102018许昌模拟如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案解析中HGMN；中GMHN且GMHN，所以直线HG与MN必相交B级知能提升12018泉州模拟设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a
20、，且b答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由la，且lb，可得ab，与题设矛盾，故B不正确；由a，且b，可得ab，与题设矛盾，D不正确故选C.2.2018赤峰模拟如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析如图，连接C1D，在C1DB中，MNBD，故C项正确；因为CC1平面ABCD，所以CC1BD，所以MN与CC1垂直，故A项正确；因为ACBD，MNBD，所以MN与AC垂直，故B项正确；因为A1B1与BD异面，MNB
21、D，所以MN与A1B1不可能平行，D项错误故选D.3.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是_(填序号)A，M，O三点共线；A，M，O，A1四点共面；A，O，C，M四点共面；B，B1，O，M四点共面答案解析连接AO，则AO是平面AB1D1与平面AA1C1C的交线因为A1C平面AA1C1C，MA1C，所以M平面AA1C1C.又M平面AB1D1，所以MAO，故A，M，O三点共线，从而易知均正确4.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)
22、求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，AE与PB是异面直线 (2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1.5.2018邯郸一中模拟已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面
23、ABC的中心，如图所示(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解(1)连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点点O是正ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面ADA1.BCAA1.又AA1CC1，异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角CC1BC，即四边形BCC1B1为正方形，异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)三棱柱的所有棱长都为2，可求得AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.19
