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1、专题一函数图象与性质的综合应用1函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系2函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等3求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等4作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图5图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换1 (2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.2 函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，则ba的最小值为 (
2、)A. B. C1 D2答案B解析令f(x)0，解得x1；令f(x)1，解得x或3.因为函数f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数故ba的最小值为1.3 (2011辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)答案D解析当x1时，由21x2，知x0，即0x1.当x1时，由1log2x2，知x，即x1，所以满足f(x)2的x的取值范围是0，)4 (2011湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)等于 ()A2 B. C. Da2答案B解析f(x)是奇函数
3、，g(x)是偶函数，由f(x)g(x)axax2，得f(x)g(x)axax2，得g(x)2，得f(x)axax.又g(2)a，a2，f(x)2x2x，f(2)2222.5 已知yf(x)的图象如图，则yf(1x)的图象为下列四图中的 ()答案A解析将yf(1x)变形为yf(x1)作yf(x)图象，将yf(x)关于y轴对称即可；将f(x)的图象沿x轴正方向平移1个单位，得yf(x1)f(1x)的图象.题型一函数求值问题例1(2012苏州模拟)设f(x) 且f(1)6，则f(f(2)的值为_思维启迪：首先根据f(1)6求出t的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f(f(2)的值，并利用
4、指数与对数的运算规律求出函数值答案12解析10，f(1)2(t1)6，即t13，解得t2.故f(x)所以f(2)log3(2)22log360.f(f(2)f(log36)23log362612.探究提高本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值 (2012广东六校联考)已知f(x)则ff的值等于 ()A2 B1 C2 D3答案D解析f，ff1f2，ff3.题型二函
5、数性质的应用例2设奇函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，且f(2)0，则不等式0的解集为 ()A2,02，) B(，2(0,2C(，22，) D2,0)(0,2思维启迪：转化成f(m)0时，则有f(x)0f(2)，由f(x)在(0，)上单调递增可得x2；当x0时的解集即可 设函数f(x) 若f(m)0时，f(m)f(m)logm1；当m0时，f(m)f(m)log2(m)log(m)1m0.所以，m的取值范围是(1,0)(1，)题型三函数图象及应用例3已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_思维启迪：可以先画出函数f(x)的图象，通过图象的特
6、征观察a、b、c的关系答案(10,12)解析画出函数f(x)的图象，再画出直线yd(0d1)，如图所示，直观上知0a1,1b10,10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，从而得ab1，则10abc12.探究提高通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了 已知不等式x2logax0，当x时恒成立，求实数a的取值范围解由x2logax0，得x2logax.设f(x)x2，g(x)logax.由题意知，当x时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知即解得a1.实数a的取值范围是.题型四函数的值域
7、与不等式恒成立问题例4(2012天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R上的增函数yf(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决(2)将恒成立问题转化成函数最值问题(1)解令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)证明令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(3)解方法一因为f(
8、x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数f(k3x)f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k3x0对任意xR成立令t3x0，问题等价于t2(1k)t20对任意t0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其对称轴为x，当0即k0，符合题意；当0即k1时，对任意t0，f(t)0恒成立解得1k12.综上所述，当k12时，f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立方法二由k3x3x9x2，得k3x1.u3x121,3x时，取“”，即u的最小值为21，要使对xR，不等式k3x1恒成立，只要使kf(x) (或a0，试求实数m的取值范围解因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，)时，f(x)是增函数
9、，则f(x)在(，0上也是增函数，所以f(x)在R上是增函数，且f(0)0，f(cos 23)f(4m2mcos )0，f(cos 23)f(2mcos 4m)，于是cos 232mcos 4m，即cos2mcos 2m20.得m，设h()，则h()442，即h()max42，只须m42.故实数m的取值范围是(42，)2.高考中的函数零点问题典例：(2011山东)已知函数f(x)logaxxb (a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.考点分析本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合求解策略解答本题可先确定函数f(x)在(0，
10、)上的单调性，然后根据a，b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0(n，n1)，nN*确定出n的值答案2解析2a3，f(x)logaxxb为定义域上的单调递增函数f(2)loga22b，f(3)loga33b.2a3b，0lg 2lg alg 3，3，b3，2b1，loga22b0，即f(2)0.1，3b4，13b0，f(3)0，即f(2)f(3)0.由x0(n，n1)，nN*知，n2.解后反思(1)本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等方法与技巧1 利用复合函数求函数值是一类重
11、要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题2 抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f(x)，使之与f(x)产生等量关系，即比较f(x)与f(x)是否相等，此时赋值比较多的是1、1、0等3 作图、识图和用图是函数图象中的基本问题作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题失误与防范1 函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段
12、函数，以防代错解析式2 对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去3 识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2011重庆)下列区间中，函数f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是 ()A(，1 B1，C0，) D1,2)答案D解析方法一当2x1，即x1时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在(，1上单调递减当02x1，即1x2时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在1,2)上单调
13、递增，故选D.方法二f(x)|ln(2x)|的图象如图所示由图象可得，函数f(x)在区间1,2)上为增函数，故选D.2 (2011北京)如果logxlogy0，那么 ()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx答案D解析不等式转化为1yx.3 (2012浙江改编)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f等于 ()A. B C. D.答案A解析当x1,0时，x0,1，f(x)为偶函数，f(x)f(x)x1.fff1.4 (2012江西)如图所示， |OA|2(单位：m)，|OB|1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于
14、点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)0)，则函数yS(t)的图象大致是()答案A解析对t进行分段，确定函数yS(t)的解析式由题意知，当01时，设圆弧半径为r，甲从B沿圆弧移动到C后停止，乙在A点不动，则此时S(t)12sin r3(t1)t，此段图象为直线，当甲移动至C点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项B中开始一段函数图象不对，选项C中后两段图象不对，选项D中前
15、两段函数图象不对，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5 设a0，a1，函数f(x)loga(x22x3)有最小值，则不等式loga(x1)0的解集为_答案(2，)解析x22x30，即(x1)220的解集为R，函数f(x)loga(x22x3)的定义域为R.又函数yx22x3有最小值2，无最大值据题意有a1.loga(x1)0loga1等价于解得x2，即不等式loga(x1)0的解集为(2，)6 设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是_答案，0(2，)解析由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)当x2；当x2时，f(x)8.当x(
16、，1)(2，)时，函数的值域为(2，)当1x2时，y0.当x1,2时，函数的值域为，0综上可知，f(x)的值域为，0(2，)7 已知函数f(x)在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_答案7,8)解析由题意知，实数a应满足，即，解得7a0且a1)的图象有两个交点，求a的取值范围解当a1时，画出函数y|ax1|的草图：若y2a与y|ax1|的图象有两个交点，则有02a1，0a(舍去)当0a1时，画出函数y|ax1|的草图：若y2a与y|ax1|的图象有两个交点，则有02a1，0a0，且a1，f(logax).(1)求f(x)；(2)判断f(x)的单调性；(3)求f(x23x2)1时，axax
17、为增函数，又0，f(x)为增函数；当0a1时，axax为减函数，又0，f(x)为增函数函数f(x)在R上为增函数(3)f(0)(a0a0)0，f(x23x2)0f(0)由(2)知：x23x20，1x2.不等式的解集为x|1x2B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知函数f(x)，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是 ()A(2，) B.C(3，) D.答案C解析由已知条件0a13，即a2b的取值范围是(3，)2设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则 ()Aa且a1 B1a0Ca0 D1a2答案C解析函数f(x)为奇函数，f(1)f
18、(1)1.又函数f(x)的周期为3，f(1)f(2)1，0，解得a0或a1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是 ()A(1,2) B(2，)C(1，) D(，2)答案D解析由f(x2)f(x2)，知f(x)是以4为周期的周期函数，于是可得f(x)在(2,6上的大致图象如图中实线所示，令g(x)loga(x2) (a1)，则g(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f(x)loga(x2)0 (a1)在区间(2,6内恰有3个不同的实数根，则只需，即，解得af(a)，则实数a的取值范围是_答案(2,1)解析f(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a，即2a0，a，cR)(1)设ac0.若f(x)c22ca对x1，)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图象的对称轴为x，由条件ac0，得2aac，故c22ca对x1，)恒成立，则f(x)minf(1)c22ca，即acc22ca，得c2c0，所以0c1.(2)若f(0)f(1)c(ac)0，则c0，或a0，f(1)ac0，则ac0.因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图象的对称轴是x.而f0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点
