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1、浅谈数学证明中的直觉思维的培养 武汉六中 袁泉润 在中学数学教学中，数学证明题占有较大的比例，无论是现行教材还是新课程标准教材都十分重视代数证明的教学。究其原因，是因为数学证明具有良好的教育功能。通过数学证明的教学可以增进学生对数学知识的理解和掌握，可以帮助学生建立相关知识之间的联系，可以培养学生的逻辑思维和非逻辑思维能力，可以帮助学生提高数学交流和数学发现能力，能进一步促进学生的理性精神的培养。在数学证明中需要大量严格的逻辑思维，同时也离不开以直觉思维为主要形式的非逻辑思维，在解题过程中，这两种思维相互作用，相互交融，促使学生解题能力的提高。在现实教学中，许多老师十分重视逻辑思维的训练，对其
2、他形式的思维重视不够，以至于浪费了很多促进学生思维能力提高的机会。逻辑思维是指按照逻辑的规律、方法和形式，有步骤地有根据地从已知的知识和条件，推出新结论的思维。它的主要特征是有目的、有方向、有依据、有顺序，在数学学习中，这是经常运用的，所以数学学习十分有利于发展学生的逻辑思维能力。直觉思维是未经过一步步分析、无清晰的步骤，而对问题突然间的领悟、理解或给出答案的思维，它是一种高度省略、简化与浓缩的方式洞察问题实质的思维，常表现出形式化和非逻辑性。数学直觉与数学灵感是其两种表现形式。本人在教学实践中发现各类不同的学生在两种思维的结合上是不同的。中等生在面对一个从未见过的有一定难度的问题时，先尝试转
3、化自己熟悉的解题模式，发现已有解题模式不起作用就放弃了。而优秀学生在遇到困难时，重新审视问题的条件及结构，运用直观图象或从个别入手，大胆进行猜想，然后用逻辑推理进行论证，求得问题的解决。案例 一道数列不等式的证明2002年全国高考试题的压轴题：已知，若，求证：（1）。（2）。我让从未做过这题的三名学生做这道题，要求他们怎样想，就怎样说，并记录一下他们的出声的思维过程。甲（中等生）：为了证明第（1）间，如果能求出通项就好了。由可得，唉，无规律；再变形为，也行不通（放弃）乙（中等生）由于与的递推关系明确，（1）问用数学归纳法证明较好（经过演算，成功获证）。再看第（2）问，还想用数学归纳法证明，时，
4、命题成立，再证第2步，假设时，+，两边同时加上时证不出来了，因为是不可能的（再思考了一会儿之后放弃）。丙（尖子生）：此数列的通项不易求出，第（1）问考虑用数学归纳法证明。（经过推理（1）问成功获证）第（2）问，再用数学归纳法，不行，显然因为不等式右边是一常数，用数学归纳法证不出来，那能否尝试求和，再证和小于。通项算不出来，规律不明显，求和相当困难，能否先放缩再求和呢？先一下这个数列前几项有何规律，再算下去这个数列后来的项太大了，这个数列逐项递增，而且变化十分剧烈。我明白了（顿悟）以前老师讲过“一尺之杆，日取一半，万世不竭”，即，这个数列变化迅速，（事实上这是直觉）。要证明这个猜想，怎么证呢？（
5、丙这时精神振奋，信心十足）如果能证明就好了，这不是可以用数学归纳法证明了吗？与（1）证法类似，可以证出，似乎有点繁琐，有其他方法吗？能否证明这个数列的每一项比前一项的一半还小，可以吗？即证由于即证这不是第（1）问的结论吗？（事后学生感觉到这道题很有味道，他还回味了一下，说用也可以证明，用也可证，主要原因是的项变化太快）。从尖子生思维过程可以看出，尖子生在思考时不是不走弯路，而是在走弯路时走得快一些，摒弃错误的速度快一些。当思维走不通时，能立即调整思路，特别是能从个别情况入手，进而形成猜想，这其实是直觉思维在起作用。一旦形成结论（这个结论是合乎情理）就想方设法进行逻辑上的证明，这时充分发挥逻辑思
6、维的作用。可以说，这道题的成功解决是学生逻辑思维与直觉思维相互结合的产物。如何培养直觉思维能力，怎样才能做到直觉思维与逻辑思维的结合呢？（1）打好基础，形成合理认知结构是产生直觉的源泉直觉不是靠“机遇”得来的，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。一位学者指出：“具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人更容易产生联想和独到的见解。”若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。作为教师应积极推进课程改革，鼓励学生参加各种课外活动，广泛阅读课外读物，形成合理的知识结构，为直觉思维创造条件。数学学科也一样，只有掌握好学科的基础知识和基本结构，举一反三、
7、触类旁通才能有助于学生的思维由单向型向多向型转变，有助于学生抽象思维与形象思维相结合、正向思维与逆向思维相结合、会聚思维与发散思维相结合，形成立体的网络思维，从而获得直觉的判断和联想。正像阿提雅说的：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验，对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”（2）在解题训练中加强学生的直觉思维直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象做出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间
8、的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。所以在解题训练中更应该让学生发挥他们的直觉思维。这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。所以教师应采取积极鼓励的策略让学生运用直觉思维方法来解题，明确的提出把直觉思维融于在解题训练中，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证
9、法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。要特别注意创造师生平等交流的民主、宽松的环境，切不可训斥、挖苦，打击学生的积极性，这样学生的思维才能无拘无束，尽情驰骋。（3）创设开放性问题培养直觉思维在数学教学中可适当设计一些开放性问题的练习，这也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。例如，已知数列满足，求证：对任意整数，均有如果这道题由教师讲，学生听的方式教学，学生是可以听懂，但是很难说学生在知识上有什么收获，能力上有什么提高。我想改变这个题目的讲授方式。先只出示条件，不出示结论，然后向学生作出启发性说明，看起来只是一个等式，由于n是正整数，这个式子可以变出无数个等式，这些无数个条件能否为我所用呢？下面要求每位同学从这个式子出发，能发现哪些结论，独立思考几分钟，然后请大家交流。下面是同学们发现的的一些结论。（1）（2）是递增数列，即（3）（4），（5）（6）（7）（8）即学生们推出的结论一个比一个精彩，这不正是代数变形能力的真实训练吗？然后出示问题，不到两分钟刚才的要证的结论，就被学生证出。在进行数学证明题的教学时，适当地进行一些发散性的思维训练，对培养学生的解题能力有十分重要的作用。
