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1、第十一章 复变函数,第一节、复平面第二节、复变函数第三节、解析函数,第一节、复平面,一、复数的概念二、复数的各种表示、模与辐角三、复平面上的点集与区域,一、复数的概念,定义；设 x,y为两个任意实数，称形如x+yi 的数为复数，记为 z=x+yi，其中 i 满足i2=-1，i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 的实部和虚部，记为x=Rez,y=Imz.各数集之间的关系可表示为,复数的代数运算,设复数,定义 z1 与 z2 的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：,复数四则运算规律：,（1）加法交换律:(2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律 复数运算的
2、其它结果：（1）（2）（3）若，则 Z1与 Z2至少有一个为零，反之亦然.,共轭复数的运算性质：,（1）（2）（3）（4）（5）（6）为实数,例1 化简,例2,二、复数的各种表示、模与辐角,1.复数的几何表示由复数z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y)惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为x，纵坐标为y的点 表示复数（如图），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 P 与数 看作同义词.,2.复数的向量表示复数 还可以用起点为原点，终点为P(x,y)的向量 来表示（如图），x 与 y 分别是实部和虚部分.,3.复数的模与辐角复
3、数的模 Z0对应的向量 的长（如图）,与实轴正方向所夹的角，称为复数 Z的辐角,记作argz，即=argz+2k,k为整数并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.4.复数的的三种表示式.复数的表示式 称为复数 的三角表示式.复数的表示式 称为复数 的指数表示式复数的表示式 称为复数 的代数表示式,三、复平面上的点集与区域,扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.邻域 平面上以 z0为心，0为半径的圆：内部所有点z0 的集合称为点z0的 邻域，记为 N(z0,).称集合(z0-,z0+)为 z0 的去心 邻域 记作
4、开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内点，则称 D 为开集.闭集如果点集D的余集为开集，则称 D为闭集.连通集 设是D开集，如果对D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属D则称开集是连通集.区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为.,第二节、复变函数,一、复变函数的概念,一、复变函数的概念：,定义1 设 D为给定的平面点集，若对于D 中每一个复数z=x+iy，按着某一确定的法则f，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 f是定义在D上的复变函数（复变数 是复变数Z的函数），简称复变函数，记作=f(z)其中 Z称为自变量,
5、称为因变量，点集 D 称为函数的定义域.例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.解 设,第三节、解析函数,一、复变函数的导数二、解析函数的定义三、柯西黎曼条件,一、复变函数的导数,1.导数的定义定义1 设函数f(z)在包含 z0 的某区域 D内有定义，当变量z 在点z0 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限（）存在，则称f(z)在点 z处可导，此极限值称为f(z)在点 z处的导数，记 或，即,二、解析函数的定义,定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导，而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f(z)在点z0 处解析，并称点z0 是函数的解析点；如果函数
6、f(z)在区域D内每一点都解析，则称 f(z)在区域 D内解析或称 为区域D 内的解析函数，区域 D 称为 的解析区域.如果 f(z)在点z0 处不解析，但在z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点,则称 z0 为f(z)的奇点.,例5 讨论函数 f(z)=z2的解析性.,解 由例2知，f(z)=z2 在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数 f(z)=z2在整个复平面上解析。,三、柯西黎曼条件,定理 设函数 在区域 D 内有定义，则 在 D内解析的充分必要条件为 在 D内任一点 处（1）可微；（2）满足 上式称为柯西黎曼条件（或方程），简称CR条件（或方程）.定理 函数
7、 在区域 D 内解析的充要条件为（1）在D内连续；（2）在 D 内满足CR条件，,第四节、初等解析函数,一、指数函数二、对数函数三、幂函数四、三角函数,一、指数函数,定义3 复变量的指数函数定义为 指数函数的一些重要性质：（1）指数函数 ez在整个Z的有限平面内都有定义，且处处不为零.（2）ez1+z2=ez1ez2（3）指数函数是以2i 为周期的周期函数（4）指数函数ez 在整个复平面上解析，且有(ez)=ez,二、对数函数,定义4 对数函数定义为指数函数的反函数.若，则称 是Z的对数函数，记作 对数函数是一个多值函数，每一个Z 对应着多个LnZ的值.若令k=0，则上式中的多值函数便成为了单
8、值函数，则称这个单值函数为多值函数LnZ 的主值.记作lnz 例1 求.解 因为-1的模为 1，其辐角的主值为，所以 而 又因为 iii的模为1，而其辐角的主值为，所以,复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：,（5）对数函数的解析性可以证明 Lnz在除去原点与负实轴的Z平面内解析，所以 Lnz的各个分支也在除去原点与负实轴的Z平面内解析。,三、幂函数,定义5 设 为任意复常数，定义一般幂函数为 它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因 对数函数是多值的).幂函数的几种特殊情形：（1）当 为整数时，是与K 无关的单值函数（0,n 为正整数）时，f(z)=zn为Z的 次乘方，（2）
9、当 为有理数 时（为既约分数，n0），,只有 n 个不同的值，即当 K 取 0,1,2,n-1时的对应值.,（3）当 为无理数或复数时，z 有无穷多个值.此时的 z 与根式函数 的区别 是无穷多值函数.而后者的值是有限的。,（1）当=n（n 为正整数）时，zn 在整个复平面内单值解析，且,（2）当=-n（n 为正整数）时，在除原点的复平面内解析，且,四、三角函数,定义7 设 Z 为任一复变量，称 与 分别为复变量Z的正弦函数与余弦函数，分别记为sinz 与cosz 正弦函数与余弦函数的性质：（1）sinz 与 cosz都是以 2为周期的周期函数（2）sinz为奇函数，cosz 为偶函数，即对任意的Z 有（3）,（4）和 都是无界的.,因为 可见，当 无限增大时，趋于无穷大，同理可知，也是无界的.,
