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1、八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐
2、标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小连AB，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为A B【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理在
3、直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+M
4、N+BN的最小值为AB+MN【问题7】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题8】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作直线AB，
5、与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB最大值AB【精品练习】作图题：【例1】已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。【例2】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是 （ ）【例3】已知A（1，1）、B（4，2）（1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为轴上一动点，求的
6、值最大时P点的坐标；（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；【例4】如图，已知两点P、Q在锐角AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PMMNNQ最短 【例5】如图，在河两岸有两个村子，要在两个村子之间架一座桥梁，请你利用已学知识画出使两个村子距离最短的桥梁建设位置，保留作图痕迹 【例6】如图，已知牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计最短的放牧路线。【例7】荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直
7、如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？【例8】如图，伊宁火车站附近现要建一个货物中转站，三条直线表示3条公路要求中转站到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 计算题：ADEPBC【例9】如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D【例10】如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 【例11】如图，三角形ABC中，OABAOB15，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)OC平分AOB，点
8、M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_【例12】如图，在等边ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是 .【例13】四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为 .【例14】如图，AOB30，点P是AOB内的一个定点，OP20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则CPD周长的最小值为【例15】如图所示，在边长为2 cm的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段E
9、F上一个动点，连接BP、GP，则PBG的周长的最小值是 【例16】如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求PQR周长的最小值。【例17】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 【例18】如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90，则有）自主提升1.如
10、图，直线是一条河，A、B两地相距10，A、B两地到的距离分别为8、14，欲在上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ） 2.如图，在所在网格图中完成下列各题：（1）画出格点ABC关于直线DE对称的A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小，求P的坐标；（3）在DE上画出一点Q，使QA+QC最小，求Q的坐标；（4）在DE上画出一点G,使QAB的周长最小，求G的坐标； 3.如图，点C为AOB内一点（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若AOB30，O
11、C10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数4. 如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建两座桥，且桥都是要与河岸垂直，桥造在何处才能使从A到B的距离最短？5.如图，木马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到营地B处，请画出最短路径。 6.如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 7.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 8.如图平行四边形ABCD中AB=AD=6，DAB=60度，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为
