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1、山东理工大学毕业设计（论文）一维光子晶体传输特性的理论研究学院：理学院专业：物理学学生姓名：张国辉指导教师：高金霞毕业设计（论文）时间：二。年3月21日6月18日共12周摘要本论文的主要内容如下：简单阐述了光子晶体的概念，主要特征、应用、发展状况、及制作方法。从麦克斯韦方程组出发，推导了光在光子晶体中传播的基本微分方程和一维光学传输矩阵理论。根据传输矩阵法，计算了一维光子晶体的带隙结构及传输特性。利用此种方法进行了模拟计算，得到如下结论：当光子晶体周期数达到一定数值时出现光子禁带。随着周期数的进一步增加，带隙宽度会有较为明显的增加，达到某一峰值增加幅度逐渐减小。而带隙中心波长位置基本不变。在相
2、同的周期数情况下，一维光子晶体高低折射率比大者其带隙宽度较大。无论对于TM波还是TE波，光子禁带都随入射角度的增大向短波长方向移动。但TE波入射，光子禁带宽度随入射角度的增加而增大。而TM波入射，光子禁带宽度随入射角度的增加而减小。还发现缺陷模的厚度对透射峰值具有明显的调节作用，透射峰值会随着厚度的增加而增大，当达到峰值后透射率便随厚度逐渐降低。并且随着缺陷层折射率的增加，缺陷模的中心波长位置也向低频方向移动，同时透射峰值逐渐增大。关键词：一维光子晶体；带隙宽度；传输矩阵法AbstractThesummaryofthedissertationisasfo1.1.ows:Wesetforthth
3、econception、primarycharacteristicapp1.icationsdeve1.opmentandthegenera1.manufacturemethodofphotoniccrysta1.inbrief.Wederivedthebasicdifferentia1.equationof1.ightspreadinginphotoniccrysta1.andthetheoryofone-dimensiona1.optica1.transfermatrixfromtheMaxwe1.1.sequation.Accordingtothetransfermatrixmethod
4、,weca1.cu1.atingtheone-dimensiona1.photoniccrysta1.bandstructureandtransmissioncharacteristics.Usingthismethodtosimu1.ateca1.cu1.ation,Getaconc1.usionthat:Therewi1.1.beaphotonicbandgap,whenthephotoniccrysta1.cyc1.enumberreachesacertainva1.ue.Withfurtherincreaseinthenumberofperiods,therewi1.1.bemoreo
5、bviousincreasesreachingtoapeak.Thentherateofincreasegradua1.1.ydecreased.Andthebandgapcenterwave1.engthpositionremainsunchanged.Withthesamecyc1.enumber,one-dimensiona1.photoniccrysta1.whosesca1.eofhigh-1.owindexis1.arger.Regard1.essoftheTMwaveorTEwave,photonicbandgapmovetotheshortwave1.engthdirectio
6、nwiththeincreasingincidentang1.e.WhentheTEwaveincidentphotoniccrysta1.s,photonicbandgapwi1.1.bewiderwithincidentang1.eincreasing.WhentheTMwaveincidentphotoniccrysta1.s,photonicforbiddenbandwi1.1.bewiderwiththeincidentang1.eincreasing.Foundthatthethicknessofthetransmissiondefectmodepeakhasac1.earregu
7、1.atoryro1.e,thetransmissionpeakwi1.1.increaseasthethicknessincreases.Thenthepeaktransmissionratewi1.1.immediate1.yreducewiththethicknessgradua1.1.yincreasing.Andwiththeincreaseoftherefractiveindexofdefect1.ayer,thecenterwave1.engthofdefectmodepositiona1.soshiftedto1.owerfrequency,whi1.ethepeaktrans
8、missionincreases.Keywords:one-dimensiona1.photoniccrysta1.;bandgapwidth;transfermatrixmethod目录摘要IABSTRACT（英文才商要）I1.目录I1.1.第一章绪论11.1 引言11.2 光子晶体概述11.2.1 光子晶体的概念11.2.2 光子晶体的主要特征21.3 光子晶体的制备方法41.3.1 物理方法41.3.2 化学方法61.4 光子晶体的应用61.5 本论文的主要工作9第二章光波在一维光子晶体中的传输特性102.1 光子晶体的电磁波理论基础102.2 一维光子晶体模型122.3 单层介质传输矩
9、阵的推导132.4 光子一维光子晶体中的传输矩阵162.5 本章小结17第三章一维光子晶体带隙变化规律的研究183.1 光子晶体参数183.2 一维光子晶体材料参数对光子晶体带隙的影响183.2.1 周期数对带隙宽度的影响183.2.2 高低折射率比对带隙宽度的影响203.2.3 入射角对带隙宽度的影响213.3 含缺陷膜的一维光子晶体223.3.1 单缺陷层折射率对带隙的影响233.3.2 缺陷层厚度对带隙的影响243.4 本章小结26结论28参考文献29致谢及声明31HI第一章绪论1.1 引言在过去的半个世纪中，人们通过对半导体的研究使得对电子的控制能力大大增强，随之产生了各种微电子器件以
10、及大规模的集成器件，推动了电子工业和现代信息产业的迅速发展，从此人们进入了今天的信息时代。但这也不可避免地引发了一系列问题，比如电路中能量损耗过大，导致集成片发热.此外由于高速处理对信号在器件中的延迟提出了更高的要求，半导体器件的能力已基本到达了极限，因此科学家们把目光从电子转向了光子。自从I960年制成第一台激光器以来,人们对光的特性以及光与物质的相互作用的理解日益深刻，尤其是1970年提出光子学概念后，光子学、光子技术得到了突破性进展。与电子相比，光子有着它自身的优势：光子是以光速运动的微观粒子，速度快；它的静止质量为零，彼此之间不存在相互作用，即在光线交会时也不存在干扰；它还有电子所不具
11、备的频率和偏振等特性。电子能带和能隙结构是电子作为一种波的形式在凝聚态物质中传播的结果，而光子和电子一样具有波动性，那么是否存在这样一种材科，能让光子作为某种形式的波在其中传播也产生光子能带和能隙呢?在人们的反复思考和不断试验中，上世纪80年代末，光子晶体便应运而生了。光子晶体作为一种新型的光学材料，有着巨大的潜在应用价值和不可限量的发展前景，有望在未来的光通讯、光子集成器件等领域占据首要地位。自从光子晶体概念的提出，引起全世界科学家的广泛关注和浓厚的研究兴趣。因此，在1999年12月17美国的科学杂志把光子晶体列为十大研究热点之一。1.2 .1光子晶体的概念早在1987年，Yab1.OnoV
12、itCh和JOhn分别独立提出光子晶体的概念，他们发现当光通过周期分布的介质结构时，会呈现出其特有的性质，某些特定频段模式的光将被禁止。最初的想法是利用介质周期结构的性质，能够类似于电子半导体对电子的作用那样达到控制光子的作用，并把这种周期结构称之为光子晶体1.,1.(photoniccrysta1.)0光子晶体的思想来源于一定的理论背景，人们想到晶体中的电子在周期势场中运动时满足如下的运动规律：V2+(-K(r)(rit)=0(M)其中，Pb)为周期势能函数，解此方程可得电子具有能带结构，夕的取值具有间断性，存在带隙，电子不会落在其中，所以称其为能量禁带，此方程决定了电子的运动规律。然而，人
13、们看到电磁波(光场)在介电常数成周期性变化的空间介质中的运动时，满足的麦克斯韦方程为：V2(4CG)-)伉O=O(1-2)设(H为空间介电常数，满足伍)=(r+E),为晶格常数，Jb)表示其中的介电常数的变化。比较两式，我们不难看出上面两式具有很大的相似性，那么对(1-2)式求解，是否也存在类似于(IT)式的解?事实上计算发现只有某些频率的特定模式的电场E有解，从而出现了“光子频率禁带”，在禁带内某些频率的光子被禁止，与电子的能量禁带相似，由此人们找到了“光子半导体”。正是由于光子晶体的思想是基于传统半导体而来的，所以光子晶体中的大部分主要概念都是类比电子半导体的概念而来的，我们知道，在半导体
14、材料中原子排布的晶格结构产生的周期性电势场影响着在其中运动的电子的性质，电子将形成能带结构；同样，将介电常数不同的介质材料在空间中周期性排列而形成的结构，将改变在其间传播的光的特性，由于介电常数存在空间上的周期性，在其中传播的光波的色散曲线也会形成带状能带结构，并称作光子能带。光子能带之间可能出现带隙，处于带隙频率内的特定模式的光子在某些方向上或者各个方向上是严格禁止的，对于此类光子在该结构中的模密度为零，该带隙称为光子带隙，即上面提到的光子禁带(PhotoniCbandgaP)简称PBGo此外，用于半导体中的其它概念，如倒格子、布里渊区、色散关系、B1.OCh函数、VanhOVe奇点等，在光
15、子晶体中也都具有相类似的物理意义，比如说，在光子晶体中，光子禁带同样出现在晶体的布里渊区附近，具有越接近于球形的布拉菲格子结构的光子晶体，将更趋向展现出宽带隙或完全禁带。1.2. 2光子晶体的主要特性光子晶体的两个主要性质是光子禁带和光子局域，它是光子晶体的应用基础，正是基于光子晶体的这些性质，光子晶体才展现出了诱人的应用前景。光子禁带是由于光入射到周期介质结构的光子晶体时，某些频段的光波被介质散射后相干相消，不能透过该介质而形成的，如图IT所示。如果光在各个方向上，该频率的各种模式的波都不能透过该结构，我们称该带隙为完全禁带。禁带特性的存在带来了许多新物理效应和新现象。长期以来人们认为自发辐
16、射是不可控制的，它将不可避免的与受激吸收和受激辐射共存。光子晶体的存在改变了这一思想。我们知道自发辐射的几率与光子所在频率的态密度成正比，如果原子辐射的光子的频率正处于光子晶体的禁带内，此时该光子态的态密度为零，所以自发辐射被抑制，如图1-2所示。在现代光电技术中，自发辐射的抑制有着重要的应用，在半导体激光器中，由于自发辐射的存在引起较大的附加电流的损失，成为激光器阈值的主要原因，利用光子晶体禁带的限制，可以把自发辐射控制在特定的模式内或者完全禁止所有可能的辐射模式，从而制成低阈值激光器。利用光子晶体对自发辐射的作用，可以极大的提高二极管的发光效率，实验表明：采用光子晶体二极管之后，其发光效率
17、从10%提高到90%以上旬。此外，光子晶体制作高效反射镜、宽带带阻滤波器、光子晶体谐振腔等都是利用了光子晶体的禁带特性。态密度K工 I”J图1-1光子禁带示意图禁带频率缺陷态软率(a)频率(b)频率图12光子晶体对原子自发辐射的影响(a)抑制自发辐射示意图(b)加强自发辐射示意图光子晶体的另一个特征是光子局域。1987年John提出在一种经过精心设计的不同介电材料组成的超晶格中，光子呈现出很强的AnderSOn局域。当光子晶体理想无缺陷时，根据其边界条件的周期性要求，不存在光的衰减模式。如果光子晶体的周期性被破坏，在缺陷位置将会出现很强的特性相反，我们可以用来加强原子的自发辐射，当原子辐射的频
18、率正好处于局局域态或缺陷模，该光子态的模密度比其附近频率光子态的模密度大的多【叫与禁带域态频率，由于该处模密度非常大，可以很好的加强自发辐射，如图1-2所示。在1991年，试验上首次在二维光子晶体中观察到了这种现象。光子晶体的光子局域特性使得光子晶体在多通窄带滤波、波分复用、光子晶体光纤等领域有着诱人的应用前景。1.3光子晶体的制备方法在实验中，光子晶体的制作，已经从最初的精密机械加工发展到现在的灌胶一凝胶、激光全息等多种方法，其尺寸也逐渐从微波波段发展到了可见光波段。其基本出发点主要是人为构造的周期性结构，所用材料有金刚石、Si、SiO2.GaAsA1.GaAS等，另外还有一些半导体材料。在
19、制作工艺上也大多采用在晶体上打孔或人为排布电介质的方法。最近又有很多入提出很多新材料和新方法来制作光子晶体，这都使其实用性和可操作性有了很大提高。目前，制备光子晶体的方法主要有以下几种，可以分为物理方法和化学方法两大类。1.3.1物理方法1.精密机械加工法精密机械加工法以半导体工业成熟的技术为基础，是制备光子晶体最为稳定可靠的方法。微波波段的光子晶体由于其晶格常数在厘米至毫米数量级，用机械加工的方法可以比较容易地制作。精密机械加工法适于制备二维光子晶体，也可以用于制备三维光子晶体，并可用于制作一些光学元件，比如滤波器、光波导、探测器等。Yab1.OnitCh于1991年在实验室中采用精密机械加
20、工法人工制造了第一块当时认为具有完全带隙的光子晶体，如图1-2所示这种光子晶体的制作过程如下：在一片介电材料上镀上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一空洞处向下钻三个孔，钻孔相互之间呈120度角，与介电片的垂线呈35.26度角。这样的结构具有金刚石结构的对称性，光子带隙从IOGHZ到13GHz,位于微波区域。但后来研究表明，这种结构不存在完全光子禁带，于是，Yab1.onVitCh改进了实验方法，将圆柱改为椭圆获得了真正的完全带隙，这说明通过适当地改变晶格或原子的对称性，就有可能获得完全带隙。这种结构的光子晶体工作频率多落在微波波段。目前还没有制造工作于短波长，尤其是工作于可见光波段的钻石结构光子晶
21、体的实用方法。图12Yabk)nvitch制作的三维光子晶体逐层叠加法，是在1994年OZaby等人首先提出的。An1.eS实验室的研究人员用这种方法制成了一种层状结构的光子晶体，其组成元是一维介电棒，如图1-3所示。它是由介质棒以四层为周期（总长为C）堆积而成，每一层的介质棒是轴平行的，间距为a,相邻层的轴向彼此垂直，而第二近邻层的棒在沿垂直轴向方向上平移0.5a,这样的结构具有面心四方对称性。通过适当的改变a、C的尺寸，可以获得需要的晶格。特别当c/a=收时，就是金刚石结构。其实，相邻两层的夹角可以在60度到90度之间变化，在此范围内都有全方位光子带隙，这种结构实验上第一次由氧化铝棒堆积而
22、成。光子带隙在微波波段12-14GHz0图1-3层状结构示意图及OZaby等人制作的三维光子晶体3.激光全息光刻法最近出现的激光全息光刻技术非常适合于制造具有亚微米尺度上周期性重复的三维结构，此技术是采用印刷制版中平板刻蚀技术，利用激光的多束光干涉产生三维全息图案，让感光树脂在全息图案中曝光，从而形成三维结构。通过调节激光束的光束数、传播方向和偏振，可以改变三维图形的结构和尺寸，产生各种不同的对称结构。激光全息法不仅能够制备出具有微周期的聚合物结构，而且用它们作为模板，还可以制造出具有高折射率比值的完全带隙结构。因此，激光全息法是一种很有潜力的微加工技术，近几年来引起了科技工作者极大的兴趣。1
23、 .3.2化学方法2 .自组装有序方法在构造光子晶体方面，还有一种工艺上很简单的技术，是利用单分散的胶体颗粒悬浮液的自组装特性制备胶体晶体。将一定尺度的单分散颗粒如30OnmSio2小球分散在水溶液中，然后，静置使S,颗粒在重力作用下缓慢沉降以达到有序三维结构。目前采用的主要有自然沉降法、强制有序化法、场诱导有序化法、电泳法和离心沉积法等。3 .OPA1.方法天然蛋白石(OPaI)的显微结构为几百纳米的SG，小球在三维空间周期有序排列，经研究发现具有准带隙结构。受此启发，人们获得制造人工OPaI类光子晶体的方法，即将一定尺寸的纳米级小球三维有序排列，以期产生光子带隙结构。相对于OPa1.光子晶
24、体而言，将小球转化为空气，而原来的空气变成某种介质，恰好与OPa1.相反，故称反蛋白石(InVerSeOPa1)。以77%为例，先在以仿堆积的间隙中填充方4,然后将sq烧结移去，留下三维有序多孔结构。这种Inverseopa1.光子晶体具有明显带隙结构，它又克服了Opa1.类光子晶体相对折射率低的缺点。1.4光子晶体的应用自从光子晶体地诞生，科学工作者们把更多地目光放在了光子晶体在光纤通讯、光子集成器件等光学领域地应用。现在，在实验室里己经进行了大量地可行性应用设计，这里概括如下几个主要方面：(1)制作高性能反射镜、偏振片、超棱镜等光路器件。利用光子晶体禁带对落在禁带频率内的光子具有较高的反射
25、效率，可以制成高性能反射镜。与传统的反射镜相比，利用光子晶体制成的反射镜可以做到反射率高，可以近似达到100,并且能量吸收低，反射光子的频段及频宽可以灵活设计，方便应用。高性能反射镜在现实中具有重要的应用价值，光子晶体的实际应用开发，也是从这里开始的。以光子晶体做基底制成的微波天线迈出了光子晶体实际应用的第一步。光子晶体对不同模式(TE或TM)的波，禁带的分布不同，对于同一频率不同模式的入射波，即可能反射也可能入射，利用这种差异，可以制作光子晶体偏振片。传统的偏振片工作频段窄，对入射角度要求较高，极大的限制了偏振片的灵活使用，光子晶体制作的偏振片正好弥补了这些不足，给偏振片的应用带来了光明的前
26、景。近年来，利用二维光子晶体设计偏振片得到了许多好的结果。当入射光通过光子晶体时，出射方向会发生一定的偏离，对于不同入射频率的光，偏离角度不同。由此可制作光子晶体超棱镜，它的分辨率可比一般的棱镜高出上千倍，体积反而是传统的百分之一。如对波长为1.O微米和0.9微米的两束光，传统的棱镜几乎不能将它们分开，但采用光子晶体超棱镜可以将它们分开到60度，这对光通信中的信息处理有重要意义。（2）制作优质滤波器。利用光子晶体的光子频率禁带特性和光子局域特性可以实现对光子的极优良的滤波性能。利用光子晶体的宽禁带特性可以制作宽带带阻滤波器，滤波带宽可以做得比较大，由S.GUPta等人所提出的金属-介质复合型光
27、子品体可以将从低频（频率接近OHz）直到红外波段的电磁波完全滤掉。另外研究发现，当光子晶体中的某些单元被取消而造成缺陷时，就会使得光子晶体的光子频率禁带出现一些可穿透窗口,即光子频率禁带内的某些频率模式的光会亳无损失地穿过光子品体，称该频率模式为光子晶体缺陷模。利用光子晶体缺陷模的这一特性，可以制作高品质的极窄带选频滤波器。（3）制作高效发光二极管、低阈值激光器等。在光子晶体内引入点缺陷，可以产生谐振微腔，可以抑制和增强光子晶体的自发辐射，利用这种特性，可以增强某一频率模式的光辐射，而抑制周围附近频率模式的光，由此可以制得单色性和方向性都很好得高效发光二极管。同样，在激光器中引入光子晶体可以实
28、现低阈值振荡，当光子晶体的禁带频率和激光工作物质的自发辐射频率一致,激光器中的自发辐射被抑制，这样以来,因自发辐射引起的损耗会大大降低，从而使激光振荡的阈值变得很低。（4）制作光子晶体光纤（PCF）和光子晶体光纤激光器。在传统的光纤中，光在中心的氧化硅核传播。通常，为了提高其折射系数采取掺杂的办法以增加传输效率，但不同的掺杂物只能对一种频率的光有效。但光子晶体光纤的出现弥补了这个缺陷。并且极大的降低了光纤拐弯时的能量损失。简单地说，在光子晶体内部引入线缺陷，可以制作光子晶体光纤，根据具体制作原理的不同又可简单地分为空气包层光纤、改进的全内反射光子晶体光纤、光子晶体禁带传播的光子晶体光纤。英国B
29、ath大学的研究人员用二维光子晶体成功研制成新型光纤：由几百个传统的氧化硅棒和氧化硅毛细管依次绑在一起组成六角阵列，然后在2000C下烧结而形成。直径约40微米、蜂窝结构的亚微米空气孔就形成了。为了导光，在光纤中人为引入额外空气孔，这种额外的空气孔就是导光通道。如图4所示。与传统的光纤完全不同，在这里传播光是在空气孔中而非氧化硅中，可导波的范围很大。光子晶体光纤具有非常大的应用潜力，由于相当的光功率在空气中传输，意味着可以用作气体传感,这会降低传输损耗。拥有大模场面积的光纤可以传输非常大的光功率，而不用激发不必要的非线性效应；短波长的反常色散使短波长也可产生孤子，同时利用这一点。超宽连续谱也已
30、经实现,光纤并且具有非常大的色散补偿潜力，适用于超宽带的波分复用(WDM)系统叫图1-4光子晶体光纤示意图另外，在光子晶体构成中含有非线性材料或者具有非线性缺陷材料时能够引起一定的非线性效应，现在研究发现了该材料中同样可以得到二波混频和光学双稳等非线性效应，由此可以制得光子晶体光限幅、光开关等微光学器件。光子晶体还可以制作军事上应用的光子晶体天线、光子延迟线、制造假目标、实现隐身等。光子晶体的应用正在逐步被开发，并将一步步走向实用化，我们相信光子晶体地应用将给当前的电子信息时代带来前所未有的冲击，将带来光信息革命的新时代【口1.5本论文的主要工作光子晶体作为一个二十年前开创的研究领域，其研究内
31、容丰富多彩，涉及光学以及各种光学器件和系统。光子晶体的研究不仅对光学的理解和应用的发展有重要的价值和推动意义，同时也加深了人们对光的理解和对自然界的认识。本论文对一维光子晶体的带隙特性做了较详细的理论分析，并进行了一些实验测试。主要内容如下：1 .详细介绍了传输矩阵法推导过程中所需要的理论知识，建立了一维光子晶体的模型，从电磁波在介质中传播的基本理论出发，推导了单层介质和多层介质的传输矩阵。2 .用传输矩阵法计算一维光子晶体的带隙特性，研究一维光子晶体材料周期数、高低折射率、角度变化及缺陷模对光子晶体带隙的影响。第二章光波在一维光子晶体中的传输特性光子晶体的理论计算已相对成熟，但如何利用较为简
32、单易行的方法去估算制造参数和选取介质仍然是一个很重要的环节。相对而言，传输矩阵法是研究多层薄模理论的现代方法，该方法首先由Pendry和Mackinnon引入的，运用电磁波理论和矩阵光学的方法研究稳态情况下的光子晶体的光学透射率，反射率和色散关系等，通过Maxwe1.1.方程组化成传输矩阵的形式，变成本征值问题来求解的。这种方法的前提是假设构成空间中在同一格点层上有相同的态和相同的频率，这样可以利用Maxwe1.1.方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。而传输矩阵是表示一层格点的场强与相邻的一层格点的场强的关系，这种方法特点是传输矩阵小，矩阵元较少，能够比较精确的处理一些简单的典型的光子晶体
33、结构,如一维光子晶体。对于一维光子晶体，可以看作是多层膜的叠加问题，因此我们可以用传输矩阵法对介质膜层中的光波进行计算分析。本章主要介绍在研究中所依据的基础理论知识和采用的传输矩阵计算方法。2.1 光子晶体的电磁波理论基础电磁波在介质中的传播:描写电磁场的麦克斯韦方程组:DE疝NxE=_t(2-1)X月=皿+/_atD=p月=O其中，E为电场强度，)为电位移矢量，后为磁场强度，月为磁感应强度，P为电荷密度，/为电流密度。由于介质受磁场作用的极化响应，满足如下方程:(2-2)D=EB=H式中和为介质的介电常数和磁导率常数，对于均匀的各向同性的线性介质，和可以写为：一二。3(2-3)A=式中，和0
34、为真空介电常数和磁导率常数，J和4为介质的相对介电常数和磁导率常数。由于在介质中没有空间电荷和电流，因此：P=0、J=O,将(2-2)(2-3)式代入(2-1)可得:v7-BV=(2-4)t方=Or75ERXB=MOOj77Ot对(2-4)式中第二式两边取旋度得:X ( X 5)=( 5)一 V2j-V Bt(2-5)将(2-1)式中的第一式和第四式代入(2-5)中，可以得到后和月满足的波动方程：1a2(V2-)E=0(2-6)c；t2(V2-)S=0(2-7)c；t2式中，G为介质中电磁波的波速：11cc/c八c1.=“=(2-8)W呢却ONInC为光速，为介质的折射率，方程(2-6)(2-
35、7)的解为：E=EOe旅(2-9)B=瓦(2-10)其中E为波矢，它的方向沿波的传播方向，垂直于平面波的等相位面；=?A)cEO是沿波传播方向的单位矢量，4为波长，3是圆频率。介质中传播的电磁波具有以下特征：1、介质中的电磁波是横波并且以速度G传播；2、线性介质中的电磁波是平面偏振波。线性介质中电磁波的能量密度为：W=-U2=-2)2线性介质中电磁波的能流密度为：S=Eff=F歹万=cik2.2 一维光子晶体模型考虑由两种不同材料组成的一维光子晶体，介质排列顺序为(4)、。均匀厚度的介质层的表面平行于Xy平面,而电磁波是从平面Xy进入并沿Z轴方向传播,相应的厚度分别为a、b,空间周期为d=a+
36、bo一束频率为。的光从左向右正入射到图2-1所示的一维周期性材料中。模型假设一维光子晶体结构在垂直方向上是有限的，在另外两个方向上是无限的。将光波在介质中的进行看作是正向进行的电磁波和反向进行电磁波的叠加，介质交界面处得电磁波满足边界条件，每一个介质层与光波的相互作用都有其特征矩阵完全决定。光可以分解为两个振动方向相互垂直的两个独立分量。振动方向垂直于入射面的为TE波，振动方向平行于入射面的为TM波，下面将讨论两种波的传输矩阵。2.3 单层介质传输矩阵的推导传输矩阵法师研究电磁波在分层介质系统中传输的经典方法。在传输矩阵法中是将单层介质作为分层介质系统的“基本单元”U叫推导出单层介质对应的特征
37、矩阵，整个分层介质系统的传输矩阵则有各单层介质传输矩阵的乘积得到。但是单层介质并不是分层介质系统的“基本单元”，单层介质是由两个相邻的界面及中间的介质组成。因此界面和一段介质才是分层介质系统的“基本单元”。由于传数矩阵法将单层介质作为分层介质系统的基本单元，因此对于小于基本单元的单个界面或是一段介质上电磁波的传输问题传输矩阵就无法解决。传输矩阵法就是把界面两边的场利用边界条件相互联系起来的矩阵，用一个二维矩阵代表一个单层介质。首先考虑单层介质的传输矩阵，设单层介质的传输矩阵为例，可推出：其中，石、d分别为界面I上方的场矢量，E小”2分别为界面II下方的场矢量。我们考虑一束平面光波从一种介质入射
38、到另一层介质时，入射光场和出射光场是如何联系起来的。以图2-1为例，光从介质a向介质b入射，经由介质b进入介质c。这里以TE波为例（电场方向垂直于入射面），考虑斜入射的普遍情况。我们仅考虑各向同性的介质的情况【。在分界面I和II处，入射光场和透射光场都在图中详细的标出。介质a分界面I介质b分界面介质C图2-2光在不同介质面上的反、透射光场在分界面I处，根据两侧的电场厅和磁场/7在切方向上是连续的，可以得到：E=“+Er1.=EC+E,r2Z911XSkZ-117Hi=Hncos-HrIcos=cosa-H,r2cosa在界面I处，设z=0,可把透射电场写成如下形式：Et1.=ErOpix+(z
39、)ko=M1.oexp(-jcxx)(2-12)在界面I处的透射电场传播到界面I【处成为入射电场，可得两者的关系：%=EnGexp-i(kxx+kxz|Z=A=Ei1qexp-i(kxx+4(2-13)当光经过厚度为的介质b时，在*轴方向的传播距离X和介质厚度满足关系：X=htana(2-14)把(2-14)式代入(2-13)式可得：Ei2=Eaexp-i(kxtana-kz)h(2-15)同样我们可以得到Er2和E1r2的关系：E,r2=Er2exp-i(kxtana+Az)/?(2-16)在分界面H上，根据切分量的连续性可得到:E?= /2 + E r?H2 = Hi2 cos a + H
40、r2(2-17)cosa利用H = IE，我们把(2-15)、(2-16)代入(2-11)(2-17)得:HI=EE?Et+ Er2 exPBG tan a + kx)/?Etp-血tan )/? + Er2cosaE1. - Er2 exp- ikx tan a + Az)(2-18)H2= cos aEa exp- i(kx tan a + Az)/? - Er2化简(2-18)最终可得:E1.= E2 cos- h(kx tan a + Az) - H./isin- h(kx tan a + k(2-19)H= -E21J% cos a sin-力(kX tan a + Zrz) H2c
41、os- h(kx tan + Az)令= h(kx tan +2)、 =cosa,(2-19)式可以写成如下矩阵形式:cosisin p 匕e(2-20)、一isincos)上面方程中作用矩阵即为该介质层的传输特征矩阵，与介质有关的系数，皆为该介质层的系数。即：(2-21)coscosa 0、一isincos)一就可得到如(2-21)CoSa其中：=-h(kxtana+kz)同理对于TM,我们令。=-力(KYtana+k)、=式所示的单层介质的传输矩阵。所以传输矩阵为:cos(2-22)、一i sin cos )其中。=-h(ktan a + kz),对于 TE 波=cosa ,对于TM波2.
42、4 光在一维光子晶体中的传输矩阵考虑由两层不同介质周期组成的一维光子晶体，可逐层应用(2-20)式的单介质层传输方程。对于第N层介质，其左界面的场矢量为E,、Hn,右界面的场矢量为埒则有“习：(2-23)式中，Mv是第N层介质的传输特征矩阵，同样对于第N1层，应用(2-23)式可得:式中，P=q%cos夕。表示该结构左侧接触的外界环境系数，0为该结构右侧接触的外界环境的系数。则反射率和透射率为：由上两式可得:EN-IHN-I=VV-I“H(2-24)(2-25)依此类推，可得光通过所有层之后的传输方程:r+ 1.H N八(2-26)由上式可进一步写出整个结构的反射系数和透射系数：r= n +-
43、 ( P1)(Z711 + /W12P1 )p0 + (/W21 + m22p1)(2-27)2.0Qn1.l+ 加21夕1)夕0 + (加 21 + /2201)(2-28)R=zj2(2-29)T=(2-30)同理，对于TM波，我们只要做一个简单的代换就可以的到其反射率和透射率。2.5 本章小结本章介绍了电磁波在一维光子晶体中传输所用到的知识，利用场的边界条件和麦克斯韦方程组推导了单层介质和多层介质的传输矩阵。计算了周期性多层介质的反射率和透过率。为一维光子晶体的带隙规律研究，做准备工作。第三章一维光子晶体带隙变化规律的研究3.1 光子晶体参数光子晶体周期数，一维光子晶体是由折射率分别为多
44、和内，厚度分别为4和乙的两种材料交替组成的多层一维周期性结构，这些介质层循环的次数即为光子晶体的周期数。周期d=4+4，周期数用表示。光程，即光在媒质中通过的路程和该媒质折射率的乘积。例如，在折射率为n的介质中，光行进距离d,光程即为乘积由n的物理意义可知，光在该介质中行经距离d所需的时间，与光在真空中行经4距离所需的时间相等。这是因为，媒质的折射率等于真空中的光速和媒质中的光速之比，所以光程也就是在相同的时间内光在真空中通过的路程。光子晶体中光程的比值定义为高低折射率所对应的光程的比值，描述了光通过高低折射率所需的不同时间【网。光子晶体的禁带宽度：入射光通过一维光子晶体后某些波段的光被完全禁
45、止，即光子晶体中光不能存在的波长范围，这称为禁带。处于这个波长范围中的光不能通过光子晶体。描述了光子晶体对光的限制程度。这里定义以透过率低于O.K的波长范围计算光子晶体的禁带宽度“久中心波长【网，即光子晶体带隙中间点所对应的波长，能够反映带隙的相对位置。光子晶体制作前各层膜的厚度设计需要根据中心波长来计算,计算公式为:入射角，即入射光与垂直于光子晶体层界面的法线间的夹角。入射角对光子晶体带隙的宽度和位置都有较为显著的影响。3.2一维光子晶体材料参数对光子晶体带隙的影响以下我们分别讨论一维光子晶体中周期数、高低折射率比、入射角等对光子晶体带隙的影响。3.2.1 周期数对带隙宽度的影响一维光子晶体
46、是几种不同折射率的材料周期排列形成的多层膜结构。下面讨论周期数变化对带隙的影响。计算中我们选取的基本参数为：介质a为二氧化错，=2.052。介质b为二氧化硅，%=1.46。基底为K9玻璃，折射率为1.52,厚度为2000nm计算时我们仅考虑光波垂直入射的情况，为了验证试验，选取光学厚度相同的基本周期结构，即两个膜层的光学厚度均为%,其中选取中心波长4=532?，计算周期数N=8、10、12、16、20、24、48时光子晶体的带隙宽度，计算结果统计见表3-1.O表3-1带隙宽度随周期数变化周期数N8101216202448带隙宽度(nm)008192108116118计算光子晶体带隙宽度时，以透过率小于0.1%作为带隙的判断依据。从图3-1和表3-1对比可以看出，根据带隙的判断依据，当周期数N小于12时,带隙透射率未达到最小值0.现，并未形成严格意义上的带隙，因此带隙是不存在的。当周期N=12时，透射率最小值达到了0.1%以下，且带隙的边缘非常陡直，形成了真正严格意义上的带隙。当周期数从12增加到16时，带隙宽度增加13.5%,增加幅度较大；当周期数超过16时，禁带宽度随周期数增加的变化非常小，图3-1中(C)和(d)的对比就可以看出，周期数从16到20同样增加了4个，但带隙宽度仅增加了1.72%,变化不明显。经过对比图3-1中(a
