《第3章系统的能控性和能观测性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章系统的能控性和能观测性.ppt（152页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。,第3章 线性控制系统的能控性与能观测性,3.1 能控性和能观测性的定义,所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部
2、状态变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。,能控性：是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。能观测性：是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始状态x(t0)以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻的状态x(t)就唯一地确定下来。,对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)的
3、控制，有些状态分量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能控状态，不能受u(t)控制的状态称不能控状态。,同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观测状态，不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能观测状态。,设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题
4、，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。,二.对能控性和能观测性的直观讨论,系统,黑箱,状态,每一个状态变量 运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的初始状态达到系统原点状态能控。状态 的任意形式的运动均可由输出完全反映状态能观测。,例1 系统状态空间描述为：,例2 系统的原理电路图,|,|,|,三 能控性定义：考虑线性时变系统的状态方程：,从上述定义看出：（1）状态转移的轨迹没加以限制和规定；（2）输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求所有分量均是在J 上平方可积的。（3）上述定义是对J中的一个取定时刻 来定义的，对时变系 统，能控性与 有关，而对定常系统，能控与否
5、与 无关。,（4）由非零初始状态转移到零状态，为状态能控。如若由零初始状态 转移到非零状态，则为状态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。（5）系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变动，可使其成为可控的。,四 能观测性定义,五 能控性与能观测性基本性质1 能控性基本性质：1）对于时变系统而言，能控性与 的选择有关，对于定常系统而言，能控性与 的选择无关。2）能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响。3）系统在 区间上完全能控时，则其非零能控初始状态 必为：,4）若系统在
6、区间上完全能控，对于，则系统在 区间上也完全能控（传递性）。,5）扰动作用f(t)不改变系统的能控性。,6）对于系统（1），如果 在 区间上是能控的，则 在 区间上也必须是能控的。这里 为任意非零实数。证明如下：,2 能观测性基本性质 1）对于能观测性而言，能观性与 的选择有关。对于定常系统而言，能观性与 的选择无关。2）能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异变换的影响。3）系统在 区间上完全能观时，则其能观状态 必为:,4）若系统在 区间上完全能观，对于，则系统在 区间上也完全能观。5）控制作用u(t)和扰动作用f(t)均不能改变系统的能观性。,一 线性系统的能控性判据 线性定常系统状态方
7、程,1 格拉姆矩阵判据 线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵。,3.2线性连续时间系统的能控性判据,状态的能控性线性定常系统的状态方程式中：,定义：如果对系统施加一个无约束的控制信号u(t)，在有限的时间间隔tott1内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，那么，称此系统的状态在t=to时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。,不失一般性，设终止状态为状态空间原点即x(tf)=0，并设初始时刻为零，即 to=0，系统状态方程的解为：,利用Cayley-Hamilton定理，可将 表示为A的有限项的形式，即,令,它是输入信
8、号的函数，则,显然，当给定x(o)后，只有在n(nm)矩阵 满秩时，才能从上式解出，进而求得相应的输入信号u(t)。,得：使线性定常系统状态完全能控的充分必要条件为：矩阵Sc是满秩的，表示成,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵,能控性矩阵。,在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻t0=0,初始状态为x(0)，而任意终止状态指定为零状态，即x(tf)=0。反之，若假设x(t0)=0，而x(tf)为任意终止状态时，若存在一个无约束控制信号u(t)，在有限时间区间t0，tf内，能将x(t)由零状态转移到任意终止状态x(tf)，则称系统状态为能达性。在线性定常系统中，能控性和能
9、达性是可逆的，即能控一定能达，能达也一定能控。而在线性时变系统中，严格的说，能控不一定能达，反之亦然。,判据2 秩判据 线性定常系统（3）为完全控的充分必要条件是,判据3 PBH秩判据 线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值,考虑由下式确定的系统：,即Sc为奇异，所以该系统是状态不能控的。,系统为并联型结构，而 是一个与 无关的孤立部分，即它对应的模态 是不能控的，而 是受 影响，即它对应的模态 是能控的，,该系统能控,系统为并联型结构，虽然 与 无直接关系，但它与 有联系的，却是受控于 的，系统状态完全能控。,2.线性定常系统的输出能控性,定义 若存在一分段连续的
10、输入信号u(t)，在有限的时间t0,tf内，能把任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf),则称系统是输出完全能控的。也就是，在t0,tf时间内，任意y(t0)y(tf)=0,能求出控制u(t).,系统输出完全能控的充分必要条件是，下列矩阵的秩为输出的维数m。,证明：根据系统状态方程的解和输出方程,显然，当给定x(o)后，只有在m(nr+r)矩阵 满秩时，才能从上式解出，进而求得相应的输入信号u(t)。,例 系统为试分析系统的状态能控性和输出能控性,系统的输出能控和状态能控之间是不等价的。,系统状态不能控系统输出能控,设,线性变换不改变系统的能控性,其中：,令则：,线性变换
11、不改变系统的能控性,3.1.2 状态能控性标准型判据（判据二)定理2：设系统 具有两两相异的特征值 则系统完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式,中，不包含元素全为0的行。,例：考察如下系统的能控性：,系统状态能控,系统状态能控,系统状态不完全能控,定理3：设系统 具有重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异变换 后的约当规范形,1）若A为每个特征值都只有一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个约当块的最后一行相应 的所有元素不完全为零。,2）若A为某个特征值有多于一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的
12、所有约当块的 的分块的最后一行相应 的所有元素线性无关。,系统状态能控,系统状态能控,系统状态不完全能控,3.2 线性连续系统的能观测性,定义 如果系统在t0时刻的每一个初始状态x(to)都可通过在有限时间间隔tott1内，y(t)的观测值确定，则称系统为状态完全能观测的。,在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零输入的系统。不失一般性，设to=0。,这是因为，若采用如下状态空间表达式的解,由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充分必要条件，只考虑所描述的零输入系统就可以了。,考虑由下所
13、描述的线性定常系统。,判据1 格拉姆矩阵判据,判据2 秩判据 线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要条件是,输出向量为,将 写为A的有限项的形式，即,如果系统是能观测的，那么在0tt1时间间隔内，由给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nmn维能观测性矩阵,的秩为n。,由上述分析，我们可将能观测的充分必要条件表述为：由式所描述的线性定常系统，当且仅当nnm维能观测性矩阵,的秩为n，即,时，该系统才是能观测的。,试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。解 由于能控性矩阵,故该系统是状态能控的。,，,对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于,，,故该
14、系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于,故此系统是能观测的。,判据3 PBH秩判据 线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值 均成立。,3.2.4 状态能观测性条件的标准型判据,考虑所描述的线性定常系统,定理1 若系统矩阵A为对角型，则系统完全能观测的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零,推论：设系统具有两两相异的特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式,不包含元素全为0的列。,定理2 若系统矩阵A为约当型，则系统完全能观测的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没
15、有一列的元素全为零,推论：若系统具有重特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换后的Jordan规范形式为：,1）若A为每个特征值都只有一个约当块的约当阵时，则系统能观测的充分必要条件为：对应A的每个约当块的 相应的分块的第一列元素不完全为零。,2）若A为某个特征值有多于一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的 的分块的第一列相应 的所有元素线性无关。,下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：,3.2.5 对偶原理
16、,。,以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：,对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态能控和能观测的充要条件。对于系统S1：1.状态能控的充要条件是nnr维能控性矩阵,的秩为n。,2.状态能观测的充要条件是nnm维能观测性矩阵,的秩为n。,的秩为n。2.状态能观测的充要条件是nnr维能观测性矩阵,的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检验和判断。简单地说，对偶性有如下关系：,对于系统S2:1.状态能控的充要条件是
17、nnm维能控性矩阵,另外，对偶系统的传递函数阵互为转置。对偶系统的特征方程是相同,3.4 线性离散定常系统的能控性和能观测性,一、线性离散定常系统的能控性 1、能控性定义：如果对任意初态X(0)=X0，可找到一个容许控制序列u(0)、u(1)、.u(k-1)，k=n，经过有限个采样周期使系统在第k步到达零状态，即X(k)=0，则称此状态是完全能控的。,控制序列,有解的充分必要条件,系数矩阵,增广矩阵,2、能控性判据：离散定常系统 状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,对方程有解的充分条件是：且能控阵满秩。对于单输入n阶线性系统，若在第n步不能由任意非零状态转移到零，则在n+1步后都无法转
18、移到零。对于多输入离散系统，的取值可以小于n。综合考虑,X(0)为非零初始状态，上式成立，必然有,例：系统的状态方程为 试判定系统的状态能控性。解：故系统状态完全能控。,若系统的初始状态为，确定使x(3)=0的控制序列。,1）判断系统的能控性；,使系统由任意初态x(0)转移到终态x(1)=0？,2）系统是否可由任意初态x(0)转移到终态x(3)=0？,3）能否存在,例：已知离散系统的差分方程为,rank Sc=3 因此该系统状态完全能控所以系统一定可使任意初态经三拍 x(0)x(3)=0,但不能由任意的初始状态一步转移到原点。,若，则可以求出u(0),使x(1)=0若，则不存在u(0),使x(
19、1)=0,二、线性离散定常系统的能观测性1、定义：如果根据有限个采样周期内测量的y(k)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称x0为能观测状态。2、判据：线性离散定常系统，状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵,3.5 能控规范型和能观测规范型（标准型）,系统状态变量选择的非唯一性，导致系统状态空间表达式也是非唯一的。常常根据研究问题的不同，将状态空间表达式化成几种标准型（规范型）,n维线性定常系统如果系统状态完全能控，必有,能控判据矩阵中，有且仅有n维列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量构成状态空间的一组基底，所谓能控规范型，就是指能控对（A,B)在上述基底下所具有的标准形
20、式。,同样：如果系统状态完全能观测，必有,有且仅有n个线性无关列向量，从而也是可导出一组n维线性无关的基底，能观测对（A，C）在这组基底下的表现，称为能观测规范型。,3.4.1 单输入单输出系统的能控规范形1)能控规范形,若单输入线性定常系统的状态状态空间表达式为,则称系统为能控标准型，且系统一定是状态完全能控的。,2）线性变换若系统状态完全能控，即能控矩阵满秩，则一定存在一个非奇异变换，可将系统变换为能控标准型,其中 为系统特征多项式的系数。,变换矩阵为:,证明：令,例：设线性定常系统用下式描述,试将状态方程化为能控规范型,解：能控判别阵,3.4.2 单输入单输出系统的能观测规范形（标准型）
21、1)能观测规范形,设系统的状态方程为,若系统状态完全能观测性，即其能观测判别阵满秩,则存在非奇异变换可将系统化为能观测规范型,而 为任意的 矩阵,变换矩阵,例：设系统的状态方程为 试将其变换为能观测规范型解：能观测判别阵,3.7 线性定常系统结构分解,x,-能控又能观测-能控不能观测-不能控能观测-不能控不能观测,1.系统的能控性分解 对于一个n维的不完全能控的线性系统 其中，系统不完全能控.则存在一个非奇异线性变换阵，将系统 变为能控子系统和不能控子系统两部分。,2、非奇异变换阵 的构造,1）在系统能控阵Sc 中选取任意r个线性无关列向量；,2）保证变换阵 非奇异性，任意选取n-r个列向量。
22、,状态线性变换,变换阵非唯一,则,-能控状态子向量,-不能控状态子向量,r,n-r,r,则有:能控子系统:不能控子系统:,y,u,例1：进行能控性分解解：所以不完全能控,选取通过则,能控子系统：不能控子系统：,1.系统的能观测性分解 对于一个n维的不完全能观测的线性系统 其中，系统不完全能观测.则存在一个非奇异线性变换阵，将系统 变为能观测子系统和不能观测子系统两部分。,2、非奇异变换阵 的构造,1）在系统能控阵So 中选取任意 个线性无关行向量；,2）保证变换阵 非奇异性，任意选取 个行向量。,状态线性变换,变换阵非唯一,-能观测子状态,-不能观测子状态,-1,则能观测子系统：不能观测子系统
23、：,u,例：进行能观性分解解：,系统状态不完全能观测,选取经过,能观测子系统：不能观测子系统：,3.系统的标准分解：假设系统：不完全能控也不完全能观测1）2）,能控性分解,能控子系统能观测性分解,3）不能控子系统，能观测性分解,能控能观:能控不能观:不能控能观 不能控 不能观,u,y,系统按能控性和能观测性分解后，传递函数阵,0,0,B2,B2,例3:进行能控能观性分解.解:,系统不能控不能观.,(A,b,c)能控性分解(,),取则：,能控子系统：,不能控子系统：,显然,能控系统能观性分解：取,标准分解:,直接从系统既能控又能观测部分得传递函数为,排列变换法（1）首先将待分解的系统化成标准型，
24、即A为对角阵或约当阵，得到新系统的状态空间表达式。（2）按能控性和能观测性的法则判断系统各个状态变量的能控性和能观测性，并将系统的状态变量分为能控又能观测；能控不能观测；不能控能观测；不能控又不能观测 的状态。（3）按照 的顺序重新排列状态变量的关系，可得到相应的子系统。,例：已知系统的状态空间表达式：求系统能控和能观测子系统。,解：系统为约当标准型，应用约当型时的能控和能观测判据。,（1）按能控性判据对系统状态进行分解。,（2）按能观测性判据对系统状态进行分解。,系统能控又能观测的子系统为：,3.8 系统传递函数G(s)与系统能控性 和能观性的关系,对于单输入单输出系统,系统的传递函数：,定
25、理:单变量系统状态完全能控能观测的充分必要条件是G(s)中没有零极点对消。（1）若传递函数中没有零点和极点对消现象，则系统一定是既能控又能观测的（充分性）；（2）若传递函数中有零点和极点对消，则系统视状态变量的选择不同，系统将是不能控的，或不能观测的，或既不能控又不能观测的。,设A的特征值互不相同:,则系统可化为:,当当,不能控,不能观测,系统能控能观测,验证能控性:设 不能控，则 一定存在零极点对消.,验证能观性:设 不能观，则 一定存在零极点对消.,例:解:能控型:,不完全能观测,能观测型:,不完全能控,不能控不能观测,不能控能观测,能控不能观测,定理1：对于多变量系统系统，若在传递函数阵
26、中，与 之间没有零极点对消，则系统是既能控又能观测的仅为充分条件。注意：它仅仅是充分条件而不是必要条件,具体：若系统状态不完全能控或不完全能观测，则对应的传递函数阵中一定存在零极点对消；反之，若系统状态完全能控和能观测，则不一定传递函数阵中无零极点对消。,系统是状态能控和能观测的,3.9系统的最小实现,所谓实现，就是根据给定的传递函数阵求其相应的状态空间表达式，求得状态空间表达式就称传递函数阵的一个实现。反应系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反应系统中既能控又能观测子系统的动态特性，对于一个传递函数阵，将有任意维数的状态空间表达式与之对应。工程上，考虑实现时应该是维数最少的一种实现，这就是最小实现。,G(s)的一个最小实现：,定理：(s)的任意一个实现(，)中，既能控又能观测且严格的真有理分式*(s)的实现（A*，B*，C*)为系统的最小实现说明：G(s)只能反映系统中能控又能观测的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的G(s)，或如果有不能控或不能观的状态分量存在将使系统成为不是最小实现,确定G(s)最小实现的步骤：给定G(s)，选一种实现(A，B，C)能控型(或能观型)检查其实现的能观性(或能控性)，若为能控又能观，则(A，B，C)是最小实现，否则进行下一步对上述标准型(A，B，C)进行结构分解，找出其完全能控又能观的子系统G(s)的一个最小实现,
