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1、二次函数图象中平行四边形的存在性问题的一点体会襄阳四中初中部 黄晓波以二次函数为载体的平行四边形“存在性”问题是近几年中考压轴题的热点， 其条件变化多端，图形复杂，不确定因素较多，对学生的综合应用能力要求较高，有一定的难度。 其实解决此类问题也有规律可言。一、已知三个定点，再找一个点构成平行四边形（平面内有三个点满足），不论三边是否平行于坐标轴，最好用坐标平移的方法来找出第三个点的坐标，再将坐标带入指定的函数解析式验证，找出符合条件的点。例1 （2009烟台）如图4，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点（，），对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与
2、轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？ 图1 图2 解：（1）抛物线的函数表达式为（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、 C、 N 下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标 如图2，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，则AC N ，则N可由AC平移得到， AN 是将横坐标减2，纵坐标不变得到的，则也可将C按同样的平移方法得到第四个顶点坐标为；同理，以AC为对角线，第四个顶点坐标为；以AN为对角线，第四个顶点坐标为将其分别代入抛物线中检验，其中只有在抛物线上点评：本题已知三个定点坐标，可以根据坐标平移的
3、性质推出第四个顶点的坐标应注意的是，第四个点应考虑三种情况。此题当然还可利用平行及A点坐标求出直线的解析式，进而求出该直线与抛物线的交点，最后验证是否可以和已知点构成平行四边形。显然这种方法复杂，费时费力。二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形。这需要分类进行讨论：（1）确定两定点连接的线段可能为平行四边形的一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等，用好勾股定理-两点间距离；这类问题大部分所给的已知线段要么在坐标轴上，要么与坐标轴平行。此时可利用公式来求两动点间的距离。若A、B两点都在x轴上或线段ABx轴，则AB=；若A、B两点都在y轴上或线段ABy轴，则AB=（2）两定点连接的线段没
4、确定为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，则另两个动点的中点必与已知线段的中点重合。可由对称性用好中点公式：若A,B的中点为C，则由对称性可知C的坐标为（3）坐标平移法的灵活运用，可堪称为平行四边形的万能方法。例2、（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0)，B(0,-4),C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的
5、点Q的坐标答案：解：（1）可求抛物线的解析式为y=x+x-4（2）略（3）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，则可设Q（x，-x），P（x，x+x-4）PQ=|-x-（x+x-4）|由PQ=OB，得|-x-（x+x-4）|=4，解得x=0（不合题意，舍去），-4，-2-2，-2+2由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）当OB为对角线时，那么P、Q的横坐标互为相反数（若P的横坐标为x，则Q的横坐标为-x），设P（x，x+x-4），Q（-x，x）.由P、O的纵坐标差的绝对值等于Q、B纵坐标差的绝对值，得x+x-4=-4-x或x+x-4=4+x解得x=0（不合题
6、意，舍去）或-4或4由此可得Q（-4，4）或（4，-4）故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4）（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）点评：这道题有两个定点O和B,第一种情况：当OB为边时，PQOB，可利用距离公式解决问题；第二种情况：当OB为对角线时，应用了对称性，实际上也可以用中点公式：设P（x，x+x-4），Q（-x，x），则PQ中点必为OB中点（0，-2）,则由中点的纵坐标相等得,解得x=0（不合题意，舍去）或-4或4由此可得Q（-4，4）或（4，-4）该题还可利用坐标平移法解决:已知两定点O(0,0),B(0,-4),可设Q（x，-x）, 若OBPQ,可看作
7、将OB平移至PQ,则此时四边形OBQP为平行四边形B(0,-4)Q（x，-x）,是将横坐标+x,纵坐标+4-x,则O(0,0) P可由同样的平移得到P（x,4-x）P在y=x+x-4上4-x=x+x-4，解得x=2-2或-2+2可得（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）若OBQP,可看作将OB平移至QP,则此时四边形OBPQ为平行四边形O(0,0) Q（x，-x），可得B(0,-4) P（x,-4-x）P在y=x+x-4上-4-x=x+x-4，解得x=0（舍）或-4可得（-4，4）若OB为对角线，则BQPOQ（x，-x）O(0,0)，同理可得B(0,-4) P（-x,-4+x）P在y=x+
8、x-4上-4+x=x-x-4，解得x=0（舍）或4可得（4，-4）故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4）（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）利用坐标平移法看上去麻烦，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨，可操作性更强。 三、在解题中认真分析所给条件，合理选用以上方法。坐标平移法虽为万能方法，但并不是每一道题都用此法简单。例3（2011湖南衡阳）已知抛物线.（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x3时，抛物线的顶点为点C直线yx1与抛物线交于点A、B，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P，使
9、得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N通过怎样的平移，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形显示答案解：（1）略（2）可求抛物线的解析式为，顶点C坐标为（3，2），A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），D的坐标为（3，2）则E的坐标为（3，0），略()设直线CD向右平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n，直线CD与直线y=x1交于点M（3+n，2+n），又D的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D通过向下平移4个单位得到C.C、D、M、N为
10、顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形（i）当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为（3+n，n-2）又N在抛物线上，解得n1=0（不合题意，舍去），n2=2，（ii）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为（3+n，n+6）又N在抛物线上，解得n1=（不合题意，舍去），n2=，（）设直线CD向左平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3-n，直线CD与直线y=x1交于点M（3-n，2-n），又D的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D通过向下平移4个单位
11、得到C.C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.（i）当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为（3-n，-2-n），又N在抛物线上，解得n1=0（不合题意，舍去），n2=-2（不合题意，舍去），（ii）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为（3-n，6-n），又N在抛物线上，解得n1=，n2=（不合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形点评：该题标准答案用的是坐标平移法，但此题实际只涉及两定点线段与未知线段平
12、行且相等的问题，用两点距离解决更为简单：M在直线yx1上，N在抛物线上可设M（x,x-1）,N(x,)则MN=| （x-1）-（）|由MNDC，得| （x-1）-（）|=4，若（x-1）-（）=4，得x=3（舍）或5若（x-1）-（）=-4，得x=4直线CD为x=3,平移后的直线为x=5或4可将直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形以上三种思路，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想而只要是与函数有关的问题，最终都归结为数形结合的思想。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。这启发我们在日常的教学活动中，积极研究新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能培养学生探索的能力和创新的意识
