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1、第十四章 LDPC码,陆以勤2008年6月,提纲,一、历史和特点1.1 历史1.2 特点二、定义和代数结构三、Tanner图四、构造五、译码六、随机LDPC码,1.1 历史,1964年Gallager发表Low-Density Check-Parity Code,证明了LDPC码性能接近于香农限，并提出了构建H矩阵的一种方法，以及两种解码方法和示意性的硬件电路原理图，但是由于当时科技水平有限，硬件条件的限制，LDPC码并没有得到重视和推广。1981年，Tanner从图的观点提供了对LDPC的阐释，被忽略。1993年，C.Berrou发明了Turbo码及相关的迭代算法，引起关注。1996年D.M
2、ac Kay 和R.Neal根据人工智能体系使自己的迭代算法和Pearl置信算法建立的联系，并证明了LDPC码性能和成本都优于Turbo码。,1.2 特点,性能优于Turbo码，具有较大的灵活性和较低的差错平底特性（error floors）；不需要深度交织以获得好的误码性能；描述简单，对严格理论分析具有可验证性；译码不基于网格，复杂度低于turbo码，且可实现完全的并行操作，硬件复杂底低，因而适合硬件实现；吞吐量大，极具高速译码潜力。因此，结合LDPC无线局域网必将取得更好的性能；欧洲卫星广播系统DVBS52采用；认为是第四代移动通信的信道编码。,提纲,一、历史和特点二、定义和代数结构2.1
3、 定义2.2 代数结构三、Tanner图四、构造五、译码六、随机LDPC码,2.1 定义,定义1：(,)规则（regular)LDPC码定义为具有如下特性的校验矩阵HJXN的零空间：每一行含有个1；每一列含有 个1；任两列之间位置相同的1的个数0，1 N，J(低密度）(注意，HJXN的各行并不要求独立）密度r=/n=/J,2.1 定义,定义：(,)规则（regular)LDPC码定义为具有如下特性的校验矩阵HJXN的零空间:每一行含有个1；每一列含有 个1；任两列之间位置相同的1的个数0，1;N，J(低密度）,(15,7,5)LDPC码,2.2 代数结构,Al=h1,h6,h11可用大数逻辑译
4、码对第1位进行校验,h1,h6,h11,2.2 代数结构,Al=h1,h7,h12可用大数逻辑译码对第2位进行校验,h1,h7,h12,由此可见，每一个位都有3个校验和对其进行纠错，所以可以纠一个错。一般来说，因为每一列都有 个1，相应的行向量可作为校验和，又因为其他列1的个数最多为1，所以可以构成大数逻辑译码，能纠/2个错。,提纲,一、历史和特点二、定义和代数结构三、Tanner图（二分图）3.1 Tanner图3.2 环的影响四、构造五、译码六、随机LDPC码,3.1 Tanner图（二分图）,矩阵的图形表示（循环码),V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7,不包含长度为4的环,(码元)
5、比特节点,符号节点（code-bit vertices,symbol nodes)变量点(variable nodes),校验节点（check nodes),3.2 环的影响,含有长为4的环,含有长为6的环,不能校验（x0 x00 xx)和（x1x11xx),S2=+v2+v4 S3=+v2+v5 S4=+v4+v5,提纲,一、历史和特点二、定义和代数结构三、Tanner图（二分图）四、构造4.1 Gallager 构造一类码4.2 通过行分裂和列分裂的码构造方法 4.3 有限几何LDPC五、译码六、随机LDPC码,4.1 Gallager 构造一类码,H1(J1J1),H2H1 的列置换,H
6、3H1 的列置换,(J1=5,=4,=3)构成（20，7，6）码,4.1 Gallager 构造一类码,Gallager构造一类LDPC码的方法，但Gallager并没有提供H1 的列置换的方法，需要计算机搜索。,H1 的列置换,H1 的列置换,4.2 通过行分裂和列分裂的码构造方法,设H的列分别记为g0,g1,gi,gn-1。将每一列分裂成q列,原始列的1循环分配到新的列。这样可降低密度例如，gi分裂为gi,1,gi,2,gi,q,的第1个1分配给gi,1,第2个1分配给gi,2,第q个1分配给gi,q,第q+1个1分配给gi,1,第q+2个1分配给gi,2,.,通过列(行)分裂操作可以拆散
7、长度为4的环,4.3 有限几何LDPC,欧几里德几何码在组合数学领域，GF(ps)上pms个m维向量a=(a0,a1,am)构成m维线性空间（或矢量空间）(定义2.6)称为m维欧氏几何(Eudidean-Geometry)，记为EG(m,ps)。每个m维向量 a=(a0,a1,am)称为点(point)，0向量称为原点(origin)。设a，a0为EG(m,ps)两个线性独立的点，其中a0（不是原点)，则ps个点组成的集合a+a0:GF(ps)称为EG(m,ps)的一条直线(line)或一维平面（1-flat)，记为 a+a0。对于每个 GF(ps)，对应于直线a+a0的一个点a+a0。EG(
8、m,ps)除a0外共有pms-1个向量，而每条通过a0的直线共有ps个向量，除a0外共有ps-1个，由于两条直线不能有两个交点，因此EG(m,ps)除a0外的pms-1个向量分配到所有相交于a0的直线上，即EG(m,ps)中相交于a0的直线数为：(pms-1)/(ps-1)EG(m,ps)共有p(m-1)s(pms-1)/(ps-1)条直线。,4.3 有限几何LDPC,点,线,HEG=,校验矩阵的行对应欧几里德集合的线，列对用于欧几里德集合的点矩阵的元素对应欧几里德集合的点线的关联向量值(行向量是关联向量）HEG共p(m-1)s(pms-1)/(ps-1)行，n=pms列。由于每条直线只有ps
9、个点，因此行重=ps每一列的总量为(pms-1)/(ps-1)密度r=/n=ps/pms=p-(m-1)s=/p(m-1)s(pms-1)/(ps-1)=p-(m-1)s dmin+1=(pms-1)/(ps-1)+1,HEG=,1(点在线上）0(其它）,提纲,一、历史和特点二、定义和代数结构三、Tanner图（二分图）四、构造五、译码5.1 大数逻辑译码5.2 比特翻转译码5.3 加权大数逻辑或加权比特翻转译码5.4 后验概率译码5.5 基于置信度传播的迭代译码(和积算法）六、随机LDPC码,5.1 大数逻辑译码,Al=h1,h7,h12可用大数逻辑译码对第2位进行校验,h1,h7,h12,
10、由此可见，每一个位都有3个校验和对其进行纠错，所以可以纠一个错。对于每个比特位置l,H的行向量存在一个行的子集 Al=h1(l),h2(l),h(l)在该比特位置正交，即Al每一行的第个分量都为1，而其他位置的分量最多只在某一行出现 一般来说，因为每一列都有 个1，相应的行向量可作为校验和，又因为其他列1的个数最多为1，所以可以构成一步大数逻辑可译码，能纠/2个错。由于每一列都可找到相应校验和式，不需要循环。,5.2 比特翻转译码算法,1.伴随式,+,c,r=c+e,e,HcT=0THrT=H(c+e)T=HcT+HeT=HeT定义s rHT 称为接收字r 的伴随式（校正子）,h1,n-1 h
11、1,n-2 h1,0h2,n-1 h2,n-2 h2,0.hn-k,n-1hn-k,n-2 hn-k,0,H=,=(hn-1,hn-2,h1,h0),设e=(en-1,en-2,e1,e0)=(0,ei1,ei2,eit,0),s=eHT=0,ei1,ei2,eit,0,hn-1Thn-2T.h1Th0T,=ei1 hi1T+ei2 hi2T+eit hi tT,发生错误的位所对应的列向量的线性组合,五、线性分组码的译码2,例：7，3码，H=,101|1000111|0100110|0010011|0001,s=r HT=(r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0),101|1000111|0
12、100110|0010011|0001,T,r6+r4+r3r6+r5+r4+r2r6+r5+r1r5+r4+r0,=,T,=（s3 s2 s1 s0),五、线性分组码的译码3,c=(1010011)e=(0100000)r=(1110011),s=r HT=e HT=(0100000),101|1000111|0100110|0010011|0001,T,=,0111,T,c=(1010011)e=(1001000)r=(0011011),s=r HT=e HT=(1001000),101|1000111|0100110|0010011|0001,T,=,1110,T,+,T,1000,=,
13、(0110),5.2 比特翻转译码算法,假设v2,v3有错，则s7,s8,s12,s13都不为0，而其它的sj都为0(因此f2=f3=2,见后，fj=0,j取115的其它值),h1,h7,h12,h8,h13,5.2 比特翻转译码算法,比特翻转译码算法计算所有奇偶校验和，如果所有的奇偶校验和都和0，则停止译码；对于接收序列的每个比特位i，计算包括它的错误奇偶校验方程的个数，记为fi,i=0,1,n-1 对于上例，f2=f3=2,fj=0,j=1,415选取fi大于某个参数 的的比特位，组成集合S;将S的比特位翻转；重复14步，直至所有的奇偶校验和等于0或者达到最大迭代次数。设计参数 称为门限（
14、threshold),与，dmin,和信噪比有关。,5.3 加权大数逻辑或加权比特翻转译码,接收端匹配滤波器输出的软判决接收序列y=(y0,y0,yn-1)。对于加性高斯白噪声(AWGN)信道，接收符号yl的幅度|yl|是其可靠性的一种简单量度：幅度越大，硬判决数字zl的可靠度就越高。定义|yj|(l)min min|yi|:0 i n-1,hj,i=1 将在比特位置l正交的校验和式调整为加权检验和式：根据El修改一步大数逻辑译码：,l,H,1,1,1,Al,s1(l),s(l),sj(l),Sl=s1(l),s2(l),sj(l),s(l),5.4 和积算法（sum-product algo
15、rithm,SPA),是一种基于置信度传播的迭代译码（iterative decoding algorithm based on belief propagation,IDPB)一种逐符号、软输入软输出（SISO)的译码算法。对于每个符号的可靠度的量度可以采用其边缘后验概率、对数似然比或者对应接受符号值。每次译码迭代得到的码符号的可靠度量度的计算结果作为下一次迭代的输入。译码迭代持续进行，直到满足某个特定的停止条件。然后，基于码符号的可靠度量度的计算结果做出硬判决。,比特节点vl在被激活后把qj,lx,(i)（见后）作为其置信度传递给与它相连的校验节点。校验节点 sj在被激活后，把j,lx,(
16、i)（见后）作为其置信度传递给与它相连的比特节点。,令hj=(hj,0,hj,1,hj,n-1),B(hj)=l:hj,l=1,0 l n-1称为hj的支撑集对于软判决接收序列 y，码比特的对数似然比：L(vl)=log P(vl=1|y)/P(vl=0|y)对于 0 l n-1，0 j J 和每个hjAl,令qj,lx,(i)为第i次迭代中给定基于Alhj中校验和的条件下，发送码比特vl取值为x的条件概率。(在除sj外参与的其它校验点提供的信息上，vl的状态为x的置信度。),H,1,1,1,Al,h1,h,hj,1 1,1,B(hj),l,1,41,(i-1),4,41,(i-1),q3,4
17、1,(i),1,41,(i-1),4,41,(i-1),q3,41,(i),令,即给定vl=x(0或1）和B(hj)中其他码比特的可分离的分布qj,lx,(i):tB(hj)l的条件下，校验和sj正确（即sj=0)的条件概率。(比特节点vl状态为x和与校验点sj中相连的其它比特节点状态已知的条件下，校验和为0的概率)。,（1）,3,61,(i),q3,30,(i),q3,40,(i),q3,31,(i),q3,41,(i),qj,lx,(i):在除sj外参与的其它校验点提供的信息上，vl的状态为x的置信度。j,l0,(i):比特节点vl状态为x和与校验点sj中相连的其它比特节点状态已知的条件下
18、，校验和为0的概率。取其它校验点/比特节点：不采用已经输入的信息，避免信息返流，保持信息的独立性，增强迭代效果。,得到的j,lx,(i)用来更新qj,lx,(i1)。,1,41,(i-1),4,41,(i-1),3,41,(i-1),得到的j,lx,(i)用来更新qj,lx,(i1)。,算法：,初始化 设定i=0和迭代的最大次数Imax。对于满足hj,l=1、0 j J、0 l n-1的每对(j,l),令qj,l0,(0)pl0,qj,l1,(0)pl1。第1步 对于0 l n-1，0 j J 和每个hjAl,计算概率j,l0,(i)和j,l1,(i)。第2步 对于0 l n-1，0 j J
19、和每个hjAl,计算概率qj,l0,(i+1)、qj,l1,(i+1)、P(i+1)(vl=0|y)和P(i+1)(vl=1|y)的值。构成向量z(i+1)并测试z(i+1)HT。如果z(i+1)HT0或者i Imax,则转第3步；否则，令i=i+1，转第1步。第3步 输出z(i+1)作为译码的结果码字，停止译码。,提纲,一、历史和特点二、定义和代数结构三、Tanner图（二分图）四、构造五、译码六、随机LDPC码,六、随机LDPC码,通过计算机以伪随机方式搜索，搜索要遵循定义1。构造第i步时，向前一步构造的Hi-1添加1列hi,必须满足如下限制：(1)随机选取没有被Hi-1使用过或拒绝过的(n-k)维向量作为hi；(2)检查是否满足定义1的（3），不满足另选向量；(3)检查行重是否超过,如果是，另选向量；在实际中可能会适当放宽条件,定义1：(,)规则（regular)LDPC码定义为具有如下特性的校验矩阵HJXN的零空间：每一行含有个1；（2）每一列含有 个1；（3）任两列之间位置相同的1的个数0，1（4）N，J(低密度）,参考书,
