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1、学案1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,考 向 预 测,两个计数原理的考查，大多年份是通过考查排列组合问题体现的.但随着对数学思想、数学方法的侧重考查，近些年也出现了直接运用这两个原理的题目.考查的题目类型大多为选择题或填空题，考查的难度与教材要求相近，一般为中等偏下题.,返回目录,1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成
2、这件事共有N=种不同的方法.,m+n,m n,返回目录,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?,【分析】该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来计算,完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类.,考点1 分类加法计数原理,返回目录,【解析】方法一:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有:8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).方法二:按个位数字是2,3,
3、4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类加法计数原理共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).,返回目录,分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法,每一类的各种方法都是相互独立的,每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事.解决这类问题应从简单入手分类讨论,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度考虑问题.,返回目录,从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?,【解析】当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19
4、,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,20,9种取法.当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类加法计数原理可得共有1+2+3+10+9+8+1=100种取法.,返回目录,已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?,【分析】完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标,应
5、用分步乘法计数原理.,考点2 分步乘法计数原理,返回目录,【解析】(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点数是66=36.(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是32=6.(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由(1)得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.,返回目录,利用分步乘法计数原理解决问题:要按
6、事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.,返回目录,某体育彩票规定:从01到36共36个号中抽出7个号为注,每注2元.某人想先选定吉利号18,然后从01至17中选3个连续的号,从19至29中选2个连续的号,从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱?,返回目录,【解析】先分三步选号,再计算总钱数.按号段选号,分成三步.第一步从01至17中选3个连续号,有15种选法;第二步从19至29中选2个连续号,有10种选法;第三步从30至36中选1个号,有7种选法.由分步乘法计数原理可知,满足要
7、求的号共有15107=1 050(注),故至少要花1 0502=2 100(元).,返回目录,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.,【分析】可分两大步进行,先将四棱锥一侧面的三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理即可得出结论.,考点3 计数原理的综合应用,返回目录,【解析】如图所示,由题设,四棱锥SABCD的顶点S,A,B所染颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法.当S,A,B已染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3;若C染颜色4,则D可染颜色3或5,有2种染法;若C染颜色5,则D可染颜色3
8、或4,也有2种染法;若C染颜色2,则D可染颜色3或4或5,有3种染法.可见,当S,A,B已染好时,C与D还有7种染法.根据乘法原理,可以有607=420种染法.,返回目录,运用两个原理解答时是先分类后分步,还是先分步后分类应视具体问题而定,另外为了问题的简化和表达的方便,数学中经常将具有实际意义的事物符号化、数字化.,返回目录,用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.(1)若n=6,为着色时共有多少种不同的方法?(2)若为着色时共有120种不同的方法,求n.,返回目录,(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C
9、着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6544=480(种).(2)与(1)的区别在于与D相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3).n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又120480,可分别将n=4,5代入得n=5时上式成立.,返回目录,1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别在于分类和分步.分类用分类计数原理，分类计数原理可利用物理中的“并联”电路来理解；分步用分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的“串联”电路来理解.2.分类与分步的依据在于能否“一次性”完成，若能“一次性”完成，则不需分步只需分类;否则，则需要分步处理.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
