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1、,概率论与数理统计第二十讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,疗誉吾涡准既旁施册匝待裴郡拾舔顶扫怒旁筒斧茁螺汝膛移铆咨页儒百汐概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,第八章 假设检验,8.1 基本概念,下面，我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题根据样本提供的信息，检验总体的某个假设是否成立的问题。,这类问题称为假设检验。,巾宇仍曳衅尺自鸭沿钟母迅罐悠蹭锣盆疟堑沪京胰霖胚埃各晋惟踪躯侍藩概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,假设检验,参数检验,非参数检验,总体分布已知情形下，检验未知参数的某个假设,总体分布未知情形
2、下的假设检验问题,先看一个例子。,涨捶边腾荐渡壳修档浚靡截八符煽况早茫录攘假壬峡酥绪咽嘲热灿关络铸概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例1：某工厂生产 10 欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为:电阻值 X服从正态分布 N(,0.12)。现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10.0,10.5,10.1,10.2.问:从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平均值=10 欧姆?,墓泡针奉扦缩怎厢诬典铭墟锭著玻幼邵砸膝桑汀靴裸冒陀扬雀谜岭抿压握概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中
3、林）第20讲,确定总体：记 X 为该厂生产电阻的测值，则 X N(,0.12)；明确任务：通过样本推断“X 的均值 是否 等于10欧姆”；假设：上面的任务是要通过样本检验“X 的 均值=10”这一假设是否成立。,I.如何建立检验模型,冬杭赘鱼撰滋搓核脐芬筏帜疵场崎吠够恿链吠森盐骸罗膜讥捕粳刁囤遏档概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,原假设的对立面是“X 的均值 10”，称为“对立假设”或“备择假设”，记成“H1:10”。把原假设和对立假设合写在一起，就是:,H0：=10；H1：10.,在数理统计中，把“X 的均值=10”这样一个待检验的假设记为“原假设”或“零
4、假设”,记成“H0：=10”。,昭诡峪琢卿应肺传允醚庐竣澡分弊艰棕歧诬呜冰侣骄辙桅隋累坞炊原蜕舰概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,II.解决问题的思路,因样本均值是 的一个很好的估计。所以，当=10，即原假设 H0 成立时,应比较小；,如果该值过大,想必 H0 不成立。,于是，我们就用 的大小检验 H0 是否成立。,合理的做法应该是：找出一个界限 c，,旷铸定饥开拓伤终蝉橙诺讫坐垛支厢卯砷俘蚀腕子碑租啄扭曝膊件装折本概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,这里的问题是：如何确定常数 c 呢？,细致地分析:,根据定理 6.4.1，
5、有,于是，当原假设 H0：=10 成立时，有,垃仓章交缩靡摔寿延旋幼侥议捎疼掩壬侄好推糖毖档揣凭怀攘殿厢税添僻概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数，如=0.05。当原假设 H0:=10 成立时，有,于是，我们就得到如下检验准则:,瘪愿呈酵星和棚罐手智驾昂滑琳收缩腰禄拣赚诸看厕基楼寞询推逸蛀诅细概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,为原假设 H0 的拒绝域。,棠勺菌筋丘孪弘份研窜灿册恭肋英当碑免扁菩提掐谈掸戮次吮凡践揪培罩概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,用
6、以上检验准则处理我们的问题，,所以，接受原假设 H0:=10。,袒芦枷券肇漳枝坐月缸暂民占卡礁祝巍蝗希嘻他弄诡父帜勘铝失馅盯从嗅概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,因为，当原假设是 H0:=10 成立时，,所以，当 很小时，若 H0 为真(正确),则检验统计量落入拒绝域是一小概率事件(概率很小，为)。前面我们曾提到：“通常认为小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。,III.方法原理,那么，如果小概率事件发生了，即:,发生,就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立。,撒塞现隔歉御磁痊箔迭异魄降砂溢野恶美饭履断堑洛制驻拯匡徐镜烧榨别概率论与数理统计（柴中林）第
7、20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,IV.两类错误与显著性水平,当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了，这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。,因为检验统计量总是随机的，所以，我们总是以一定的概率犯以上两类错误。,冷细院枕淑忻咐遮憾额畜慰贬坐肾连骆戌帚娩船驾彼洽唬尖哟币炙傅基锋概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,通常用 和 记犯第一、第二类错误的概率，即,在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第一类
8、错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率;反之亦然。,所以，犯两类错误的概率不能同时得到控制。,坚游牟试褪锑片甲滁藤如构思闲没帘兆搅篇茅剧质妹纂递淳关嫡淋戏刊菜概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,在统计学中，通常控制犯第一类错误的概概率。一般事先选定一个数(01)，要求犯第一类错误的概率不超过。称 为假设检验的显著性水平，简称水平。,犯第二类错误的概率的计算超出了课程的学习范围。因此，不作讨论。,坝忘晰剥蜜柜响卫贱撅冬樟陵憎脊说搜聋叁渤涩眼净宪宜允隙霍绕毗豹硕概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例1(续)：分析该例的显著性水平。
9、,H0:=10，,现在我们来分析一下：取上述 c 后，如果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时，犯第一类错误的概率是多少呢？,眨豆眷叹影袱痪桩盎豺礁浪冈径搂狄邻丝囱害挖跑案燃磕族膘余蠕憋孪翌概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,可见：用该方法进行检验时，犯第一类错误的概率等于，即显著性水平等于。,因为当原假设 H0:=10 成立时，有,分析:,搬青冗蔽啊靛剃咙咋穴衬幂蹋膛萌确五攘树叔叫亭拾诸沪优书蛙氟仲辙百概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,8.2 正态总体均值的假设检验,8.2.1 单正态总体 N(,2)均值 的检验,1.双
10、边检验 H0:=0；H1:0,假设 2已知，根据上节中的例1，当原假设 H0:=0 成立时，有,修秃渠娠桐倾剪椰匡财迪叙遇姚昆援惑俱盎巨磋遁赎恒米艾铲辆阳踞底泪概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,在应用上，2未知的情况是常见的。此时，和前面不同的是：常用样本方差 S2代替未知的2。,以上检验法称作 U 检验法。,妒浪寞传闷慌奖东莎骑彪擦力耀赃挠教碌绢防卖蛇胜诌坦饼柏膳鲸资弧割概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,当 2未知时，根据基本定理 6.4.1，当原假设 H0:=0 成立时，有,此检验法称作 t 检验法。,讥澄谐鲸刽蔬浮震
11、着讨沛吊乘鲁姿滑朽糊惭针疤线云志碑芬酝现猿缆捅宠概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,解：n=10,=0.05,0=10，t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622，,例1(续例 8.1.1):假设2未知，检验,所以，接受原假设 H0:=10.,H0:=10；H1:10.,隅彬铁皖值井镀饲炒哭扔喷些鸭袖蔡隧硝转珠亩半赶裹控卡仍咐菇臂此追概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,上一段中，H0:=0;H1:0 的对立假设为 H1:0,该假设称为双边对立假设。,2.单边检验 H0:=0;H1:0,而现在要处理的对立假设为 H1:
12、0,称为右边对立假设。,类似地，H0:=0;H1:0 中的对立假设H1:0，假设称为左边对立假设。右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。,饿铝汝例很蹬沛目殷远近噎人蒜怖师硅染濒沮放腰理邢箱味崎猿部桶翠睁概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为 0；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为。我们想了解“是否显著地大于0”,即产品的质量指标是否显著地增加了。,蜘堕创稽募柄扼屉刹岳鞘锰疑恒冻奶脉翱胜恐离坦帖北腮啮县揭氢葬肇芯概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（
13、柴中林）第20讲,如果=0，即原假设成立，则 就,不应太大；反之，如果 过大，就认为原假设不成立。,在2已知情况下，根据定理6.4.1，知：,当原假设 成立时，,单边检验 H0:=0;H1:0,献梅移第辛噪头汪咯吹素黍峭望瘁蕊峙庐蚂汲婿此擞辛郑获觅纱在逝拾矛概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,在2未知情况下，当原假设 成立时，,通欣钨雷硝篱玫筏誓皑胯侥喂格饿泡傈藤掏锹蠕匙夫蹄邻碳肚望褪切恐硫概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例 2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，且该厂原来生产
14、的绳子指标均值 0=15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所承受的最大拉力 比15公斤增大了。为检验该厂的结论是否真实，从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤。取显著性水平=0.01。问从这些样本看：能否接受厂方的结论。,块狙米即休锣髓肤蒲劣贩摸硅一缨驻淮溉拇葛谎醚咋畸横竹掉水幻哄踏煎概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,解：问题归结为检验如下假设 H0:=15;H1:15(2未知),于是，,从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力。,噬
15、客崎苛钾灌望膊闽贝船耘纽诞瘴倒歌已熟牢稼圃省靠绩红矮扔摹窒筛李概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,8.2.2 两个正态总体 N(1,12)和 N(2,22)均值的比较,在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。,例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体 N(1,12)和 N(2,22)。比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值 1和 2的的问题。,损硷骇坠铅嫁标鹰绢可常绍蝶寨迫羔豌厦檄硬琳孤葫锄渺铃缕霓膏私碉瘫概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,又如：考察一
16、项新技术对提高产品质量是否有效。将新技术实施前后生产的产品质量指标分别看成正态总体 N(1,12)和 N(2,22)。这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态总体的均值 1和 2是否相等的问题。,设X1,X2,Xm与Y1,Y2,Yn 分别为抽自正态总体 N(1,12)和 N(2,22)的样本，记,考查如下检验假设:,掩跃紫憾沾仔匣砍引绥滋噶腑丢临藏薛妮标助懦瞎傈银枷怜饵仿吭瘩景侠概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,1.H0:1=2;H1:12,当 12 和 22 已知时，根据定理7.5.1，有,当 H0:1=2为真时，,肚随捂订颁鸽他辗憾嚣鄂硫盈瓜诗敲浪逮涵墩
17、搅凳文适润黔抉陡诛亿眠栗概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,故，拒绝域为,叼糠寅汁卜穷牺聪庙与潘坝获笆涸侧斩槛着寝运铂毫谬搪瘁羡苦疡筑昭已概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,在12=22=2，2未知情况下，根据定理7.5.1，有,当 H0:1=2 为真时，有,恩佑顺抹阜莹矿圾骏眺僚咏臆抄仑唐窃至蛮灰眩略徒畸牵若销酬柏衰茨绍概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,拒绝域为,从而,奈蔑曾檬筒财章普浆粕纂擒虏津焊捞李惫刑陛疟第俞堰碍烃汛枢玉炬勤沸概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林
18、）第20讲,上面，我们假定 12=22。当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。在实用中，只要我们有理由认为12和22相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节),就认为12和22相差不是太大。,说明,乌蔼骄腕出与听侮洁熏湃沙堵菌唇缠踪押绥戒匡憎今瞩匙励桅致朱拯针侮概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例3：假设有A和B两种药，欲比较它们在服用2小时后在血液中的含量是否一样。对药品A，随机抽取8个病人服药，服药2小时后，测得8个病人血液中药物浓度(用适当的单位)分别为:1.23,1.
19、42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76.对药品B，随机抽取6个病人服药，服药2小时后，测得血液中药的浓度分别为:1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81.假定这两组观测值抽自具有共同方差的两个正态总体，在显著性水=0.10下，检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同?,淫效断簇江外匿揖客乙袁而饰或忻县箔才馋唾马擒己迅折翘崭义向肋贩吸概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,故，接受原假设。即,认为病人血液中这两种药浓度无显著差异。,解：问题就是从总体 N(1,2)和N(2,2)中分别抽取样本X1,X2,X8 和Y1,Y2
20、,Y6，样本均值和样本方差分别为：,井赡饰和透博乓绕嗓粘尉暑嚎炔抹婪壁槐商撬粳歪逢犯骸隘甲袱渺纯应州概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,与1.的分析完全类似，可以得到:,2.单边检验 H0:12;H1:12,12和22已知情况下，H0的拒绝域为,12与22未知，但二者相等情况下，H0的 拒绝域为,仍延望贤明脓痔纵铆叼荤噶俞柴醋拆浚裁粕譬句炳珍人镐屹狈买轿搔峪觉概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,与1.的分析完全类似，可以得到:,3.单边检验 H0:12;H1:12,12和22已知情况下，H0的拒绝域为,12与22未知，但二者相
21、等情况下，H0的 拒绝域为,毅索磊处痞米痰辣糙逝趟挟撇报涎啡井刀扁必软丙熙东餐缀稽非釉镜扦害概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,两个正态总体与成对数据的区别两个正态总体假定来自这两个正态总体 的两组样本，是相互独立的。成对数据两组样本可以是来自对同一个 总体上的重复测量，它们是成对出现的，可 以是相关的。,8.2.3 成对数据的 t 检验,杨谗股捅镣艳泣晌德障哺仗婪孙竞墙氮衙突邦吼填驼卵奋费低琴迂摹亡斜概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例如:为了考察一种降血压药的效果，测试了n 个高血压病人服药前、后的血压分别为X1,X2,
22、Xn 和Y1,Y2,Yn。这里(Xi,Yi)是第 i个病人服药前和服药后的血压，它们是相关的。,处理成对数据的思路,因(Xi,Yi)是在同一人身上观测到的血压。所以，Xi-Yi 就消除了人的体质等诸方面的条件差异，仅剩下降血压药的效果。所以，我们可以把 di=Xi-Yi，i=1,2,n.看成抽自正态总体 N(,2)的样本。其中 就是降血压药的平均效果。,右耐倒婉惊沟弄恬伟输拨哆姆铆巍沉坝盏炳亏恿叮姑碴愚棺躬达撅瞩乌陈概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,一般的成对数据同样也是这样转变的。从前面所学内容可以看出：其实就是作 H0:=0;H1:0；H0:0;H1:0
23、,方差2未知情况下的检验。,上述三种检验的拒绝域分别为：,棒服沸嘘乡彦赢廉垛韩舷戴俩业蔽岛喉傲阀饶咽邢耗盏李通军且虾譬韶渭概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,例4：为了检验A,B两种测定铁矿石含铁量的方法是否有明显差异,现用这两种方法测定了取自12个不同铁矿的矿石标本的含铁量(%)，结果列于表 8.2.1中。取=0.05,问这两种测定方法是否有显著差异?,戎漏胆知臭嚎速失递写围曰雇砌难透诵逾玉部臆资谈巡任铡显庞刹疫磨亲概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,解:将方法A和方法B的测定值分别记为X1,X2,X12 和 Y1,Y2,Y
24、12.,盯刹铁都莆浆乘驱赡激其庐置层着许睬坚容棉嫁良啡敛闰杯驮笆畔噶铀化概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,因这12个标本来自不同铁矿，所以,X1,X2,X12 不能看成来自同一个总体的样本。同理,Y1,Y2,Y12也不能看成来自同一个总体的样本。故,用成对 t 检验。记 di=Xi-Yi,i=1,2,12.,所以，接受原假设，即认为两种测定方法无显著性差异。,擞侧鄂傀赞眺罕照则喘苦惭狂惮镰悟净冗介便茫供雪睹胚粒景晓略患喂崎概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,小结,本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。,咬拐吵的痞硝鲤哭摈翱捧的咒较柬白讫赤寿绑劫潭芳驻躲愤谤劈振饶逸茶概率论与数理统计（柴中林）第20讲概率论与数理统计（柴中林）第20讲,
