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1、第十五章 虚位移原理,虚位移的英文名词是 virtual displacement.意思是 可能的位移.不管是 虚 也好,还是 可能 也好,它的力学含义是:仅为约束条件所允许的位移.,引言,质点被约束在某一平面上,其上有力的作用.显然,在此平面上有无限多为约束所允许的 位移.,怎样判断质点是平衡的?如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零,则质点必有动能的增加,因而不是平衡的.如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零,则我们说质点是平衡的 这正是我们判别平衡的另一个准则 虚位移原理.,15 1 约束.虚位移.虚功,约束及分类 约束:限制物体运动的条件,约束的分类:(1)几何约束 约束方
2、程 表示为空间坐标的函数.运动约束 约束方程中含有空间坐标对时间的导数,B、C 点的约束方程:,A点的约束方程:,(2)定常约束 约束方程不显含时间t.非定常约束 约束方程显含时间t.,A点的约束方程:,(3)双面约束 约束条件用方程给出.单面约束 约束 条件用不等式给出.,A点的约束方程:,(4)完整约束 几何约束和可积分的运动约束.非完整约束 不可积分的运动约束.,冰刀在冰面上的运动.,圆轮的直线纯滚动.,可积分的运动约束,2.虚位移 定义:在给定瞬时,质点系在约束所允许的条件下的任意 的无限小的位移.:(1)虚位移是 等时变分 的概念.不论约束是否定常,必须把时 间 冻结,在此前提下才有
3、虚位移的概念.(2)虚位移仅为约束条件所允许即可,而实位移除此之外还须由动力学方程和初始条件等而定.同一点的实位移只能有一个,而虚位移可以有无穷多.(3)稳定约束(定常约束)下,实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然.,实位移,虚位移,:理想约束:定义:若其约束反力的功或约束反力的功之和为零,这种约束称为 理想约束.,:虚位移的求法:1.几何法-用几何学或运动学的条件直接求得.例一.试用OA杆的转角的变分 表示A、B、C、D各点的虚位移,已知OA=r.,解:,由瞬时平动的概念:,由虚速度投影:,建立坐标系如图:,3.混合法:,15 2 虚位移原理,虚位移原理:在完整,定常,理想
4、约束下的质点系静止平衡 的充分必要条件是:作用于质点系上的主动 力在任何虚位移中的元功之和为零.,即是:质点系的静止平衡,解:取系统分析,设手柄顺力偶的方向 转了 角(力学语言称:给螺杆以虚位移),则压板的虚位移为s.由虚位移原理:,:两种常 用的形式:,例二.(参见书上例15 2)图示结构,已知力P作用于G点.各杆都以光滑铰链连接.AC=CE=BC=CD=DG=GE=l.在G、C 间有一刚度为k 的弹簧,在 图示夹角为时弹簧的伸长量为0.求支座 B处的水平约束反力.,解:解除B 处相应的约束,代之以相应的水平力和活动铰支座,去掉弹簧,代之以相应的弹簧力.在图示坐标下,式中 F1=F1=k0,
5、例三.求图示组合梁的支座B 处的约束反力.,已知:q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,解:为便于计算,将均布载荷 等效简化成集中力.,q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,去掉B 支座代之以FB,原结构变成一个自由度的系统.设CE杆绕E点有一个虚角位移,则各处有关的虚位移如图.,由,若求A 处支座反力则系统的虚位移分析如图示:(注意:整体分析可知A 处的水平力为零.故A 处只有竖直反力),q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,设A 处给一向上的虚位移rA.,显然有:,若求 处E支座反力,则系统的虚位移分析如图示.,q=4
6、00N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,设E 处有一向上的虚位移rE,例四.试用虚位移原理求图示结构中1号杆的内力.已知 力P 及=30.,解:取出1号杆,D、E 铰处受的力为对其的反作用力.给D 点以一虚位移rD.则相关的虚位移如图示,特别是B、C 点的虚位移为零.,由虚速度投影:,由虚位移原理:,例五.图示机构,不计各构件自重和各处摩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系.,解:设B 点有一虚位移rB,而AB 杆绕O 点的虚角位移,则B 点的牵连虚位移为,由虚位移原理:,习 17 3 挖土机的挖掘部分如图示.支臂DEF 为固定,A,B,D,E,F
7、处为光滑铰链,液压缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕 F 转动,EA=FB=r.当1=2=30 时 杆AE DF,此时油缸的推力为 F.不计构件的重量.求:此时挖斗可克服的最大阻力矩M.,解:设在油缸的推力下 A 点有一虚位移 rA,则相关 的B 点的虚位移如图.,由虚速度投影:,由虚位移原理:,习 17 11 图示均质杆AB 长 2l,一端靠在光滑的铅直面上,另一端放在光滑曲面DE 上.欲使AB杆能在静止在铅垂平面的任意位置.问曲面的曲线DE 的形式是怎样的?,解:由于约束反力不作功,仅重力作功.若AB 杆在任意的位置皆能静止,则重力的功为零.由此可知AB 杆在运动中质心保持同一高度.,选坐标如图示.,A,B 点的轨迹控制着质心的位置,在任何时候都应有:,曲面的形状应是椭圆柱面,习 17 8 图示滑套D 套在光滑的直杆AB 上,并带动杆CD 在铅直的滑道上滑动.已知=0 时弹簧为原长,弹簧的刚性系数为 5 kN/m.求:在任意位置平衡时,应加多大的力偶M?,解:题意即为平衡时力偶M 与的关系,选 为广义坐标,设图示位置系统平衡D 点的虚位移分析如图,图示位置的弹簧力,由虚位移原理,
