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1、复数和复平面,第一章,1.1 复 数,1.复数的概念,形如 或 的数称为复数。,a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作,i称为虚单位,即满足,当且仅当虚部b=0时,z=a是实数；当且仅当a=b=0时,z就是实数0；当虚部b0时,z叫做虚数；当实部a=0且虚部b0时,z=ib称为纯虚数.,全体复数的集合称为复数集,用C表示.,实数集R是复数集C的真子集.,如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等.,2.复数的向量表示和复平面,复数可用点z(a,b)表示,用直角坐标系表示的复数的平面称为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.,实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数.,
2、当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.,任一实数的共轭复数仍是它本身.,在复平面上,复数 还可以用由原点引向点z的向量 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面向量 所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量 的长度称为复数z的模，记为|z|或r.,3.复数的运算,加法,减法,复数的运算，有关复数的模和共轭复数的性质,乘法,除法,复数的模和共轭复数的性质,4.复数的三角表示 和复数的方根,复平面C的不为零的点,极坐标,是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为,满足条件 的幅角称为Argz的主值，记为=argz，于是有=argz=argz+2k
3、,k=0,1,2,.,复数的三角表示,z=r(cos+isin),复数的指数形式,例1.1 求arg(-3-i4).,解：Arg(-3-i4)=arg(-3-i4)+2k,k=0,1,2,.,点-3-i4位于第四象限,k=0,1,2,.,例1.2 计算,解：,例1.3 把复数 表示成三角形式和指数形式.,解：,对应的点在第一象限,复数乘法的几何意义,两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于这两个复数的幅角的和.,两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差.,复数的乘方,r=1时，得棣莫拂(de Moivre)公式,复数的开方,设是 已知的复数，n为正整
4、数，则称满足方程的所有的复数为z的n次方根，并且记为.,设,k=0,1,2,n-1,k=0,1,2,n-1,复数的n次方根是n个复数，这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的0,1,2,n-1倍的和的n分之一。,例1.4 求1-i的立方根.,解：,1-i的立方根是,例1.5 计算n次单位根.,解：,立方单位根是,1.2 复平面点集,1.平面点集的几个概念,(1)邻域,集合 称为z0的邻域，其中0,称为z0的去心邻域.,(2)内点、开集,若点集E的点z0，有一个z0的邻域，则称z0为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集.,(3)边界点、边界
5、,如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作E.,(4)区域,如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称集E为连通集.连通的开集称为区域.,区域D和它的边界D的并集称为闭区域，记为,(5)有界区域,如果存在正数M，使得对一切zE，有则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域.,(6)简单曲线、光滑曲线,设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区间,上连续，则由方程组或由复值函数定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线的参数方程.点A=z()和B=z()分别称为曲线的起点和终点.
6、如果当 时，有，称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线.的简单曲线称为简单闭曲线.,定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界.,这两个区域，一个是有界的，称为的内部；一个是无界的，称为的外部.,如果曲线在 上有 和 存在、连续，而且不同时为零，则称曲线为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线.,(7)单连通区域,设D为复平面上的区域，如果在D内的任意简单曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域.,2.直线和半平面,设L表示C中的直线，如果a是L上的任一点，b是它的方向向量，那么,对于L上的z，有,假定|b|=
7、1，a=0.,于是，当且仅当 即.,如果“按照b的方向沿着L前进”，H0是位于L的左边的半平面.,Ha是由半平面H0平移a而得到的，因此，Ha是位于L的左边的半平面.,是位于L的右边的半平面.,1.3 扩充复平面及其球面表示,设a是异于的一个复数，规定(1)，则；(2)，则；(3)，则；(4)，则；(5)的实部、虚部、幅角都无意义；(6)为了避免和算术定律相矛盾，对不规定其意义.,设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上，称为扩充复平面C=C.为使的规定合理，规定扩充复平面上只有一个无穷远点.,记R3中的单位球面为,N=(0,0,1)为S上的北极点,把C等同于R3中的点集 R,对于复平面C内任意一点z，用直线将z与北极点N相连接，此直线与球面S恰好交于一点ZN.,若|z|1，Z位于北半球面上；若|z|1，Z点位于南半球面上；若|z|=1，那么Z=z.当|z|时，ZN.,
