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1、整式的乘法和乘法公式,高青金钥匙培训学校 成 功,整式的乘法,同底数幂的乘法:,am.an=am+n,幂的乘方：,(am)n=amn,积的乘方:,(ab)n=anbn,预备知识,1.单项式乘以单项式：,把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。,如4a2yx5.(-3ab2x),2.单项式乘以多项式：,转化,单项式乘以单项式,m(a+b+c)=ma+mb+mc,再如（ab2-2ab).ab,如（-4x2).(2x-y-1),3.多项式乘以多项式：,转化,单项式乘以多项式,(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
2、,如(x-y)(x2+xy+y2),相反变形,难点,am+n=am.an,amn=(am)n,an.bn=(ab)n,想一想,4,11,2,3,练习一1.计算(1)100.10m+1.10m-2(2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3(4)(xy3n)2+(xy6)n(5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2)(7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3(9)(x-2y)2(y-2x)3,注意：通过以上练习可知，公式中的a既可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。,2.(1).-x2y2.xyz(2)(a2+ab-0.6b2)
3、.(-a2b2)(3)(2x+y)(x-3y)(4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n)(6)若ab2=-1,则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少？,比一比,算计,(1),(),-2b,2,a+2b,(),-2ab(a-b),其中,a=1,b=,2,1,.,公 式 的 逆 向 使 用,（3）已知2m=3，2n=5，求23m+2n+2的值.,1、若10 x=5,10y=4,求102x+3y+1 的值.,2、计算：0.251000（-2）2001,注意点：,（1）指数：相加,底数相乘,转化,（2）指数：乘法,幂的乘方,转化,（3）底数：不同底数,
4、同底数,转化,（3）,（1）012516(8)17；（2）,逆用公式 即,公 式 的 反 向 使 用,试用简便方法计算:,(ab)n=anbn,（m,n都是正整数）,反向使用:,anbn=(ab)n,(1)2353;,(2)(-5)16(-2)15,(3)24 44(-0.125)4;,整式的乘法,1.单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式,逆运算,预备知识,aman=am-n,当m=n时，规定：a0=1(a0),整式的除法,1.单项式除以单项式2.多项式除以单项式3.多项式除以多项式,单项式相除，把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的指数
5、作为商的一个因式。,如20 x4y2z(-x3y2)(-2a2b3c)2a3b2,单单,转化,(a+b)m=am+bm,如(0.25a2b-0.5a3b2-a4b3)(-0.5a2b),初中阶段不学习,am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn,特例,乘法公式,1.平方差公式2.完全平方公式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,相反变形,因式分解,(1)(-a)8(-a2),(2)-5a5b3c5a4b3,(4)-3a2x4y3(-axy2),(5)(4109)(-2103),=-a6,=-ac,=3ax3y,=-
6、2106,(3)6m2n(-2mn),=-3m,(1)(-2a4b3c)3(-8a4b5c),(3)(-3.61010)(-2102)2(3102)2,小测,=a8b4c2,=10,(2)(6x2y3)2(3xy2)2,=4x2y2,练习1.计算(1).x15x6(2).(-xy)10(-xy)8(3)a2m+4 am-2(4).(x-2y)4(2y-x)3(5).(-a)5a3,2.计算(1).-3a7b4c9a4b2(2)28x4y27x3y(3)4a3m+1(-8a2m-1)(4).8(m+n)5(-(m+n)3)(5).(8a2+ab+a)a(6).已知一个多项式除以多项式a2+4a-
7、3所得的商式是2a+1,余式是2a+8,求这个多项式。,计算（一）：（1）（2x3）（2x3）（2）（x2）（x2）（3）（2xy）（2xy）（4）（yx）（xy）(5)19982002,填空(1).(a+)2=a2+6a+。(2).(2x-)2=4x2-+25(3).a2+b2=(a-b)2+。(4).(x-y)2+=(x+y)2,想一想,下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？,(1),2,-x,-,1,(-x-1)(x+1)=,(2),计算(1).(5a+3)(5b-3)(2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4)(4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y
8、)2(6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2(8).(-2x2-3y)2,A,B,（3）如果a,+,a,1,=3,则,a,2,+,1,=(),(A)7,(B)9,(C)10,(D)11,A,(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是（）,D,（4）计算,=a-(2b-3)a+(2b-3),填空,因式分解,1.运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=.2).(a+b)(a-b)=.3).(a+b)2=.,2.试一试 填空:1).ma+mb+mc=m()2).a2-b2=()()3).a2+2ab+b2=()2,ma+mb+mc,a2-b2,a2+2ab+b2,a+b+c,a+b,a+b
9、,a-b,一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。,理解概念,判断哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,两者都不是,像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法,像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法.,1)ma+mb+mc=m(a+b+c),2)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+
10、2ab+b2=(a+b)2,注意事项,1)首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一 个因式再考虑其他方法。x3-4x2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。x4-2x2y2+y43）因式分解要彻底。4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1),找出下列各多项式中的公因式,找一找,公因式,系数,字母,3,5a,6ab,各项系数的最大公约数,取每项中含有的相同字母,问:多项式中的公因式是如何确定的？,指数,相同字母的最低次幂,易错分析,1、把下列各式分解因式：1）18-2
11、b 2)x4 1,2.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）4X+y B.4 x-(-y)-4 X-y D.-X+y2)-4a+1分解因式的结果应是（）-(4a+1)(4a-1)B.-(2a 1)(2a 1)-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1),D,D,拓展提高,1.把下列多项式因式分解1).6x(a+2b)2-3x(a+2b)2).(b-a)2-2a+2b3).a(a-b)2+(b-a)3,提公因式法因式分解,1)13.80.125+86.22)0.7332-0.32633)33+112+66,4)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.,巧计妙算,1
12、,8,3.解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x),提公因式法因式分解,x216,练习：分解下列各式:,（1）x2-16,解：(1),（2）9m2-4n2,x,x,a2,b2,a,a,b,b,x2 42,42,x2,(2)9m2-4n2,3m,3m,()(),a2,a,a,b,b,(3m)2(2n)2,(2n)2,(3m)2,b2,2n,2n,平方差公式的应用题：,1、利用分解因式简便计算,(1)652-642(2)5.42-4.62,(3)(4),解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129,解:
13、5.42-4.62=(5.4+4.6)(5.4-4.6)=100.8=8,答案:5,答案:28,提高题：,2、已知,求（a+b）2-(a-b)2的值。,解:(a+b)2-(a-b)2=(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=2a2b=4ab当，时，原式=4=,3、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。,思考：,(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2,什么关系？,完全平方公式,a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2用他们可以把一个
14、三项式分解因式的特点：两项是两个数(式）的平方另一项是加上(或减去)这两个数（式）积的两倍,完全平方例题讲解(1),x2-4x+4=x2-22x+22=(x-2)2,a2+2a+1=a2+2a1+12=（a+1）2,a2+10a+25,=a2+2a()+()2=(a+)2,5,5,5,X2+12ax+36a2,=X2+2x6a+(6a)2=(x+6a)2,小练习(2),4a2+25b2-20ab,=(2a)2-22a5b+(5b)2=(2a-5b)2,-8x2y-2x3-8xy2=-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)2,动手做,已知x=a+2b,y=a-2b，,活用乘法公式求代数
15、式的值,1、已知a+b=5，ab=-2，求（1）a2+b2（2）a-b,a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,2、已知a2-3a+1=0，求（1）（2）,3、已知 求x2-2x-3的值,4.若(x-m)2=x2+8x+n,求mn的值,5.若9x2-mx+4是一个完全平方式，求m的值,6.若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求5mn的值,7.在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为完全平方式，则应添。,8.在式 子 中加上一个单项式使之成为完全平方的形式，则应添。,9.若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，A应为。,10.若x2+2mx+36是完全平方
16、式，求m的值,11.已知：a+b=5,ab=3,求a2+b2的值,12.已知：a-b=3,a2+b2=17，求(a+b)2的值,13.已知：ab=12,a2+b2=25,求(a-b)2的值,14.已知：m2+n2+4m-6n+13=0,求mn的值。,考查知识点：（当m,n是正整数时）1、同底数幂的乘法：am an=am+n 2、幂的乘方:(am)n=amn 3、积的乘方:(ab)n=an bn 4、合并同类项:,计算：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4-(-x10)(-x)2,解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆,.,整式的乘法复习,计算：(-2a 2+3a+1)(-2a
17、)3 5x(x2+2x+1)-3(2x+3)(x-5)(3)(2m2 1)(m 4)-2(m2+3)(2m 5),注意点：1、计算时应注意运算法则及运算顺序2、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏 乘，以及各项符号是否正确。,乘法公式复习,计算：(1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2(x2+32)2-(x+3)2(x-3)2,(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2(x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2,例1、已知：x2+y2+6x-8y+25=0,求x,y的值；,1、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_,4、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=_,2、已知x2-8x+m是完全平方式，则m=_,3、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_,4,16,4,4,-mx,8,5.若 则m=()A.3 B.-10 C.-3 D.-5,A,活学活用,找规律问题,观察:,请你用正整数n的等式表示你发现的规律 _.,正整数n,找规律问题,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,找规律问题,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,设(n为大于0的自然数).探究an 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；,两个连续奇数的平方差是8的倍数,
