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1、第三章矩阵与行列式?3.1矩阵的概念对任意正整数m和n )由m n个数或不定元排成的m行n列的表/ 、11 12 2n I21 a22 32n I、:ii(31)(m1 a12 mn称为一个m n矩阵。表中的每个数或不定元称为矩阵的元素。排在第行 第例的元素a0称为矩阵的第(i, j)元素:当i = j时)命也称为矩阵的对角元。 矩阵(3.1)通常记为(aij)mn0两个矩阵相等)当且仅当它们的行数和列数都相 等)且每个位置上的元素都相等。下面介绍几种常见的矩阵名称。 n矩阵称为n阶方阵。 元素都是O的矩阵称为零矩阵)通常记为0。 对角元是1其它元素都是0的方阵称为单位阵)通常记为I。 对角元
2、是a其它元素都是0的方阵称为数量阵)通常记为al。 若方阵A = (a%满足a = 0对所有i力成立)A称为对角阵)通常记 为A = diag(a,., 3 ) 若矩阵A = (aij)m*n满足剪=0对所有i j成立)则A称为上三角阵。 若矩阵A = (aij)m*n满足aij = 0对所有i 2n A + B= jl 32)(Sml + bm13m2 + bm2 amn + bmn 和/ 、As”a12a1nja2a22a2nA= ,.ji(3.3)(rn1 入 a2 XXX 3m分别定义了矩阵的加法运算和数乘运算)记为A + B= (aj + bij )m, 入A=(Aaij)m *n类
3、似地)可以定义矩阵的减法运算和负矩阵A . B = (aj . bij )m Xn A= (.aij)mn按照定义)只有大小相同的矩阵才可以相加减。定理3.1.矩阵的加法和数乘运算具有下列性质，(1) A + B = B + A:(2) (A + B) + C = A + (B + C)：(3) A+O=O+A=A:(4) A + (.A) = (.A) + A=O:(5) ( + )A = AA + A:(6) (A + B ) = A + AB ：(7) ()A = (A):(8) 1A = A0因此)数域F上的所有m n矩阵构成F上的一个线性空间)记为Fmx% 设Eij为(i, j)位置
4、元素等于1 )其它位置元素等于。的m n矩阵)则每个矩 阵A = Sij )mxn都可以唯一地表示成A =么* Eij的形式。于是)Fmxn的 i, j维数等于mn )且Eij 1 i m, 1 j nl是FmXn的一组基。?3.2.2矩阵的乘法并非任意两个矩阵A与B都可以相乘)只有当A的列数等于B的行数 时)A与B才可以相乘 设A = (aij)mx)B = (bij)np)定义A与B的乘 积AB = (Cij) m*p)其中nj aCij = ikbkj = aibij + a2b2j + X + n bj(3.4)k- 1即Cij等于A的第行与B的第j列相应元素的乘积的和。(1)即使A与
5、B是同阶方阵)AB与BA也不一定相等。(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。(3)在A的左边乘上对角阵相当于将A的各行分别乘上一个数)在A的右边乘 上对角阵相当于将A的各列分别乘上一个数。特别)用数量阵l与A相乘 的效果等于矩阵的数乘入A。更特别)IA=Al = A)OA=Ao= Oe定理3.2.矩阵的乘法运算具有以下性质，(1) (AB)C = A(BC)：(2) (AB ) = (A)B = A(B )：(3) A(B + C) = AB + AC ：(4) (B + C)A = BA + CAe其中A, B, C是使运算有意义的矩阵认是数或不定元。通过矩阵的乘法)可以定义任意方阵A的正整
6、数次幕Ak = A A., k = 1,2,.另外)对任意方阵A包括零方阵)规定A。= I0有了方阵的各次幕)就可以将 方阵带入多项式求值。设多项式f(x) = Co+CX+X X + CkXk)定义f(A) = C01 + Ci A + X + ckAk(3.5)类似地)对收敛的无穷级数g(x) = C0 + C1X+ +ckxk+ )同样可以定义?3.2.3初等变换通过对线性方程组实施初等变换）可以消去方程组中的某些变元）将方 程组化为阶梯形。对于矩阵）也可以进行同样的操作， 交换某两行（列）的位置： 用某个非零数乘以某行（列）： 某行（列）的若干倍加到另一行（列）O以上三种对矩阵的行的操
7、作称为矩阵的初等行变换）三种对矩阵的列的操作 称为矩阵的初等列变换）这六种操作统称为矩阵的初等变换。对单位方阵施 行初等变换）得到的方阵称为初等方阵。 交换单位阵的第i. j行）或交换第i, j列）得到/ 、J ij01；-第i行Sij=,I（3.6）1OI-第j行.i（1用数人乘以单位阵的第i行）或用数人乘以第i列）得到J. I1IiPi（A）= |I-第i行（3.7）：1 I（： -l1将单位阵的第j行的八倍加到第i行）或将第i列的八倍加到第例）得到/ 、J.L1 第i行TiQ）=,l（3.8）1 i-第行定理3.3.对矩阵作初等行变换）相当于在矩阵的左边乘上一个初等方阵:对 矩阵作初等列
8、变换）相当于在矩阵的右边乘上一个初等方阵。?3.2.4矩阵的分块在矩阵运算过程中）如果总是把矩阵的所有元素都写出来）这将是一个非常繁琐的工作）有时既无必要也不可能。一个自然的方式是把m n矩阵视作n个列向量按行排在一起）或m个行向量按列排在一起。记为/J、 2A = 1 a2 . . . a 或 A=（Bm 一般地）可以将矩阵同时按行按列分成若干块。/ 、An A12 . AISAg 1 A2 j. 2 sA = （Ajj）rxs =（3.9）（.Arl Ar2ArS称为分块矩阵）每个Aij称为A的子块。更一般地）由A的若干行I=i , 2ir I和若干列J = j , j2jsl上的元素组成
9、的r S矩阵称为A的B12 BlSZAn B2 Brs子矩阵）通常记为A（l, J）。设矩阵 / Bn Ih B= （Bj） r X s =（BrI与A有着相同的矩阵大小和分块方式）入是一个数或不定元。易见 /Ai 1 + Bn A12 + B12 . . . Ais + BisA + B = (Ajj + Bjj )r XA21 + B21 A22 + B22 A2s+ B2s入AIlI入 A21入Ai 2 A2XXX 拗!XXXIAA = (Ajj )r * s二I(AArlAr2：IXXX AAfsXXX对于分块矩阵的乘法)也有类似的结论。定理3.4.设m n矩阵A和n p矩阵B被分块成
10、为A= (Aij)rxs, B = (Bij)sxt) 其中每个Aik的列数与每个Bkj的行数相同。则有 / 、 XXX XXX XXXAB IAikBkj(k.1 XXXXXX?3.2.5共匏、转置和迹当A是复矩阵的时候)将A的每个元素换成它的共辄复数)得到的矩阵an a12 ama1 a2 XXX 8fn称为A的共匏矩阵。映射A称为共扼运算。3.5l矩随共唾算具有以下隹质,(1)7 = A (2) A + B =A + B (3) A = A (4)aB =A B (5) AT =T)其中A, B是使运算有意义的复矩 阵)是复数或不定元。将矩阵A= (aj)mn的行列互换)得到的矩阵/ 、
11、a11 XXX ami A = (aji)nxm = | a12 a2 XXX am2 j(3.11)称为A的转置矩阵。映射A-AT称为转置运算。定理3.6.矩阵的转置运算具有以下性质,(1) (AT)T = a (2) (A+B)T = A+ Bt (3) (A) = AAT (4) (AB)T = BTAT)其中A, B是使运算有意义的 矩阵)人是数或不定元。矩阵A的对角元之和)称为A的迹)记作tr(A)。定理3.7.矩阵的迹具有以下性质,(1) tr(A+ B ) = tr(A) + tr(B) (2) tr(A)= tr(A) (3) tr(AB) = tr(BA)其中A, B是使运算
12、有意义的矩阵)人是数或不定J Uo?3.3行列式2阶行列式2 = la b,. b2的几何涵义是以 =，a2), =(耕，b2)为邻边的平行四边形的有向面积:3阶行列式b 1& = ，如5 bt C9的几何涵义是以 = (a, a2, a3), = (bi, b2, b3), = (ci, C2, C3)为棱的平行六 面体的有向体积。对于一般正整数n )我们也希望能够计算n维向量6 ,2,.1而张成的n维平行 多面体的有向体积Fn。这就是n阶行列式)记为An= det(a ,a2,.,a)?3.3.1行列式的定义设5 ,。2, , an, , 2, ., Bn是任意n维向量)x, y是任意常数
13、。满足下 面性质、(2)、(3)的函数det(a,c2%)称为n阶行列式，(1) det(a ,a25)对于每个变量a都是线性的。det(., xai+ yi,.) = Xdet(., a,.) + y det(., i 1.)(2)如果5 ,a2,.,a中存在两个向量相等)则函数值为0。det(., aa ,.) = 0(3)单位正方体的有向体积”等于1。设e,e2,.,en是单位坐标向量)则有det(e, e2e) = 1由性质和性质(2)我们还可以得到(4)将5 ,。2,. .,即中某两个向量互换位置)行列式变为相反数。dt(., . dt(., ,., Qj,.)(5)将6 , 2,
14、., n中某个向量乘以人)行列式为原来的倍。det(., a ,.) = det(., a,.)(6)将5 , ca中某个向量的M荀加到另一个向量上)行列式不变。det(., a,., a + aj,.) = det(., aa,.)?3.3.2排列的奇偶性将自然数1,2n按照任意顺序排成的一个有序数组S = (SIS2. Sn)称为一个n元排列。排列(1 2. n)称为标准排列。n元排列共有n!个)所有n元排 列的集合通常记为Sm对于任意一个排列S = (SIS2 . Sn )有可能出现i Sj的情形。这 样的一对数(SiSj)称为一个逆序。所有逆序的个数称为逆序数)通常记为T(S)。 当T
15、 (S)为偶数时)s称为偶排列:当T为奇数时)S称为奇排列。交换一个排列中某两个数的位置)其它数保持不动)这称为一次对换。定理3.8. 一次对换改变排列的奇偶性。定理3.9.任意排列S可经过T(S)次对换变成标准排列。?3.3.3方阵的行列式设di = (aii, a2i, . . , ani)是n阶方阵A =(的)n.n的第i个列向量(i = 1,2, .,n)我们有/ - det(1,., an) = det L aiei, V ai2ei, , ainitilZ=3j1 i Sj2 2 in dt(i1 i 包，i )1 i Jz l - - . Jn Z=(.1)i ail122.ai
16、nn(3.12)同理)设Bi = (an, ai2, . . . . am)是A的第i个行向量(i = 1,2, . . . , n)我们有) = det nndt() i l ( aijj, jj i i nj j .aii,a2j2 ajn det(ejl,ej2, . ,ejn)1 jl .2jn n(j)(ji2.j)a. a2i2 XXX anjn(3.13)(Jl 12 . - - Jn )eSn由于0也 XXX jn)是一个例)因此a%a2k XXXar = a a2 ainn)其 中(il 2 in)也是一个排歹 I)由(jlj2 X X X jn)唯一决定)并且 T (il
17、i2 X X X in)= T(jj2 jn), 因此)det(,.,n) = det(an)(3.14)称为方阵A的行列式)记作det(A)或者311312X i iHl n|32132211 2nBI:!XM!IanIa2X ”3n|许多教科书也将(3.12)式或者(3.13)式作为n阶行列式的定义。由此)我们 得到行列式的另一个性质(7)将方阵转置)行列式不变。det(A) = det(A )(3.15)利用(3.12)式或者(3.13)式)可得上三角方阵的行列式* aa12 XXX ain1&2 XXX an a22 X X X a(3.16)0.X X X O ann|类似地)aXX
18、Xaar+1XXXaina 1 x,XXXXXXa3r. r+1Xr. nXXXO&+ 1 , r+ 1XXXa. 1 , Snn3n. r+ 1XXX % AXXXXXX anar XXXaT rl=det(A11)det(A22) XXX det(Ass)(3.17) xxx ar更一般地)对准上三角形的分块矩阵)有?3.3.4行列式的计算计算行列式的最基本的方法是利用行列式的定义和性质_(7)通过初 等变换)将一般方阵的行列式化为上(下)三角方阵的行列式。I。545.3 .1 .5331 .2.314.5.1计算行列式的另一个基本的方法是利用行列式的展开定理)将高阶行列 式化为低阶行列式
19、。删去n阶方阵A=Ln的第i行和第例之后)剩下的n 1阶方阵的行 列式Mij)称为a”的余子式)Ajj = (. 1)MJMij称为a,的代数余子式。A的所 有代数余子式排列成的n阶方阵zA11 a2i An1 #Ai2 hfn XXX A2A = (Aji)nxr1 =电 XXX j(3.18)1 X XAIn 府 xxx Ann称为A的伴随方阵。定理3.11 (按一列或一行展开行列式). n(1) det(A)=么 aij Ail )Aj =1,2nJ 1(2) det(A)=:劭 Aij)Ai= 1,2,.，r定理3.12 A，A = AN = det(A) Io121例3.13.计算n
20、阶行列式册=0102 1Omi 01221 OO当一个方阵可以分解为若干个方阵的乘积的时候)乘积的行列式等于行 列式的乘积。这种方法对于计算一些特殊方阵的行列式特别有效。定理3.14.设A, B都是n阶方阵)则det(AB ) = det(A) det(B )。1 L1 J2例3d 5.计算Vandennonde行就. : ,:1 、,?3.4逆矩阵在?522中)我们定义了矩阵的乘法和方阵的正整数方幕运算)自然也希 望能够定义矩阵的.除法和方阵的负整数方幕运算。对于矩阵A和B )希望矩 阵方程AX = B或YA = B有唯一解)从而可以定义A/B或B/A。对于方阵A ) 希望存在方阵X满足AX
21、 = XA= I )从而可以定义Aj和A的负整数方幕。为 此我们引入逆矩阵的概念。?3.4.1逆矩阵的定义对于方阵A)如果存在方阵X满足AX = I或XA = I )则称A可逆)并 称X为A的逆矩阵)记为A- L定理3.16.方阵A可逆的充分且必要条件是det(A)*Oe定理3.17.当方阵A可逆时)A有唯一逆矩阵A=出A,定理3.18.逆矩阵运算具有以下性质,(1)(A)=A (2) (A)T =(AT)J (3) AT=AT (4) (AB)-I=B 一 1 A- 1 )其中A, B都是可逆方阵。?3.4.2逆矩阵的计算计算逆矩阵的最基本的方法是利用逆矩阵的定义)通过求解线性方程 组AX
22、= I得到逆矩阵。“ J 9 8例3.19.设A=U !)计算AJ .0 12 1 J(OOI 2计算逆矩阵的另一个方法是通过计算行列式det（A）和伴随方阵A，。当A的 阶数较小或行列式和余子式容易计算时）此法特别有效。/ 、2 1 O O；1 21 1例3.20.设n阶方阵A=Io1. 0|）计算AL2 1 I0 0 1 2例3.21.设n阶方阵A =1,11当一个方阵可以分解为若干个可逆方阵的乘积的时候）还可以通过定 理3.18计算它的逆矩阵。2 2 XXX 2 J12 3 X X X 3 )计算 A- 1。2 3 XXXn?3.4.3 Crameri 去则：an Xi + a22+ +
23、 am =矫 21 X1 + a222+ + a2Xn = b2(319)I I X I X X I X X 3n11 + S2X2+ XXX+ 3Xn = b定理3.22 (CrameriiM).当系数矩阵A =(画的行列式A *。时)线 性方程组(3.19)有唯一解多=夫力=1,2.,门。其中A是将A的第j列换 成b = (th , b2bn )后所得矩阵Aj的行列式。例3.23.设t , t2 , - - - , tn各不相同)求储，入2 , . , n使f(t) = f(ti ) + 人2 f(t2 ) + X X X + n f(tn)对任意次数不超过n. 1的多项式f都成立。?3.
24、5矩阵的秩?3.5.1秩的定义向量组的秩的概念）即极大线性无关组所含向量的个数。对于任意一个矩 阵A ）A的行向量组的秩称为A的行秩）A的列向量组的秩称为A的列秩。当A的 行向量线性无关时）A称为行满秩）当A的列向量线性无关时）A称为列满秩。 定理3.24.若矩阵A既是行满秩又是列满秩)则A是可逆方阵。定理3.25.任意矩阵的行秩等于列秩。矩阵A的行秩、或列秩、或可逆子矩阵的最大阶数统称为A的秩)记 为rank(A)。特别)零矩阵的秩等于0。J 1、例3.26.计算n阶方阵A=I11的秩。(, V11?3.5.2秩的计算由于行秩在初等行变换下保持不变)列秩在初等列变换下保持不变)因 此矩阵的秩
25、在初等变换下保持不变。我们可以通过对矩阵进行初等变换)将 其变为简单的形式)从而求出矩阵的秩。z 、1 2 3 例3.27.计算n阶方阵A= 4 5 6 的秩。(7 8 9定理3.28.设A是m n矩阵)B是n p矩阵)则有rank(AB ) min(rank(A)1 rank(B )定理3.29.设A是m n矩阵)P是m m可逆方阵)Q是n n可逆方阵。 KjJrank(A) = rank( PAQ) 例3.30.设A是m n矩阵)B是n m矩阵)则有rank( Im . AB ) . rank( In . BA) = m . n?3.5.3相抵标准形设A, B是mn矩阵)如果存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q )使得B = PAQ )则称矩阵A和B是相抵的。定理3.31.矩阵A和B相抵的充分必要条件是rank(A) = rank(B )/ 从定理3.31可以看出)所有秩等于r的矩阵都相抵于形如:的同阶 矩阵)称为矩阵的相抵标准型。下面举例说明如何利用矩阵桶便标准形来 解决相关的问题。例3.32.每个秩为r的矩阵都可以写成r个秩为1的矩阵之和。例3.33.若方阵A =)n.n满足A2 = A贝!Jrank(A) = tr(A)
