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1、所表示的曲面称为二次曲面.,讨论二次曲面的性质使用截痕法：,用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.,7.6 二次曲面,一、椭球面,1.范围:|x|a,|y|b,|z|c.图形在 x=a,y=b,z=c 所围成的长方体内.,2.对称性:图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称.,3.截 痕,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,二、抛物面,（与 同号）,(1)范
2、围:若p 0且q 0,则 图形在 xOy 平面上方，否则在 xO y 平面下方.,(2)对称性:图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对称.,1、椭圆抛物面,(3)截 痕,10 用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 的交线为椭圆.,与平面 不相交.,20 用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,3 0 用坐标面，与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的
3、）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,2.双曲抛物面（马鞍面）,(1)范围:x,y,z R,曲面可向各方向无限延伸.,(2)对称性:图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对称.,(3)截 痕(设p 0,q 0),用平面z=z0(z0 0)截曲面所得截痕为双曲线,用平面x=x0 与 y=y0 截曲面所得截痕为,这是两条抛物线.,双曲抛物面,图形如下：,三、双曲面,1.单叶双曲面,(2)对称性:图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称.,(1)范围:,(3)截 痕,用平面z=z0 截曲面所得截痕为椭圆：,用平面x=x0,y=y 0截曲面所得截痕为：,这是两条双曲线.,单叶双曲面,的图形如下：,2.双叶双曲面,例1 将二次曲面z=f(x,y)=xy用正交变换化为标准形，并由此判断是何 曲面？,解,z=x y 为双曲抛物面.,存在正交变换 X=CY，其中 使,例2 设 f(x1,x2,x3)=X TAX 为实二次型，则 f(x1,x2,x3)=1 为椭球面 A 为正定矩阵.,证,将 f(X)=X TAX 用正交变换X=CY 化为标准形 1 y12+2 y22+3 y32,则 1 y12+2 y22+3 y32=1 为椭球面,1,2,3 全为正数,A 为正定矩阵.,
